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弯曲
第二十章平面弯曲
一、内容提要
梁的变曲变形是《材料力学》中最重要、最基本的内容之一。
而梁的平面弯曲又是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
梁的平面弯曲部分主要介绍了平面弯曲时,梁横截面上的内力、应力及强度条件、弯曲变形、刚度条件及简单超静定梁的解法。
(一)、梁横截面上的内力
梁在横力弯曲时,将横截面上分布内力系经过合成,可得到两个内力分量。
其中,与横截面相切的内力分量,称为剪力(用Q表示)。
使微段左↑右↓搓动的剪力为正↑↓,反之为负;而位于梁纵向对称平面内的内力偶,称为弯矩(用M表示)。
使微段产生下凸变形(上压、下拉)的弯矩为正
,反之为负。
求指定截面上剪力Q和弯矩M的基本方法是“截面法”。
1、截开在欲求内力的截面处,假想地将梁分为两段,任选一段作为研究对象。
2、代替在截面上以剪力Q和弯矩M代替去掉段对研究段的作用(要注意:
截面上的剪力Q和弯矩M均要按正方向画出,不得任意假设),画出研究段的受力图。
3、平衡建立研究段的平衡方程,由∑Y=0,计算剪力Q;由对截面形心C力矩的平衡方程∑MC=0,计算弯矩M。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例1。
求内力的基本方法是“截面法”,但求解过程较为繁杂。
因此,当熟练掌握用“截面法”按平衡条件求内力后,可利用力的简化原理直接由指定截面一侧作用的外力求得该截面上的剪力Q和弯矩M。
与“截面法”相对应,则有下述规定:
1、梁任一截面上的剪力Q等于该截面左侧(或右侧)梁上全部横向力的代数和。
若取左侧段计算时各横向力的正、负号以向上为正,向下为负;若取右侧段计算时各横向力的正、负号以向下为正,向上为负。
2、梁任一截面上的弯矩M等于该截面左侧(或右侧)梁上全部横向力(包括外力偶),对截面形心之矩的代数和。
若取左侧段计算时各力矩的正、负号以顺时针转向为正,逆时针转向为负;若取右侧段计算时各力矩的正、负号以逆时针转向为正,顺时针转向为负。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例1的讨论部分。
(二)、剪力方程和弯矩方程
表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化规律的函数关系式,称为剪力方程和弯矩方程,即Q=Q(x)M=M(x)。
建立剪力方程和弯矩方程的方法与用“截面法”求剪力和弯矩的方法基本相同,只须将截面的位置用变量X表示即可。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例2。
(三)、剪力图和弯矩图
表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化规律的图形,称为剪力图和弯矩图。
绘制剪力图和弯矩图的基本方法,是依据剪力方程和弯矩方程用描点法绘制相应的剪力图和弯矩图。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例2。
绘制剪力图和弯矩图的目的在于形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线方向的变化规律,从而确定梁在危险截面处的剪力值和弯矩值,为强度计算提供依据。
(四)、荷载集度q(x)、剪力Q(x)和弯矩M(x)之间的微分关系
由dQ(x)/dx=q(x)可知,剪力图上某点处的切线斜率等于相应点处的荷载集度。
由dM(x)/dx=Q(x)可知,弯矩图上某点处的切线斜率等于相应点处的剪力。
由d2M(x)/dx2=q(x)可知,由荷载集度q(x)的正、负(q(x)↑为正;q(x)↓为负)可确定弯矩图的凸凹方向。
