随机事件及其概率习题.docx
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随机事件及其概率习题
第一章随机事件及其概率
习题一
、填空题
1.设样本空间
{x|0
x2},
事件A{x|l
1
x1},B{x|-
4
{x|0x^}U{x|-
42
x2},
-1AB{x|-
4
x1}U{x|1x
2.连续射击一目标,Ai表示第i次射中,直到射中为止的试验样本空间
,则
=A;AIA2;L;A1A2LAn1An;L.
3.—部四卷的文集,按任意次序放在书架上,各卷自左向右,或自右向左顺序恰好为
1、2、3、4概率为—
12
4.一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个,其中恰有个m个次品的概
率是cmcnm/cN
5.某地铁车站,每5分钟有一趟列车到站,乘客到达车站的时刻是任意的,
则乘客侯
车时间不超过3分钟的概率为
6•在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于
6”的概率为
5
7.
已知RA)=P(B)=
(1)
当A,B互不相容时,P(AUB)=亠卩(AB)=0_^
当BA时,P(A+B=_;_RAB=
;P(AB)
若P(A),P(B),P(AB),P(AB)1
P(AB)=1
19
9.事件A,B,C两两独立,满足ABC,P(A)P(B)P(C)-,且P(A+B+C)=—
216
则P(A)=?
?
10.已知随机事件A的概率P(A)0.5,随机事件B的概率P(B)0.6,及条件概率
P(B|A)0.8,则和事件AB的概率P(AB)
12.假设一批产品中一、二、三等品各占60%30%10%从中随机取一件结果不是三
等品,则取到一等品的概率为
13.
aab.
已知P(A)a,P(B|A)b,则卩(AB)
14.一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽
取为次品的概率1
6
212
15.甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是-,1,-,三人中恰好有两人合格的概
325
率为2/5.
16.一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的
(1P)nnp(1p)n1
概率为1(1p)n;A至多发生一次的概率为
17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被击中,
则它是甲中的概率为
二、选择题
3.如果事件A,B有BA,则下述结论正确的是(C).
产品不全是合格品”,则下述结论正确的是(B).
5.若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则(C).
(C)AB未必是不可能事件;(D)P(A)=0或P(B)=0.
6.对于任意二事件A和B有P(AB)(C).
(D)
(C)P(A)P(AB);
P(A)P(B)P(B)P(AB).
8.设A,B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的(D).
(A)A与B不相容;(B)A与B相容;(C)P(AB=P(A)P(B);(D)P(A-护P(A).
9.当事件AB同时发生时,事件C必发生则(B).
13.设A,B是任意二事件,且P(B)
0,P(A|B)
1,则必有(C).
(A)
P(A
B)P(A);
(B)
P(A
B)P(B);
(C)
P(A
B)P(A);
(D)
P(A
B)P(B).
14.
袋中有
5个球,其中2个白球和
3个黑球,又有5个人依次从袋中任取一球,
取后
不放回,则第二人取到白球的概率为(
D.
(C)事件A和B互不独立;
16.
某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为次射击恰好第2次命中目标的概率为(C).
三、解答题
1.写出下列随机实验样本空间:
(1)同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之和;
(2)10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;
⑶对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连
续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
(4)将一尺之棰折成三段,观察各段的长度
解1
(1){3,4,5,,18};
{3,4,5,,10};
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,
{00,
100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111};
{(X,y,z)|x0,y0,z0,xyz1}其中x,y,z分别表示三段之长.
2.设A,B,C为三事件,用A,B,C运算关系表示下列事件:
(4)ABC;(5)ABC或ABC;
3.下面各式说明什么包含关系?
5.从数字1,2,3,…,10中任意取3个数字,
(1)求最小的数字为5的概率;
记“最小的数字为5”为事件A
•••10个数字中任选3个为一组:
选法有C1o种,且每种选法等可能.
又事件A相当于:
有一个数字为5,其余2个数字大于5。
这种组合的种数有1C;
P(A)2
(2)求最大的数字为5的概率。
记“最大的数字为5”为事件B,同上10个数字中任选3个,选法有Cw种,且每种选
法等可能,又事件B相当于:
有一个数字为5,其余2数字小于5,选法有1C2种
要4只都不配对,可在5双中任取
&已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机取一只,作不放回抽样,
求下列事件的概率。
—只是正品。
2)8人生
10.某学生宿舍有8名学生,问
(1)8人生日都在星期天的概率是多少?
(
日都不在星期天的概率是多少?
(3)8人生日不都在星期天的概率是多少?
1
解
(1)P1严
有2个电话号码相同,另2个电话号码不同的概率
取的至少有3个电话号码相同的概率q.
C11oc42a92
解基本事件总数有』!
种
5!
55!
(1)每个班各分一名优秀生有3!
种,对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中
312!
分法总数为种,所以共有住L种分法.所以P=4^生
44444415!
91
5!
55
(2)3名优秀生分配到同一个班,分法有3种,对每一分法,12名非优秀生分配到三个班
312
中分法总数为12!
共有312种,所以q二翠51
2!
5!
52!
551591
5!
55!
