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数学中考分类汇总一元二次方程
2018中考数学试题分类汇编:
考点10一元二次方程
一.选择题(共18小题)
1.(2018•泰州)已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是( )
A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、由x1•x2=﹣2,可得出x1、x2异号,结论D错误.
综上即可得出结论.
【解答】解:
A∵△=(﹣a)2﹣4×1×(﹣2)=a2+8>0,
∴x1≠x2,结论A正确;
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1+x2=a,
∵a的值不确定,
∴B结论不一定正确;
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、∵x1•x2=﹣2,
∴x1、x2异号,结论D错误.
故选:
A.
2.(2018•包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( B )
A.6B.5C.4D.3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出m≤3,由m为正整数结合该方程的根都是整数,即可求出m的值,将其相加即可得出结论.
【解答】解:
∵a=1,b=2,c=m﹣2,关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4(m﹣2)=12﹣4m≥0,
∴m≤3.
∵m为正整数,且该方程的根都是整数,
∴m=2或3.
∴2+3=5.
故选:
B.
3.(2018•宜宾)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A.﹣2B.1C.2D.0
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0,此题得解.
【解答】解:
∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,
∴x1x2=0.
故选:
D.
4.(2018•绵阳)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( C )
A.9人B.10人C.11人D.12人
【分析】设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:
设参加酒会的人数为x人,
根据题意得:
x(x﹣1)=55,
整理,得:
x2﹣x﹣110=0,
解得:
x1=11,x2=﹣10(不合题意,舍去).
答:
参加酒会的人数为11人.
故选:
C.
5.(2018•临沂)一元二次方程y2﹣y﹣
=0配方后可化为( )
A.(y+
)2=1B.(y﹣
)2=1C.(y+
)2=
D.(y﹣
)2=
【分析】根据配方法即可求出答案.
【解答】解:
y2﹣y﹣
=0
y2﹣y=
y2﹣y+
=1
(y﹣
)2=1
故选:
B.
6.(2018•眉山)若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则
+
的值是( )
A.
B.﹣
C.﹣
D.
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣
、αβ=﹣3,将其代入
+
=
中即可求出结论.
【解答】解:
∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,
∴α+β=﹣
,αβ=﹣3,
∴
+
=
=
=
=﹣
.
故选:
C.
7.(2018•泰安)一元二次方程(x+1)(x﹣3)=2x﹣5根的情况是( )
A.无实数根B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3
【分析】直接整理原方程,进而解方程得出x的值.
【解答】解:
(x+1)(x﹣3)=2x﹣5
整理得:
x2﹣2x﹣3=2x﹣5,
则x2﹣4x+2=0,
(x﹣2)2=2,
解得:
x1=2+
>3,x2=2﹣
,
故有两个正根,且有一根大于3.
故选:
D.
8.(2018•宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A.2%B.4.4%C.20%D.44%
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:
设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,
根据题意得:
2(1+x)2=2.88,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:
该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故选:
C.
9.(2018•湘潭)若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1B.m≤1C.m>1D.m<1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.
【解答】解:
∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4m>0,
解得:
m<1.
故选:
D.
10.(2018•盐城)已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1,则k的值为( )
A.﹣2B.2C.﹣4D.4
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:
把x=1代入方程得1+k﹣3=0,
解得k=2.
故选:
B.
11.(2018•嘉兴)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:
画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=
,AC=b,再在斜边AB上截取BD=
.则该方程的一个正根是( )
A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长
【分析】表示出AD的长,利用勾股定理求出即可.
【解答】解:
欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:
画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=
,AC=b,再在斜边AB上截取BD=
,
设AD=x,根据勾股定理得:
(x+
)2=b2+(
)2,
整理得:
x2+ax=b2,
则该方程的一个正根是AD的长,
故选:
B.
12.(2018•铜仁市)关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为( )
A.x1=﹣1,x2=3B.x1=1,x2=﹣3C.x1=1,x2=3D.x1=﹣1,x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解.
【解答】解:
x2﹣4x+3=0,
分解因式得:
(x﹣1)(x﹣3)=0,
解得:
x1=1,x2=3,
故选:
C.
13.(2018•台湾)若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b,且a>b,则a﹣2b之值为何?
( )
A.﹣25B.﹣19C.5D.17
【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11,b=﹣3,然后计算代数式a﹣2b的值.
【解答】解:
(x﹣11)(x+3)=0,
x﹣11=0或x﹣3=0,
所以x1=11,x2=﹣3,
即a=11,b=﹣3,
所以a﹣2b=11﹣2×(﹣3)=11+6=17.