因此,可利用上述的荷载集度q(x)、剪力Q(x)和弯矩M(x)之间的微分关系绘制或校核剪力图和弯矩图。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例3。
(五)、平面弯曲时横截面上的应力
1、纯弯曲时横截面上的应力(剪力恒为零而弯矩为常量的弯曲,称为纯弯曲)
由变形几何方面、物理方面和静力学方面的综合分析可知,纯弯曲时梁的横截面上只存在与弯矩M相对应的弯曲正应力σ。
弯曲正应力沿梁横截面的高度方向线性分布,横截面中性轴上各点的弯曲正应力为零,最大弯曲正应力发生在离中性轴最远的上(或下)边缘处。
任意点处的弯曲正应力可由公式
σ=MY/IZ来确定。
若中性轴为横截面的对称轴,则最大弯曲拉应力值等于最大弯曲压应力值,其值可由公式σmax=M/WZ来确定。
若中性轴为横截面的非对称轴,则最大弯曲拉应力值与最大弯曲压应力值不等,其最大弯曲拉应力可由公式σtmax=MYtmax/IZ来确定;其最大弯曲压应力可由公式
σcmax=MYcmax/IZ来确定。
2、横力弯曲时横截面上的应力(剪力和弯矩均不为零的弯曲,称为横力弯曲)
在横力弯曲情况下,梁的横截面上既有弯矩又有剪力,因而横截面上既存在与弯矩对应的弯曲正应
力又存在与剪力对应的弯曲剪应力。
对于细长梁(梁的跨长与横截面的高度之比大于5)其弯曲正应力可借用纯弯曲正应力计算公式来确定,且计算精度也能满足工程上的要求。
对于弯曲剪应力如下所述:
(1)、矩形截面梁横截面上的弯曲剪应力
矩形截面的弯曲剪应力值,沿梁横截面的高度方向按抛物线规律变化。
横截面上、下边缘处的弯曲剪应力为零,横截面中性轴各点处的弯曲剪应力为最大。
横截面任意点处的弯曲剪应力可由公式τ=QSZ*/bIZ来确定;最大弯曲剪应力可由公式τmax=QSZmax/bIZ=3Q/2A来确定,由该式可知:
矩形截面梁横截面上的最大弯曲剪应力等于横截面上平均剪应力的1.5倍。
(2)、圆形截面梁横截面上的弯曲剪应力
圆形截面的弯曲剪应力值,沿梁横截面的高度方向按抛物线规律变化。
横截面上、下边缘处的弯曲剪应力为零,横截面中性轴各点处的弯曲剪应力为最大,其值可由公式τmax=4Q/3A来确定,由该式可知:
圆形截面梁横截面上的最大弯曲剪应力等于横截面上平均剪应力的4/3倍。
(3)、薄壁圆环形截面梁横截面上的弯曲剪应力
薄壁圆环形截面梁横截面上的弯曲剪应力,沿梁横截面的高度方向按抛物线规律变化。
横截面上、下边缘处的弯曲剪应力为零,横截面中性轴各点处的弯曲剪应力为最大,其值可由公式τmax=2Q/A来确定,由该式可知:
薄壁圆形截面梁横截面上的最大弯曲剪应力等于横截面上平均剪应力的2倍。
(4)、工字形截面梁横截面上的弯曲剪应力
由于工字形截面的剪力主要由其腹板部分来承担,而其腹板部分是一个狭长的矩形,因此可用与矩形截面相同的假设和分析方法,可知:
腹板上的弯曲剪应力值,沿工字形截面腹板的高度方向按抛物线规律变化。
腹板上任意点处的弯曲剪应力可由公式τ=QSZ*/bIZ来确定;中性轴各点处的弯曲剪应力为最大,其值可由公式τmax=Q〔BH2-h2(B-b)〕/8bIZ来确定。
由于翼缘宽度B远大于腹板宽度b,所以上式可近似简化为τmax=Q/A,式中A=bh为腹板的面积。
-
(六)、梁的弯曲正应力强度条件
1、塑性材料
2、脆性材料
利用弯曲正应力强度条件,可解决工程中校核强度、设计尺寸和确定许可荷载的三类问题。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例4和例5。
(七)、梁的弯曲剪应力强度条件
利用弯曲剪应力强度条件,可解决工程中校核强度、设计尺寸和确定许可荷载的三类问题。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例4。
(八)、梁的变形
1、挠度和转角的概念
(1)、挠度梁横截面的形心沿垂直于梁轴线方向的线位移。
(规定:
↓挠度为正;↑挠度为负)
(2)、转角梁在弯曲变形时,横截面所转过的角度。
(规定:
顺时针转动的转角为正;逆时针转
动的转角为负)
2、挠度方程表示挠度变化规律的函数关系式,用υ=f(x)表示。
