数学模型习题解答解读.docx

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数学模型习题解答解读

上机练习题一

班级：

姓名：

学号：

1.建立起始值=3,增量值=5.5,终止值=44的一维数组x答案：

x=（3:

5.5:

44）

2.写出计算Sin（30o）的程序语句.答案：

sin（pi*30/180）或sin（pi/6）

3.矩阵

矩阵

;分别求出

及A与B中对应元素之间的乘积.

答案：

A=[3,2,3;4,2,6;7,8,1]

B=[1,1,1;2,2,2;3,3,3]

A*B；A.*B

4计算行列式的值

。

答案：

det（A）

5对矩阵

进行下述操作。

（1）求秩。

答案：

rank（A）

（2）求转置。

答案：

A'

（3）对矩阵求逆，求伪逆。

答案：

inv（A），pinv（A）

（4）左右反转,上下反转。

答案：

fliplr（A），flipud（A）

（5）求矩阵的特征值.答案：

[u,v]=eig（A）

（6）取出上三角和下三角.答案：

triu（A）tril（A）

（7）以A为分块作一个3行2列的分块矩阵。

答案：

repmat（a）

6计算矩阵

与

之和。

>>a=[535;374;798];

>>b=[242;679;836];

>>a+b

7计算

与

的数组乘积。

>>a=[693;275];

>>b=[241;468];

>>a.*b

ans=

12363

84240

8已知：

，分别计算a的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。

>>a=[123;456;789];

>>a.^2

ans=

149

162536

496481

>>a^2

ans=

303642

668196

102126150

上机练习题二

班级：

姓名：

学号：

1对于

，如果

，

，求解X。

>>A=[492;764;357];

>>B=[372628]’;

>>X=A\B

X=

-0.5118

4.0427

1.3318

2角度

，求x的正弦、余弦、正切和余切。

>>x=[304560];

>>x1=x/180*pi;

>>sin（x1）

ans=

0.50000.70710.8660

>>cos（x1）

ans=

0.86600.70710.5000

>>tan（x1）

ans=

0.57741.00001.7321

>>cot（x1）

ans=

1.73211.00000.5774

3将矩阵

、

和

组合成两个新矩阵：

（1）组合成一个43的矩阵，第一列为按列顺序排列的a矩阵元素，第二列为按列顺序排列的b矩阵元素，第三列为按列顺序排列的c矩阵元素，即

（2）按照a、b、c的列顺序组合成一个行矢量，即

答案：

a=[42;57];

b=[71;83];

c=[59;62];

%

（1）

>>d=[a（:

）b（:

）c（:

）]

d=

475

586

219

732

%

（2）

>>e=[a（:

）;b（:

）;c（:

）]'

e=

452778135692

或利用

（1）中产生的d

>>e=reshape（d,1,12）

ans=

452778135692

4求解在x=8时多项式（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）的值。

>>p=poly（[1234]）;

>>polyvalm（p,8）%polyval（p,8）

ans=

840

5求方程

的全部根。

p=[3,7,9,0,-23];%建立多项式系数向量

x=roots（p）%求根

上机练习题三

班级：

姓名：

学号：

1、设x是数组，求均值和方差

解：

函数文件如下：

function[xx,s]=func1（x）

n=length（x）;

xx=sum（x）/n;

s=sqrt（（sum（x.^2）-n*xx^2）/（n-1））;

命令窗口：

>>x=[12345];[xx,s]=func1（x）

2、求满足

的最小m值

s=0;

n=0;

while（s<=100）

s=s+log（1+n）;

n=n+1;

end

n,s

3、用循环语句形成Fibonacci数列

。

并验证极限

（提示：

计算至两边误差小于精度1e-8为止）

解：

求Fibonacci数列的函数文件：

functionfibo（k）

clc;

f

（1）=1;

f

（2）=1;

forn=3:

k

f（n）=f（n-1）+f（n-2）

end

f（k）

验证极限的函数文件：

function[k,a]=funTest（e）

a=abs（1-（1+sqrt（5））/2）;

k=2;

while（a>e）

k=k+1;

a=abs（fun（k）/fun（k-1）-（1+sqrt（5））/2）;

end

命令行：

>>[k,a]=funTest（10^-8）

k=

21

a=

9.7719e-009

或者M文件如下：

clear;F

（1）=1;F

（2）=1;k=2;x=0;

e=1e-8;a=（1+sqrt（5））/2;

whileabs（x-a）>e

k=k+1;F（k）=F（k-1）+F（k-2）;x=F（k）/F（k-1）;

end

a,x,k

4、分别用for和while循环结构编写程序，求出

，并考虑一种避免循环语句的程序设计，比较各种算法的运行时间。

解：

for循环结构：

M文件loop.m

k=0;

fori=1:

10^6

k=k+sqrt（3）*2^-i;

end

k

while循环结构：

M文件loop1.m

k=0;i=1;

whilei<=10^6

k=k+sqrt（3）*2^（-i）;

i=i+1;

end

k

非循环结构：

M文件nonLoop.m

i=1:

10^6;

x=sqrt（3）*（2.^-i）;

k=sum（x）

速度比较：

>>tic;loop;toc％循环结构的执行时间

k=

1.7321

Elapsedtimeis1.813000seconds.