故选:
D.
14.(2018•安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12B.9C.13D.12或9
【分析】求出方程的解,即可得出三角形的边长,再求出即可.
【解答】解:
x2﹣7x+10=0,
(x﹣2)(x﹣5)=0,
x﹣2=0,x﹣5=0,
x1=2,x2=5,
①等腰三角形的三边是2,2,5
∵2+2<5,
∴不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意;
②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长是2+5+5=12;
即等腰三角形的周长是12.
故选:
A.
15.(2018•广西)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为( )
A.80(1+x)2=100B.100(1﹣x)2=80C.80(1+2x)=100D.80(1+x2)=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),设平均每次增长的百分率为x,根据“从80吨增加到100吨”,即可得出方程.
【解答】解:
由题意知,蔬菜产量的年平均增长率为x,
根据2016年蔬菜产量为80吨,则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨
,2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,
即:
80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100.
故选:
A.
16.(2018•乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住,当毎间房毎天定价为180元时,宾馆会住满;当毎间房毎天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?
设房价定为x元.则有( B )
A.(180+x﹣20)(50﹣
)=10890B.(x﹣20)(50﹣
)=10890
C.x(50﹣
)﹣50×20=10890D.(x+180)(50﹣
)﹣50×20=10890
【分析】设房价定为x元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得.
【解答】解:
设房价定为x元,
根据题意,得(x﹣20)(50﹣
)=10890.
故选:
B.
17.(2018•黑龙江)某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?
( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】设共有x个班级参赛,根据第一个球队和其他球队打(x﹣1)场球,第二个球队和其他球队打(x﹣2)场,以此类推可以知道共打(1+2+3+…+x﹣1)场球,然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解.
【解答】解:
设共有x个班级参赛,根据题意得:
=15,
解得:
x1=6,x2=﹣5(不合题意,舍去),
则共有6个班级参赛.
故选:
C.
18.(2018•眉山)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( )
A.8%B.9%C.10%D.11%
【分析】设平均每次下调的百分率为x,则两次降价后的价格为6000(1﹣x)2,根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可.
【解答】解:
设平均每次下调的百分率为x,由题意,得
6000(1﹣x)2=4860,
解得:
x1=0.1,x2=1.9(舍去).
答:
平均每次下调的百分率为10%.
故选:
C.
二.填空题(共14小题)
19.(2018•扬州)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2015的值为 2018 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.
【解答】解:
由题意可知:
2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018
故答案为:
2018
20.(2018•苏州)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n= ﹣2 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2,然后利用整体代入的方法进行计算.
【解答】解:
∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,
∴4+2m+2n=0,
∴n+m=﹣2,
故答案为:
﹣2.
21.(2018•荆门)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为 ﹣3 .
【分析】把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,再解关于k的方程,然后根据一元二次方程的定义确定k的值.
【解答】解:
把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,
整理得k2+3k=0,解得k1=0,k2=﹣3,
因为k≠0,
所以k的值为﹣3.
故答案为﹣3.
22.(2018•资阳)已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0,则m= 2 .
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程,通过解关于m的方程求得m的值即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0,
∴m2﹣2m=0且m≠0,
解得,m=2.
故答案是:
2.
23.(2018•南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,则m﹣n的值为
.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0,然后把等式两边除以n即可.
【解答】解:
∵2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,
∴4n2﹣4mn+2n=0,
∴4n﹣4m+2=0,
∴m﹣n=
.
故答案是:
.
24.(2018•柳州)一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3,x2=﹣3 .
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可.
【解答】解:
∵x2﹣9=0,
∴x2=9,
解得:
x1=3,x2=﹣3.
故答案为:
x1=3,x2=﹣3.
25.(2018•绵阳)已知a>b>0,且
+
+
=0,则
=
.
【分析】先整理,再把等式转化成关于
的方程,解方程即可.
【解答】解:
由题意得:
2b(b﹣a)+a(b﹣a)+3ab=0,
整理得:
2(
)2+
﹣1=0,
解得
=
,
∵a>b>0,
∴
=
,
故答案为
.
26.(2018•十堰)对于实数a,b,定义运算“※”如下:
a※b=a2﹣ab,例如,5※3=52﹣5×3=10.若(x+1)※(x﹣2)=6,则x的值为 1 .
【分析】根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:
由题意得,(x+1)2﹣(x+1)(x﹣2)=6,
整理得,3x+3=6,
解得,x=1,
故答案为:
1.
27.(2018•淮安)一元二次方程x2﹣x=0的根是 x1=0,x2=1 .
