北京市东城区届高三二模数学理试题Word版含答案.docx
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北京市东城区届高三二模数学理试题Word版含答案
北京市东城区学年度第二学期综合练习
(二)
高三数学(理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
(1)
(A)(B)(C)(D)
(2)设,,,则,,的大小关系是
(A)(B)(C)(D)
(3)已知为各项都是正数的等比数列,若,则
(A)(B)(C)(D)
(4)甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示,分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数,分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差,则有
(A),
(B),
(C),
(D),
(5)已知,是简单命题,那么“是真命题”是“是真命题”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(6)若实数满足不等式组则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
(7)定义在上的函数满足.当时,,当时,,则
(A)(B)(C)(D)
(8)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为,其中(),传输信息为,,,运算规则为:
,,,.例如原信息为,则传输信息为.传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是
(A)(B)(C)(D)
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)若的二项展开式中各项的二项式系数的和是,则,展开式中的常数项为.(用数字作答)
(10)已知正数满足,那么的最小值为.
(11)若直线为参数与曲线为参数,有且只有一个公共点,则.
(12)若双曲线截抛物线的准线所得线段长为,则.
(13)已知非零向量满足,与的夹角为,则的取值范围是.
(14)如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.
给出下列四个命题:
①若,则“距离坐标”为的点有且仅有个.
②若,且,则“距离坐标”为的点有且仅有个.
③若,则“距离坐标”为的点有且仅有个.
④若,则点的轨迹是一条过点的直线.
其中所有正确命题的序号为.
三、解答题(共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(15)(本小题共13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的定义域及其最大值;
(Ⅱ)求在上的单调递增区间.
(16)(本小题共13分)
某校高一年级开设,,,,五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选课程,不选课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.
(Ⅰ)求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率;
(Ⅱ)用表示甲、乙、丙选中课程的人数之和,求的分布列和数学期望.
(17)(本小题共14分)
如图,三棱柱的侧面是边长为的正方形,侧面侧面,,,是的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使二面角为,若存在,求的长;若不存在,说明理由.
(18)(本小题共13分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求在区间上的最小值;
(Ⅱ)求证:
存在实数,有.
(19)(本小题共13分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,过原点与平行的直线与椭圆交于点.证明:
.
(20)(本小题共14分)
已知数列的前项和为,且满足,,设,.
(Ⅰ)求证:
数列是等比数列;
(Ⅱ)若,,求实数的最小值;
(Ⅲ)当时,给出一个新数列,其中设这个新数列的前项和为,若可以写成(且)的形式,则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
北京市东城区学年度第二学期综合练习
(二)
高三数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C
(2)D(3)B(4)B
(5)D(6)D(7)A(8)C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)(10)
(11)(12)
(13)(14)
(1)
(2)(3)
注:
两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:
(Ⅰ)由,得.
所以的定义域为.…………………2分
因为,
,…………………6分
所以的最大值为.…………………7分
(Ⅱ)函数的单调递增区间为()
由,,且,
所以在上的单调递增区间为.……13分
(16)(共13分)
解:
(Ⅰ)设事件为“甲同学选中课程”,事件为“乙同学选中课程”.
则,.
因为事件与相互独立,
所以甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率为
.…………………4分
(Ⅱ)设事件为“丙同学选中课程”.
则.
的可能取值为:
.
.
.
.
.
为分布列为:
.………13分
(17)(共14分)
(Ⅰ)证明:
连接与相交于,则为的中点,连接.
因为为的中点,
所以∥.
因为平面,平面,
所以∥平面.………4分
(Ⅱ)证明:
,,在△中,,.
因为,
所以.
因为侧面侧面,
侧面侧面,
平面,
所以平面.………8分
(Ⅲ)解:
两两互相垂直,建立空间直角坐标系.
假设在线段上存在一点,使二面角为.
平面的法向量,设.
.
所以,.
设平面的法向量为,则
所以
令,得,,
所以的法向量为.
因为,
所以,解得,故.
因此在线段上存在一点,使二面角为,
且.………14分
(18)(共13分)
解:
(Ⅰ)当时,,.
因为,
由,.
则,,关系如下:
↘
极小值
↗
所以当时,有最小值为.………5分
(Ⅱ)“存在实数,有”等价于的最大值大于.
因为,
所以当时,,,在上单调递增,
所以的最大值为.
所以当时命题成立.
↘
极小值
↗
当时,由得.
则时,,,关系如下:
(1)当时,,在上单调递减,
所以的最大值.
所以当时命题成立.
(2)当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以的最大值为或.
且与必有一成立,
所以当时命题成立.
(3)当时,,
所以在上单调递增,
所以的最大值为.
所以当时命题成立.
综上:
对任意实数都存在使成立.……13分
(19)(共13分)
解:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,
由题意知解得,.
所以椭圆的标准方程为.……………………………5分
(Ⅱ)设直线的方程为:
,则.
由得
(*).
设,,则,是方程(*)的两个根,
所以.
所以.
.
.
.
设直线的方程为:
.
由得.
设,则,.
所以,.
所以.……………13分
(20)(共14分)
解:
(Ⅰ)因为
,,且,
所以是首项为,公比为等比数列.
所以.………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
.
因为,
所以,且.
所以的最小值为.………9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)当时,
当时,,,
所以对正整数都有.
由,,(且),只能是不小于3的奇数.
①当为偶数时,,
因为和都是大于1的正整数,
所以存在正整数,使得,,
,所以且,
相应的,即有,为“指数型和”;
②当为奇数时,
,
由于是个奇数之和,仍为奇数,又为正偶数,
所以
不成立,
此时没有“指数型和”.………14分
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