>>tic;nonLoop;toc％非循环结构的执行时间

k=

1.7321

Elapsedtimeis1.094000seconds.

上机练习题四

班级：

姓名：

学号：

1、作图描述气温变化

>>x=0:

24;

>>y=[15,14,14,14,14,15,16,18,20,22,23,25,28,31,32,31,29,27,25,24,22,20,18,17,16];

>>plot（x,y）

2、作出下列函数图形

（1）

（分别使用plot和fplot完成）

解：

>>fplot（'x^2*sin（x^2-x-2）',[-22]）％fplot方法

>>x=-2:

0.1:

2;y=x.^2.*sin（x.^2-x-2）;plot（x,y）％plot方法如图（4.1）

（2）

（椭圆提示：

用参数方程）

解：

>>r=-pi:

0.1:

pi;x=2*cos（r）;y=3*sin（r）;plot（x,y）％如图（4.2）

    解法二

    x=-2:

1/100:

2;

    y1=3*sqrt（1-x.^2/4）;y2=-3*sqrt（1-x.^2/4）;

    plot（x,y1,'r-',x,y2,'r-'）;axisequaltight;

图（4.1）图（4.2）

（3）

（抛物面）

解：

（错误）>>x=[-3:

0.1:

3];y=[-3:

0.1:

3];z=x.^2+y.^2;plot3（x,y,z）％如图（4.31）

（正确）>>xa=-3:

0.1:

3;ya=-3:

0.1:

3;[x,y]=meshgrid（xa,ya）;％如图（4.32）

>>z=x.^2+y.^2;mesh（x,y,z）;

>>surf（x,y,z）

图（4.31）error图（4.32）

（4）曲面

解：

>>xa=linspace（-3,3,100）;ya=linspace（-3,13,100）;

>>[x,y]=meshgrid（xa,ya）;

>>z=x.^4+3*x.^2+y.^2-2*x-2*y-2*x.^2.*y+6;

>>mesh（x,y,z）

>>surf（x,y,z）

（5）空间曲线

解：

>>t=linspace（0,2,50）;x=sin（t）;y=cos（t）;z=cos（2*t）;

>>plot3（x,y,z）

（6）半球面

解：

>>a=linspace（0,pi/2,50）;b=linspace（0,2*pi,50）;

>>[a,b]=meshgrid（a,b）;

>>x=2*sin（a）.*cos（b）;y=2*sin（a）.*sin（b）;z=2*cos（a）;

>>surf（x,y,z）

（7）三条曲线合成图

解：

>>x=linspace（0,pi,50）;y1=sin（x）;

>>plot（x,y1）;holdon;

>>y2=sin（x）.*sin（10*x）;

>>plot（x,y2）;

>>y3=-sin（x）;

>>plot（x,y3）;

>>holdoff;

3、作下列分段函数图

x=-5:

0.1:

5;

fori=1:

length（x）

ifx（i）>1.1

y（i）=1.1;

elseifx（i）<-1.1

y（i）=-1.1;

else

y（i）=x（i）;

end

end

plot（x,y）;

gridon;

或者M文件如下：

x=-5:

0.1:

5;

y=1.1.*（x>1.1）+x.*（x<=1.1&x>=-1.1）-1.1.*（x<-1.1）;

plot（x,y）

4、用MATLAB函数表示下列函数，并作图。

解：

建立M文件pxy如下：

xa=-2:

0.05:

2;ya=xa;

nx=length（xa）;ny=length（ya）;

[x,y]=meshgrid（xa,ya）;

z=zeros（nx,ny）;

[a1,b1]=find（x+y>1）;%第a1列b1行对应的x+y>1（x对应列；y对应行）

%第a1列对应的x值是xa（a1）；第b1行对应的y值是ya（b1）

z（（a1-1）*ny+b1）=0.5457*exp（-0.75*ya（b1）.^2-3.75*xa（a1）.^2-1.5*xa（a1））;

[a2,b2]=find（x+y<=1&x+y>-1）;

z（（a2-1）*ny+b2）=0.7575*exp（-ya（b2）.^2-6*xa（a2）.^2）;

[a3,b3]=find（x+y<=-1）;

z（（a3-1）*ny+b3）=0.5457*exp（-0.75*ya（b3）.^2-3.75*xa（a3）.^2+1.5*xa（a3））;

surf（x,y,z）;