【分析】方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【解答】解:
方程变形得:
x(x﹣1)=0,
可得x=0或x﹣1=0,
解得:
x1=0,x2=1.
故答案为:
x1=0,x2=1.
28.(2018•黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根,则三角形的周长为 16 .
【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理,确定第三边的长,进而求其周长.
【解答】解:
解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7,
∵3<第三边的边长<9,
∴第三边的边长为7.
∴这个三角形的周长是3+6+7=16.
故答案为:
16.
29.(2018•黔南州)三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形周长是 13 .
【分析】求出方程的解,有两种情况:
x=2时,看看是否符合三角形三边关系定理;x=4时,看看是否符合三角形三边关系定理;求出即可.
【解答】解:
x2﹣6x+8=0,
(x﹣2)(x﹣4)=0,
x﹣2=0,x﹣4=0,
x1=2,x2=4,
当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系定理,所以x=2舍去,
当x=4时,符合三角形的三边关系定理,三角形的周长是3+6+4=13,
故答案为:
13.
30.(2018•通辽)为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?
设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为
x(x﹣1)=21 .
【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),x个球队比赛总场数为
x(x﹣1),即可列方程.
【解答】解:
设有x个队,每个队都要赛(x﹣1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得:
x(x﹣1)=21,
故答案为:
x(x﹣1)=21.
31.(2018•南通模拟)某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是 100(1+x)2=160 .
【分析】设二,三月份每月平均增长率为x,根据一月份生产机器100台,三月份生产机器160台,可列出方程.
【解答】解:
设二,三月份每月平均增长率为x,
100(1+x)2=160.
故答案为:
100(1+x)2=160.
32.(2018•泰州)已知3x﹣y=3a2﹣6a+9,x+y=a2+6a﹣9,若x≤y,则实数a的值为 3 .
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组,然后求得x、y的值,结合已知条件x≤y来求a的取值.
【解答】解:
依题意得:
,
解得
∵x≤y,
∴a2≤6a﹣9,
整理,得(a﹣3)2≤0,
故a﹣3=0,
解得a=3.
故答案是:
3.
三.解答题(共11小题)
33.(2018•绍兴)
(1)计算:
2tan60°﹣
﹣(
﹣2)0+(
)﹣1.
(2)解方程:
x2﹣2x﹣1=0.
【分析】
(1)首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂,然后再计算加减即可;
(2)首先计算△,然后再利用求根公式进行计算即可.
【解答】解:
(1)原式=2
﹣2
﹣1+3=2;
(2)a=1,b=﹣2,c=﹣1,
△=b2﹣4ac=4+4=8>0,
方程有两个不相等的实数根,
x=
=
=1
,
则x1=1+
,x2=1﹣
.
34.(2018•齐齐哈尔)解方程:
2(x﹣3)=3x(x﹣3).
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.
【解答】解:
2(x﹣3)=3x(x﹣3),
移项得:
2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,
整理得:
(x﹣3)(2﹣3x)=0,
x﹣3=0或2﹣3x=0,
解得:
x1=3或x2=
.
35.(2018•遵义)在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克)
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x(元/千克)
…
22.6
24
25.2
26
…
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?
【分析】
(1)根据表格内的数据,利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式,再代入x=23.5即可求出结论;
(2)根据总利润=每千克利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解答】解:
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b,
,解得:
,
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80.
当x=23.5时,y=﹣2x+80=33.
答:
当天该水果的销售量为33千克.
(2)根据题意得:
(x﹣20)(﹣2x+80)=150,
解得:
x1=35,x2=25.
∵20≤x≤32,
∴x=25.
答:
如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元.
36.(2018•德州)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:
台)和销售单价x(单位:
万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?
【分析】
(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式;
(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,根据总利润=单台利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出结论.
【解答】解:
(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:
,解得:
,
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000.
(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,
根据题意得:
(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,
整理,得:
x2﹣130x+4000=0,
解得:
x1=50,x2=80.
∵此设备的销售单价不得高于70万元,
∴x=50.
答:
该设备的销售单价应是50万元/台.
37.(2018•沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
【分析】
(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.
【解答】解:
(1)设每个月生产成本的下降率为x,
根据题意得:
400(1﹣x)2=361,
解得:
x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).
答:
每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元).
答:
预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
38.(2018•重庆)在美丽乡村建设中,某县政府投入专项资金,用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设.该县政府计划:
2018年前5个月,新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个,且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍.
(1)按计划,2018年前5个月至少要修建多少个沼气池?
(2)到2018年5月底,该县按原计划刚好完成了任务,共花费资金78万元,且修建的沼气池个数恰好是
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