3、转角方程表示转角变化规律的函数关系式,用θ=υ′=f′(x)表示。
4、挠曲线近似微分方程用υ″=-M(x)/EIZ表示。
5、用积分法计算梁的变形
将挠曲线近似微分方程积分,就可得到转角方程为
将转角方程积分,就可得到挠度方程为
上式中的积分常数C和D可由梁的边界条件和光滑连续条件确定。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例6。
6、用叠加法计算梁的变形
工程实际中,梁上荷载往往比较复杂,分段越多,确定积分常数的运算越冗繁。
另外,工程中
往往仅需要确定某一指定截面的挠度或转角。
所以一般不采用积分法而采用较为简便的叠加法。
由叠加原理可知:
若梁上有几个荷载共同作用时,任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用时在该截面所引起的挠度或转角的代数和。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例7。
(九)、梁的刚度条件
为了保证梁具有足够的刚度,梁上最大挠度和最大转角必须限定在许可范围之内,即梁的刚度条件为:
fmax≤〔f〕θmax≤〔θ〕
利用梁的刚度条件,可解决工程中校核梁的刚度、设计尺寸和确定许可荷载的三类问题。
(十)、简单超静定梁的解法
当梁的约束反力数目m大于独立平衡方程数目n时,仅仅依靠平衡方程不能求出全部约束反力,这类梁称为超静定梁。
约束反力数目与独立平衡方程数目之差称为超静定次数,用w表示,即w=m-n。
根据超静定次数w可以确定所需要的补充方程的个数。
求解超静定梁必须从几何、物理和静力学三方面综合分析。
求解的具体方法和步骤见典型例题分析例8。
二、基本要求
(一)、掌握弯曲和平面弯曲的概念,以及如何将实际受弯杆件简化为力学模型。
(二)、对于确定弯曲内力的方法以及内力符号的确定原则都应建立清楚的概念。
(三)、熟练掌握求指定截面上剪力和弯矩的方法。
(四)、熟练掌握列剪力方程和弯矩方程,并绘制剪力图和弯矩图的方法。
(五)、掌握利用荷截集度、剪力和弯矩的微分关系,绘制或校核剪力图和弯矩图的方法。
(六)、掌握纯弯曲、横力弯曲、中性层和中性轴的概念。
(七)、掌握纯弯曲时梁的正应力公式的推导过程及其所采用的平面假设。
(八)、熟练掌握弯曲正应力在横截面上的分布规律以及任一点处弯曲正应力的计算。
(九)、熟练掌握弯曲正应力强度条件及其应用。
(十)、掌握矩形截面梁横截面上弯曲剪应力的分布及计算。
(十一)、掌握梁的横截面上最大弯曲剪应力发生在何处,以及矩形、圆形、工字形最大剪应力的计算公式。
(十二)、掌握弯曲剪应力强度条件及其应用。
(十三)、理解为提高梁的强度所采取主要措施的意义。
(十四)掌握挠曲线、挠度和转角的概念。
(十五)、掌握用积分法计算梁的变形并能熟练写出梁的边界条件和光滑连续条件。
(十六)、熟练掌握用叠加法计算梁的变形。
(十七)、掌握弯曲刚度条件及其应用以及简单超静定梁的求解方法。
(十八)、理解为提高梁的刚度所采取主要措施的意义。
三、典型例题分析
例1己知:
一简梁,尺寸及梁上的荷载如图所示。
求:
图示指定截面上的剪力和弯矩。
(图中Δ→0)
解:
为求得指定截面上的弯曲内力。
首先应求出梁的支反力,然后用“截面法”求出指定截
面上的弯曲内力。
一、支反力
由AB梁的平衡条件得:
∑MA=0
RB×6a-P×a+m-q×2a×4a=0
RB=4qa/3
∑MB=0
-RA×6a+P×5a+m+q
×2a×2a=0
RA=5qa/3
二、用“截面法”求指定
截面上的弯曲内力
1、C-截面上的剪力和弯矩
(1)、截开
沿C-截面将AB梁截开,选
较为简单的左侧段为研究对
象,如图所示。
(2)、代替
在C-截面上用剪力Qc-和弯矩
Mc-代替去掉的右侧段对留下
的左侧段的作用,如图所示。
(注意:
代替时要采用设正法
,即无论选左侧段或右侧段
为研究对象,剪力和弯矩均
要按正方向画出,不能任意
假设。
如前所述,使微段左