命令窗口：

>>pxy

运行结果如右图：

或者M文件如下：

    clear;close;

    xa=-2:

0.1:

2;ya=-2:

0.1:

2;[x,y]=meshgrid（xa,ya）;

    z=zeros（size（x））;

    k1=find（x+y>1）;

    z（k1）=0.5457*exp（-0.75*y（k1）.^2-3.75*x（k1）.^2-1.5*x（k1））;

    k2=find（x+y<=1&x+y>-1）;

    z（k2）=0.7575*exp（-y（k2）.^2-6*x（k2）.^2）;

    k3=find（x+y<-1）;

    z（k3）=0.5457*exp（-0.75*y（k3）.^2-3.75*x（k3）.^2+1.5*x（k3））;

mesh（x,y,z）;

或者M文件如下：

xa=-2:

0.05:

2;ya=xa;

[x,y]=meshgrid（xa,ya）;

z=0.5457*exp（-0.75*y.^2-3.75*x.^2-1.5*x）.*（x+y>1）+...

0.7575*exp（-y.^2-6*x.^2）.*（x+y<=1&x+y>-1）+...

0.5457*exp（-0.75*y.^2-3.75*x.^2+1.5*x）.*（x+y<=-1）;

surf（x,y,z）;

上机练习题五

班级：

姓名：

学号：

1、运行demo

解：

>>demo

2、查询trapz的功能、用法、目录、程序结构、相同目录下其它文件

解：

>>helptrapz――功能用法

>>typetrapz――程序结构，源码

>>whichtrapz――所在目录

>>helpC:

\MATLAB6p5\toolbox\matlab\datafun――该目录下其它文件

3在[0,4pi]画sin（x）,cos（x）（在同一个图象中）;其中cos（x）图象用红色小圆圈画.并在函数图上标注“y=sin（x）”,“y=cos（x）”,x轴,y轴,标题为“正弦余弦函数图象”.

x=linspace（0,4*pi,100）;

y=sin（x）;

plot（x,y）;

gtext（'y=sin（x）'）;%图形注解,注意要用鼠标定位

holdon;

y=cos（x）;

plot（x,y,'ro'）;

gtext（'y=cos（x）'）;%图形注解

xlabel（'x轴'）;%x轴注解

ylabel（'y轴'）;%y轴注解

title（'正弦余弦函数图象'）;%图形标题

4从键盘输入若干个数，当输入0时结束输入，求这些数的平均值和它们之和。

sum=0;

cnt=0;

val=input（'Enteranumber（endin0）:

'）;

while（val~=0）

sum=sum+val;

cnt=cnt+1;

val=input（'Enteranumber（endin0）:

'）;

end

if（cnt>0）

sum

mean=sum/cnt

end

5若一个数等于它的各个真因子之和，则称该数为完数，如6=1+2+3，所以6是完数。

求[1,500]之间的全部完数。

form=1:

500

s=0;

fork=1:

m/2

ifrem（m,k）==0

s=s+k;

end

end

ifm==s

disp（m）;

end

end

上机练习题六

班级：

姓名：

学号：

1假定数据点来源为：

，试根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线。

x=0:

.12:

1;y=（x.^2-3*x+5）.*exp（-5*x）.*sin（x）;plot（x,y,x,y,'o'）

x1=0:

.02:

1;y0=（x1.^2-3*x1+5）.*exp（-5*x1）.*sin（x1）;

y1=interp1（x,y,x1）;

>>y2=interp1（x,y,x1,'cubic'）;

>>y3=interp1（x,y,x1,'spline'）;

>>y4=interp1（x,y,x1,'nearest'）;

>>plot（x1,[y1;y2;y3;y4],':

',x,y,'o',x1,y0）或者plot（x1,[y1',y2',y3',y4'],':

',x,y,'o',x1,y0）

2用不同插值的方法计算sin（x）在pi/2的值

clear

clc

x=0:

0.2:

pi;%产生包含被插值点的采样点（做成一个向量）

y=sin（x）;%求出各采样点对应的样本值

y1=interp1（x,y,pi/2）;%用默认的'linear'方法计算sin（pi/2）

y2=interp1（x,y,pi/2,'nearest'）;%用默认的'linear'方法计算sin（pi/2）

y3=interp1（x,y,pi/2,'cubic'）;%用三次多项式插值方法计算sin（pi/2）

y4=interp1（x,y,pi/2,'spline'）;%用三次样条插值方法计算sin（pi/2）

y5=spline（x,y,pi/2）;%直接用'spline'方法计算sin（pi/2）,功能与y4相同

disp（'各种方法的插值结果:

'）

out=['y1=',num2str（y1）

'y2=',num2str（y2）;

