高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案.docx
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高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案
1.1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及集合运算的综合应用
1.全集
(1)全集定义:
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
(2)全集符号表示:
全集通常记作U.
2.补集的定义
(1)自然语言:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA.
(2)符号语言:
∁UA=
{x|x∈U且x∉A}.
(3)图形语言:
用Venn图表示,如下图阴影部分所示,表示∁UA.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素.( )
(2)集合∁BC与∁AC相等.( )
(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√
2.做一做
(1)(教材改编P11T4)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM等于( )
A.UB.{1,3,5}
C.{3,5,6}D.{2,4,6}
(2)(教材改编P11T4)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,3,4}B.{3,4}
C.{3}D.{4}
(3)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T等于( )
A.{x|-2 C.{x|x≤1}D.{x|x≥1} 答案 (1)C (2)D (3)C 『释疑解难』 1.全集理解 全集不是固定不变的,是相对于研究的问题而言的,如在整数范围内研究问题,Z是全集,而在实数范围内研究问题,R是全集.如若只讨论大于0小于5的实数,可选{x|0 2.补集理解 (1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素逃不出全集的范围. (2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的. (3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比: 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)A 减数b 减集合B 差a-b 补(余)集∁AB (4)符号∁UA有三层意思: ①A是U的子集,即A⊆U;②∁UA表示一个集合,且(∁UA)⊆U;③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}. (5)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. 探究 补集的简单运算 例1 (1)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=________; (2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=________. 解析 (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集定义可得∁UA={x|x<-3或x=5}. (2)解法一: A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}. 解法二: 借助Venn图,如图所示. 由图可知B={2,3,5,7}. 答案 (1){x|x<-3或x=5} (2){2,3,5,7} 拓展提升 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法: 定义法. (2)两种处理技巧 ①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解; ②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解. 【跟踪训练1】 (1)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM=( ) A.{2,4,6}B.{1,3,5} C.{1,2,4}D.U (2)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},则集合A={x∈R|-2≤x≤0}的补集∁UA为( ) A.{x∈R|0 C.{x∈R|0 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},所以∁UM={2,4,6}. (2)借助数轴(如图)易得∁UA={x∈R|0 探究 交、并、补集的综合运算 例2 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2 解 把全集U和集合A,B在数轴上表示如下: 由图可知 ∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}, A∩B={x|-2 ∁U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4}, (∁UA)∩B={x|-3 拓展提升 1.补集的性质及混合运算的顺序 (1)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅. (2)∁U(∁UA)=A,∁UU=∅,∁U∅=U. (3)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 2.当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合;当集合是用描述法表示时,如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解. 3.集合的交、并、补运算是同级运算,因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算. 【跟踪训练2】 已知集合A={x||x|≤2},B={x|-3 求: A∩C,A∪B,(∁RA)∩B. 解 A∩C={x|-2≤x≤2}∩{x|x≤1}={x|-2≤x≤1}; A∪B={x|-2≤x≤2}∪{x|-3 (∁RA)∩B={x|x<-2或x>2}∩{x|-3 探究 利用集合间的关系求参数 例3 已知集合A={x|2a-2 解 ∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅, ∵A∁RB, ∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A=∅,此时有2a-2≥a,∴a≥2. ②若A≠∅, 则有 或 ∴a≤1. 综上所述,a≤1或a≥2. [条件探究] 本例中若把“A∁RB”换成“A∩∁RB=∅”,则a的取值范围为多少? 解 ①若A=∅,则a≥2满足题意. ②若A≠∅,则需满足 解得 ≤a<2,综上所述a≥ . 拓展提升 利用补集求参数问题的方法 (1)解答本题的关键是利用A∁RB,对A=∅与A≠∅进行分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. (2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. (3)数轴与Venn图有同样的直观功效,在数轴上可以直观地表示数集,所以进行集合的交、并、补运算时,常借助数轴求解. 【跟踪训练3】 已知集合A={x|x (1)若A∪(∁RB)=R,求实数a的取值范围; (2)若A∁RB,求实数a的取值范围. 解 (1)∵B={x|1 ∴∁RB={x|x≤1或x≥3}, 因而要使A∪(∁RB)=R,结合数轴分析(如图),可得a≥3. (2)∵A={x|x 探究 补集思想的应用——正难则反 例4 若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有1个元素,求实数a的取值范围. 解 假设集合A中含有2个元素,即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根,则 解得a< 且a≠0,则此时实数a的取值范围是 .在全集U=R中,集合 的补集是 .所以满足题意的实数a的取值范围是 . 拓展提升 运用补集思想解题的方法 当从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.其解题步骤为: (1)否定已知条件,考虑反面问题; (2)求解反面问题对应的参数范围; (3)取反面问题对应的参数范围的补集. 【跟踪训练4】 已知集合A={y|y>a2+1或y 解 因为A={y|y>a2+1或y 由 得 故a≤- 或 ≤a≤2. 即A∩B=∅时,a的取值范围为a≤- 或 ≤a≤2, 故A∩B≠∅时,a的取值范围为a>2或-
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