九年级下册数学《二次函数》复习提纲.docx
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九年级下册数学《二次函数》复习提纲
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九年级下册数学《二次函数》复习提纲
261二次函数及其图像
二次函数(quadratifuntin)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax+bx+(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量之间存在如下关系:
一般式
=ax∧2;+bx+(a≠0,a、b、为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4a-b∧2)/4a);
顶点式
=a(x+)∧2+(a≠0,a、、为常数)或=a(x-h)∧2+(a≠0,a、h、为常数),顶点坐标为(-,)对称轴为x=-,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线];
重要概念:
a,b,为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
=(3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=1/(x1*x2)(1为截距)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量,是x的二次函数
x1,x2=[-b±(√(b-4a))]/2a
(即一元二次方程求根公式)(如右图)
求根的方法还有因式分解法和配方法
在平面直角坐标系中作出二次函数=2x的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意:
草图要有1本身图像,旁边注明函数。
2画出对称轴,并注明X=什么
3与X轴交点坐标,与轴交点坐标,顶点坐标。
抛物线的性质
轴对称
1抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是轴(即直线x=0)
顶点
2抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,4a-b;)/4a)
当-b/2a=0时,P在轴上;当Δ=b;-4a=0时,P在x轴上。
开口
3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:
抛物线与轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率的值。
可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与轴交点的因素
常数项决定抛物线与轴交点。
抛物线与轴交于(0,)
抛物线与x轴交点个数
6抛物线与x轴交点个数
Δ=b-4a>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b-4a=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ=b-4a<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b-4a的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4a-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在
{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{|≥4a-b/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为=ax+(a≠0)
特殊值的形式
7特殊值的形式
①当x=1时=a+b+
②当x=-1时=a-b+
③当x=2时=4a+2b+
④当x=-2时=4a-2b+
二次函数的性质
8定义域:
R
值域:
(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4a-b)/4a,
正无穷);②[t,正无穷)
奇偶性:
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性:
无
解析式:
①=ax+bx+[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:
(-b/2a,(4a-b)/4a);
⑷Δ=b-4a,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②=a(x-h)+[顶点式]
此时,对应极值点为(h,),其中h=-b/2a,=(4a-b)/4a;
③=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1+X2)/2当a>0且X≧(X1+X2)/2时,随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X1X2值。
262用函数观点看一元二次方程
1如果抛物线与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此就是方程的一个根。
2二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:
没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况:
没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。
263实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
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