'y3=',num2str（y3）]

out2=['y4=',num2str（y4）

'y5=',num2str（y5）]

3求

的通解

[x,y]=dsolve（'Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t'）

%P149（3）的求解

[x,y]=dsolve（'Dx=a*y','Dy=-b*x','x（0）=x0','y（0）=y0','t'）

y=dsolve（'Dy=（b*x）/（a*y）','y（0）=y0','x'）;

4

方法一：

%微分方程的M函数funt.m文件

functiony=funt（t,y）

y=（y^2-t-2）/4/（t+1）;

%以下是求解的脚本m函数，可自由取名，然后在command窗口调用该函数求解.

ts=[0,10];%自变量的求解区间

y0=2;%初值条件

[t,y]=ode23（'funt',ts,y0）;%用2,3阶龙格库塔方法求‘funt’文件里的微分方程

y1=sqrt（t+1）+1;%求精确解对应点上的函数值

[t,y,y1]%以三列的形式显示结果，其中第一列为采样点t对应的值，第二列为t对应的数值解，第二列为t对应的精确解。

方法二：

%或者直接用内建函数编写待求的微分方程，在一个M脚本文件里执行求解。

funt=inline（'（y^2-t-2）/4/（t+1）'）%内建函数编写待求的微分方程

ts=[0,10];%自变量的求解区间

y0=2;%初值条件

[t,y]=ode23（funt,ts,y0）;%用2,3阶龙格库塔方法求‘funt’文件里的微分方程

y1=sqrt（t+1）+1;%求精确解对应点上的函数值

[t,y,y1]

5

第一种方法建立lorenz函数模型的状态方程

functionxp=lorenz（t,x）%建立lorenz函数模型的状态方程

xp=[-8/3,0,x

（2）;0,-10,10;-x

（2）,28,-1]*x%表明x是一个三维向量，前面是一个线性方程组的系数矩阵，xp%是一个三维的输出表示x

（1）,x

（2）,x（3）的一阶导数向量。

第二种方法建立lorenz函数模型的状态方程

functionxp=lorenz1（t,x）%建立lorenz函数模型的状态方程

xp=[-8/3*x

（1）+x

（2）*x（3）;-10*x

（2）+10*x（3）;-x

（2）*x

（1）+28*x

（2）-x（3）];

%求解微分方程

clear;clc;

x0=[0,0,eps]';%三个初值条件构成的向量

[t,x]=ode23（'lorenz',[0,100],x0）;

[t,x]

plot（t,x）,grid,pause%绘制解x

（1）,x

（2）,x（3）各自相对于变量t的图象，按任意键后继续下面的程序

figure;plot3（x（:

1）,x（:

2）,x（:

3））;%绘制解x

（1）,x

（2）,x（3）的关于系统的相平面图象

axis（[10,40,-20,20,-20,20]）;

上机练习题七

班级：

姓名：

学号：

1有一组测量数据如下表所示，数据具有y=x2+1的变化趋势，用最小二乘法求解y。

x

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

y

-1.4

2.7

3

5.9

8.4

12.2

16.6

18.8

26.2

>>x=[11.522.533.544.55]'

>>y=[-1.42.735.98.412.216.618.826.2]'

>>e=[ones（size（x））x.^2]

>>c=e\y

>>x1=[1:

0.1:

5]';

>>y1=[ones（size（x1））,x1.^2]*c;

>>plot（x,y,'ro',x1,y1,'k'）

2求下列线性方程组的解

（1）

解：

>>a=[41-1;32-6;1-53];b=[9;-2;1];x=a\b％唯一解

x=

2.3830

1.4894

2.0213

（2）

解：

>>a=[4-33;32-6;1-53];b=[-1;-2;1];x=a\b％唯一解

x=

-0.4706

-0.2941

0

（3）

解：

>>a=[41;32;1-5];b=[1;1;1];x=a\b％最小二乘近似解

x=

0.3311

-0.1219

（4）

，求通解

解：

>>a=[21-11;121-1;1121];b=[1;2;3];

>>rank（a）,rank（[a,b]）

ans=

3

ans=

3％说明有无穷多解

>>rref（[a,b]）％行最简化

ans=

1.0000001.50001.0000

01.00000-1.50000

001.00000.50001.0000

％通解为：

，

，

3、求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量

（1）

解：

>>a=[41-1;32-6;1-53];det（a）,inv（a）,[v,d]=eig（a）

ans=

-94行列式

ans=

0.2553-0.02130.0426

0.1596-0.1383-0.2234矩阵的逆

0.1809-0.2234-0.0532

v=

0.0185-0.9009-0.3066

-0.7693-0.1240-0.7248特征向量

-0.6386-0.41580.6170

d=

-3.052700

03.67600特征值

008.3766

（2）

解：

>>a=[431;33-5;1-53];det（a）