↑右↓搓动的剪力为正
↑↓,反之为负;使微段产生下凸变形(上压、下拉)的弯矩为正,反之为负。
因此,C-截面剪力Qc-和弯矩Mc-的正方向如图所示。
)
(3)、平衡
由左侧段的平衡条件得∑Y=0RA-Qc-=0Qc-=RA=5qa/3
∑Mc-=0Mc--RA(a-Δ)=0∵Δ→0∴Mc-=RA×a=5qa2/3
1、C+截面上的剪力和弯矩
(1)、截开如图所示。
(2)、代替如图所示。
(3)、平衡
∑Y=0RA-P-Qc+=0Qc+=RA-P=5qa/3-qa=2qa/3
∑Mc+=0Mc++P×Δ-RA(a+Δ)=0∵Δ→0∴Mc+=RA×a=5qa2/3
3、D-截面上的剪力和弯矩
(1)、截开如图所示。
(2)、代替如图所示。
(3)、平衡
∑Y=0RA-P-QD-=0QD-=RA-P=5qa/3-qa=2qa/3
∑MD-=0MD-+P(a-Δ)-RA(2a-Δ)=0MD-=RA×2a-Pa=5qa/3×2a-qa×a=7qa2/3
4、D+截面上的剪力和弯矩
(1)、截开如图所示。
(2)、代替如图所示。
(3)、平衡
∑Y=0RA-P-QD+=0QD+=RA-P=5qa/3-qa=2qa/3
∑MD+=0MD++m+P(a+Δ)-RA(2a+Δ)=0∵Δ→0∴MD+=RA×2a-m-P×a=5qa/3×2a-qa2-qa2=4qa2/3
5、E+截面上的剪力和弯矩
(1)、截开如图所示。
(2)、代替如图所示。
(3)、平衡
∑Y=0RB+QE+-q(2a-Δ)=0∵Δ→0∴QE+=2qa-4qa/3=2qa/3
∑ME+=0RB(3a-Δ)-ME+-q(2a-Δ)×(2a-Δ)/2=0∵Δ→0∴ME+=RB×3a-2qa2=2qa2
6、E-截面上的剪力和弯矩
(1)、截开如图所示。
(2)、代替如图所示。
(3)、平衡
∑Y=0RB+QE--q(2a+Δ)=0∵Δ→0∴QE-=2qa-4qa/3=2qa/3
∑ME-=0RB(3a+Δ)-ME--q(2a+Δ)×(2a+Δ)/2=0∵Δ→0∴ME-=RB×3a-2qa2=2qa2
讨论:
1、求内力的基本方法为“截面法”其具体步骤为:
截开→代替→平衡如本例所用方法,但求解过程较为繁杂。
因此,当熟练掌握用“截面法”按平衡条件求内力后,可利用力的简化原理直接由指定截面一侧作用的外力求得该截面上的剪力Q和弯矩M。
与“截面法”相对应,则有下述规定:
1、梁任一截面上的剪力Q等于该截面左侧(或右侧)梁上全部横向力的代数和。
若取左侧段计算时各横向力的正、负号以向上为正,向下为负;若取右侧段计算时各横向力的正、负号以向下为正,向上为负。
2、梁任一截面上的弯矩M等于该截面左侧(或右侧)梁上全部横向力(包括外力偶),对截面形心之矩的代数和。
若取左侧段计算时各力矩的正、负号以顺时针转向为正,逆时针转向为负;若取右侧段计算时各力矩的正、负号以逆时针转向为正,顺时针转向为负。
按上述方法可直接求出本例中各指定截面上的剪力和弯矩。
例如,D+截面上的剪力等于D+截面左侧段上全部横向力的代数和。
(横向力↑为正;↓为负)即QD+=RA-P=5qa/3-qa=2qa/3;D+截面上的弯矩等于D+截面左侧段上全部横向力(包括外力偶)对截面形心之矩的代数和。
(顺时针转向为正;逆时针转向为负)即MD+=RA(2a+Δ)-P(a+Δ)-m∵Δ→0∴MD+=RA×2a-P×a-m=5qa/3×2a-qa2-qa2=4qa2/3。
E-截面上的剪力等于E-截面右侧段上全部横向力的代数和。
(横向力↓为正;↑为负)即QE-=q(2a+Δ)-RB∵Δ→0∴QE-=2qa-4qa/3=2qa/3;E-截面上的弯矩等于E-截面右侧段上全部横向力对截面形心之矩的代数和。
(逆时针转向为正;顺时针转向为负)即ME-=RB(3a+Δ)-q(2a+Δ)×(2a+Δ)/2∵Δ→0∴ME-=RB×3a-2qa2=2qa2
。
推荐同学们采用此种较为简便的方法直接根据截面一侧的外力求出截面上的剪力和弯矩。
2、由本例可知,在集中力P作用的截面的两侧截面上,即C截面的左侧截面C-截面和C截面的