14.设AB是两事件且P(A)=,P(B)=.问
(1)在什么条件下P(AB取到最大值,最
从而由加法定理得
(1)从OWRABwP(A)知,当ABmA,g卩AnB时RAB取到最大值,最大值为
RAB=P(A)=,
(2)从(*)式知,当AUB=时,RAB取最小值,最小值为
F(AB=+—1=.
15.设A,B是两事件,证明:
P(ABAB)P(A)P(B)2P(AB)
通过笔试的概率为65%至少通过两者之一的概率为75%问该学生这门课结业的可能性有
多大?
解A=“他通过口试”,B=“他通过笔试”,则P(A)=P(B)=,P(A+B)=
P(AB)=F(A»+P(B)-P(A+B)=+-=
17.某地有甲、乙、丙三种报纸,该地成年人中有20淤甲报,16%读乙报,14%卖丙报,
其中8%兼读甲和乙报,5%兼读甲和丙报,4%兼读乙和丙报,又有2%兼读所有报纸,问成年
人至少读一种报纸的概率
解设A,B,C分别表示读甲,乙,丙报纸
P(ABC)
P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)
0.20.160.140.080.050.040.020.35
11
18.已知P(A)P(B)P(C)-,P(AB)0,P(AC)P(BC)一,求事件A,B,C全不发
416
生的概率.
解P(ABC)P(__)1P(ABC)
31
1[P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)]1--
48
19.某厂的产品中有4%勺废品,在100件合格品在有75件一等品,试求在该产品任取
一件的是一等品的概率.
正品的概率.
解Ai=“第i次取到正品”i=1,2,3,4.
p(AAA3A4)P(A)p(A2|A)P(A3|AA2)p(A4|A1A2A3)
——900.00069
100999897
21.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而
接通所需的电话的概率是多少?
记H表拨号不超过三次而能接通,A表第i次拨号能接通.
注意:
第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码
人入2民三种情况互斥
p(A)p(A2|A1)p(A)p(A2[Ajp(人3|入1入2)
1
91
9813
10
109
109810.
22.若P(A)
0,P(B)
0,且P(A|B)P(A),证明P(B|A)
P(B).
证因为
P(A|B)
P(A),
则P(AB)p(a)P(AB)P(B)
P(A)P(B)
所以
P(B|A)
P(AB)
P(A)P(B)P(B).
P(A)
P(A)
23.证明事件
A与B互不相容,
且0
P(A)
1P(B
o
证
P(a|B)篇艦.。
求取得正品的概率.
P(Bi)=0.5,P(B2)=O.3,P(B3)=O.2,P(A|Bi)0.9,P(A|B2)0.8,P(A|B3)0.7
3
所以P(A)PBPABi
i1
25.某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉,每个车间的产量分别占该厂螺钉
5%、4%、2%,
总产量的25%、35%、40%,每个车间成品中的次品分别为各车间产量的
(A)25%P(B)35%P(C)45%
padPAPDA
26.已知男人中有5%的色盲患者,女人中有%的色盲患者,今从男女人数中随机地挑
选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
因为P(B)PB0.5P(A|B)5%,P(A|B)0.25%
P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.50.050.50.00250.02625
27.设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明,P(B|A)P(B|A)是事件
A与B独立的充分必要条件.
证因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等于0和1,
P(B|A)P(B|A)鸣胞
P(A)P(A)
[1P(A)]P(AB)P(A)[P(B)P(AB)]
P(AB)P(A)P(B),
28.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在系统中,设每个元件正常工作的概率为P,求这个系统正常工作的概率。
假定各个能否正常工作是相互独立的.
A{代表这个系统正常工作},
2
由条件知,P(A)P,P(A)1
P(A)=P(A1AA0+P(AA)—P(AAAA4)(加法公式)
=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A4)—P(A)P(A)P(A3)P(A4)
29.某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为,求三个灯泡在使用1000小以后最多
只有一个坏的概率.
解A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上
P(A)0.2
P{三灯泡中最多有一个坏}=P{三个全好}+P{只有一个坏}
=CiT+C孑2(1-=.
手的命中率.
4
解n1P(命中0次)(1P)4,(1P)41
31.某型号的高射炮,每门炮发射一发击中的概率为,现若干门炮同时发射一发,问欲以99%勺把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮?
解设需要配置n门高射炮
A=“高炮击中飞机”,贝yP(A)0.6
P{飞机被击中}=P{n门高射炮中至少有一门击中}
=1
-P{n门高射炮全不命中}
10.4n99%
0.4n0.01
n心15026
lg04
至少配备6门炮.
32.设有三门火炮同时对某目标射击,命中概率分别为、、,目标命中一发被击毁的概率
为,命中二发被击毁的概率为,三发均命中被击毁的概率为,求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率.
解设A={目标一次射击中被击毁}Bi={目标被击中的发数},(i0,1,2,3,)
则P(Bo)0.80.70.50.28
P(B1)=XX+XX+XX=
P(B2)=XX+XX+XX=
P(B3)=XX=
P(A|Bo)0P(A|Bi)0.2P(A|B2)0.6P(A|B3)0.9
3
所以P(A)PBiPABiX+X+X=.
i0
6.从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则A表“4只人不配对”
从6***10只中任取4只,取法有种,每种取法等可能。
4双'再在4双中的每一双里任取一只。
取法有524
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