右侧截面C+截面上剪力发生突变,其突变值(|Qc--Qc+|=|5qa/3-2qa/3|=qa=P)等于集中力P的大小,而弯矩不变。
在集中力偶m作用的D截面的两侧截面,即D截面的左侧截面D-截面和D截面的右侧截面D+截面上弯矩发生突变,其突变值(|MD--MD+|=|7qa/3-4qa/3|=qa2=m)等于集中力偶m的大小,而剪力不变。
在分布荷载发生突变的E截面的两侧截面上剪力和弯均不变化。
以上决非偶然现象,而是普遍规律。
例2一简支梁,尺寸及梁上荷载如图所示。
求:
AB梁的剪力方程和弯矩方程并绘制该梁的
剪力图和弯矩图。
解:
首先求出梁的支反力,然后列出梁上各段的剪力方程和弯矩方程。
列梁上任一段剪力方程和弯矩方程时,可先标出该截面的位置坐标X如图所示,然后直接根据该截面一侧段上的外力写出剪力方程和弯矩方程。
再根据剪力方程和弯矩方程同描点法绘制出剪力图和弯矩图。
具体方法和步骤如下:
一、支反力
由AB梁的平衡条件得:
RA=5qa/3RB=4qa/3
二、列AB梁各段的剪力方程和弯矩方程
1、AC段
设AC段上任一截面的位置坐标为X,如图所示。
选该截面左侧段为研究对象。
则该截面上的剪力
等于左侧段全部横向力的代数和,即AC梁段的剪力方程为:
QAC=RA=5qa/3(0<x<a)
而该截面上的弯矩等于左侧段全部外力对该截面形心之矩的代数和,即AC梁段的弯矩方程为:
MAC=RAx=5qax/3(0≤x≤a)
2、CD段
QCD=RA-P=5qa/3-qa=2qa/3(a<x≤2a)
MCD=RAx-P(x-a)=5qax/3-qa(x-a)=2qax/3+qa2(a≤x<2a)
3、DE段
QDE=RA-P=5qa/3-qa=2qa/3(2a≤x≤3a)
MDE=RAx-P(x-a)-m=5qax/3-qa(x-a)-qa2=2qax/3(2a<x≤3a)
4、EF段
选右侧段为研究对象,如图所示。
QEF=-RB+q(x-a)=-4qa/3+qx-qa=qx-7qa/3(a≤x≤3a)
MEF=RBx-q(x-a)×(x-a)/2=4qax/3-q(x-a)2/2(a≤x≤3a)
5、FB段
QFB=-RB=-4qa/3(0<x≤a)MFB=RBx=4qax/3(0≤x≤a)
三、绘制剪力图和弯矩图
1、绘制剪力图时正值剪力画在x轴上方,负值剪力画在x轴下方。
2、
绘制弯矩图时正值剪力画在x轴下方,负值剪力画在x轴上方。
讨论:
由剪力图和弯
矩图可以看出:
在集中力
作用的截面两侧,剪力值
发生突变,其突变值等于
集中力的大小,而弯矩值
不变,但弯矩图的斜率发
生变化,因此,弯矩图出
现转折点。
在集中力偶作
用的截面两侧,弯矩值发
生突变,其突变值等于集
中力偶的大小,而剪力值
不变。
在分布力发生突变
的截面两侧,剪力值和弯
矩值均无变化。
在剪力为
零的截面处,弯矩取得极
值。
在无分布荷载作用的
各段上,剪力图均为水平
线,而弯矩图均为斜直线。
受均布荷载作用段上,剪力图为斜直线,而弯矩图为二次曲线。
例3
一简支梁,尺寸及梁上荷载如图所示。
求:
利用荷载集度、剪力和弯矩的微分关系绘制
AB梁的剪力图和弯矩图。
解:
一、支反力由
AB梁的平衡条件得
RA=5qa/3RB=4qa/3
二、利用微分关系作图
段名
AC
CD
DE
EF
FB
q(x)
0
0
0
常量(q↓为负值)
0
Q图
由dQ(x)/dx=q(x)=0
可知:
Q(x)为常量,Q图应为水平线,由QA+=5qa/3可画出水平线,如图所示。
同理,由Qc+=2qa/3可画出水线如图所示。
同理,由QD+=2qa/3
可画出水平
线,如图所
示。
由dQ(x)/dx=q(x)=常量可知:
Q(x)为x的一次函数,Q图应为斜直线由QE+=2qa/3和QF-=-4qa/3可画出斜直线。
由QB--=
-4qa/3可画出水平线,如图所示。
M图
由dM(x)/dx=Q(x)=正值
常量,可知:
M(x)应为
x的一次函数,由于正值
弯矩在x轴下方,所以,
M图应为\斜直线。
由MA+=0和MC-=5qa2/3可
画出斜直线,如图示。
同理,MC+
=5qa2/3和
MD--=7qa2/3可画出斜直线,如图示。
同理,由MD+=4qa2
/3和ME--=2qa2可画出斜直线,如图示。
由dM(x)/dx=Q(x)=x
的一次函数,可知:
M(x)应为x的二次函数。
由于正值弯矩在x轴下方,d2M(x)/dx2=q(x)=负常量,可知M图应为下凸的二次曲线。
另外,在dM(x)/dx=Q(x)=0处弯矩取得极值。
同理,由MF+=4qa2/3和MB-=0可画出斜直线,如图示。
例4己知如图所示,q=20KN/m,a=1m,b=100mm,h=200mm,材料的许用弯曲正应力
〔σ〕=170Mpa,材料的许用剪应力〔τ〕=100Mpa。
试校核AB梁的强度。
解:
要校核AB梁的强度
首先,要绘制梁的剪力图和
弯矩图,然后计算梁的最大
弯曲正应力,校核梁的正应
力强度。
另外,计算梁的最
大弯曲剪应力,校核梁的剪
应力强度。
一、绘制梁的剪力图和弯
矩图
可以应用前面所介绍的绘制
剪力图和弯矩图的两种方法
中的任意一种,画出剪力图
和弯矩图,如图所示。
二、计算梁的最大弯曲正应力,并校核梁的正应力强度
由弯矩图可知,梁的最大弯矩在D-截面,由于该梁为等截面梁,因此危险截面为D-截面,该截面上的最大弯曲正应力就是整个梁上的最大弯曲正应力,即
所以,AB梁满足弯曲正应力强度要求。
三、计算梁的最大弯曲剪应力,并校核梁的弯曲剪应力强度
由剪力图可知,梁的最大剪力在AC段的各横截面上,由于该梁为等截面梁,因此危险截面为AC
段的各横截面,AC段的各横截面上的最大弯曲剪应力就是整个梁上的最大弯曲剪应力,即
所以,AB梁满足弯曲剪应力强度要求。
讨论:
由本例可以看出:
τmax<<σmax,这决不是个别现象。
一般来说,细长梁(梁跨长/梁高度≥5)的强度主要由弯曲正应力强度条件所决定,在大多数情况下不必校核梁的弯曲剪应力强度。
只有在特殊情况下,需要校核弯曲剪应力强度。
例如:
梁的最大弯矩较小,而最大剪力很大时;自行焊接或铆接的组合截面钢梁;木制梁等。
例5某铸铁梁如图所示,材料的许用拉应力为〔σt〕=40MPa,材料的许用压应力为〔σc〕=
100MPa,试按正应力强度条件校核梁的强度。
解:
由于材料的许用拉应力与许用压应力不
等,因此,必须分别求出最大弯曲拉应力和最
大弯曲压应力方能校核梁的强度。
另外,为求
得最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力还必须求
出截面的形心坐标和横截面对中性轴的惯性矩。
一、求截面的形心坐标yc
10KN·m
二求横截面对中性轴的惯性矩IZ
三、绘制梁的弯矩图
由于本题要求按正应力强度条件校核梁的强度,因此,只须画出弯矩图即可,如图示。
四、计算最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力
1、计算B截面最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力
B截面最大弯曲拉应力为
B截面最大弯曲压应力为
2、计算C截面最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力
C截面最大弯曲拉应力为
C截面最大弯曲压应力为
3、确定最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力
由上述计算可知:
最大弯曲拉应力σtmax=34.5MPa,发生在C截面下边缘的各点处;最大弯曲压应力
σcmax=69MPa,发生在B截面下边缘的各点处。
五、校核AD梁的强度
∵σtmax=34.5MPa<〔σt〕=40MPaσcmax=69MPa<〔σc〕=100MPa
∴AD梁满足强度要求。
讨论:
虽然AD梁为等截面梁且C截面
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- 关 键 词:
- 弯曲