送货路线设计问题111.docx
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送货路线设计问题111
送货路线设计问题
摘要
我们建立了相应的模型来解决最优路径问题,使送货员耗时最少,路程最短。
并讨论了在最大载重和最大带货体积一定情况下的有时间限制和无时间限制的最优路径问题。
问题一,根据题中所给数据可求出30件货物质量之和为49.5公斤、体积之和为0.99立方米,故在问题一的模型建立中我们不用考虑质量、体积的约束。
本文可以将该问题转化为TSP(旅行商)问题(本题可以重复经过某顶点),建立了求最小Hamilton圈模型,先利用Floyd算法求出任意顶点间最短路,构造连接各顶点的一个无向赋权完全图。
再寻找该完全图中的最小Hamilton圈。
本文用LINGO软件寻找该完备图中的最小Hamilton圈,从而得到问题一的最优解。
依据程序运行结果,最后得出具体路径为:
O—>26—>21—>17—>14—>16—>23—>32—>35—>38—>36—>38—>43—>42—>49—>42—>45—>40—>34—>31—>27—>39—>27—>31—>24—>19—>13—>18—>O且得到最短送货路线的总长d=54600m,总的时间为:
226.50分钟。
问题二中增加了“时间”这一约束条件,而没有要求返回出发点。
所以我们必须在满足各点的时间要求前提下,寻找一条最优的路径。
我们根据时间优先的原则,即优先送货到时间要求较紧的地点,将所有货物送达点进行分块分组,我们将22个节点按时间限制划分为四个阶段:
9:
00、9:
30、10:
15、12:
00四个阶段。
分阶段后,由于各阶段所要求进过的地点个数较少,故在此问题中采用穷举法比较出其中耗时最短的路线,即为所求结果,最佳路线为:
->18->13->19->24->31->27->27->39->27->31->31->34->40->45->45->45->42
->49->42->43->43->38->36->38->35->32->32->32->23->23->16->14->17->21->26,
总路程:
53208米,总用时为(包括交货时间):
223.02分钟。
问题三中由于考虑到送货员送货受到包裹最大重量和最大体积的限制,因此送货员必须返回原点取货,根据题中所给数据可求出100件货物质量之和为148公斤、体积之和为2.98立方米,因此送货员最少要三次返回O点取货,故我们首先将最小生成树的枝节点靠近主干划分为三个区域,在每个区域中求出最优Hamilton回路,从而得到最短送完所有货物的线路图的满意解,并标出送货路线。
三个区域总路程和为最短路程为133509m,总时间为633.78分钟。
其中:
红色线路区域最短回路为:
0→26→31→27→39→27→36→45→40→47→40→50→49→42→43→38→35→32→23→17→21→0;路径长:
42173米。
绿色线路区域最短回路为:
0→26→31→34→40→37→41→44→48→46→33→28→30→22→20→22→29→25→19→24→31→26→0;路径长:
39895米。
橙色线路区域最短回路为:
0→21→17→23→16→14→9→10→7→1→6→1→8→3→4→2→5→15→12→11→13→18→0。
路径长:
51441米。
即有:
总路线长
总时间
关键词:
送货路线、最优路径、Floyd算法、TSP问题、穷举法
一、问题重述
现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式,随之物流行业也渐渐兴盛,每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达,而且他们往往一人送多个地方,请设计方案使其耗时最少。
现有一快递公司,库房在图1中的O点,一送货员需将货物送至城市内多处,请设计送货方案,使所用时间最少。
该地形图的示意图见图1,各点连通信息见表3,假定送货员只能沿这些连通线路行走,而不能走其它任何路线。
各件货物的相关信息见表1,50个位置点的坐标见表2。
假定送货员最大载重50公斤,所带货物最大体积1立方米。
送货员的平均速度为24公里/小时。
假定每件货物交接花费3分钟,为简化起见,同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。
请完成以下问题。
1.若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
给出结果。
标出行走路线。
2.假定该送货员从早上8点上班开始送货,要1~30号货物还需要按照预定时间内完成,请设计最快完成路线与方式。
标出行走路线。
3.若将100件货物全部送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
由于受重量和体积限制,送货员可中途返回取货。
可不考虑中午休息时间。
二、问题假设
1.假设送货员只能沿如图路线图行驶,不能走其他的任何路线
2.在联通路线中,送货员可自由选择
3.送货员交接货物只需三分钟,同一地点多次交接也以三分钟计,且同一地区的货物只一次即可全部送达,无需再次回O点取货。
交接完毕立即前往下一处,不会出现特殊情况而延误时间
4.假设送货员的路上平均速度为24km/h,不考虑堵车及发生意外的情况
5.假设相互连通的道路都是双向通道,没有单向的情况
三、变量说明
:
所载i件货物的质量总和;
:
所载i件货物的体积总和;
:
第i件货物的质量;
:
第i件货物的体积;
Ai:
第i个顶点
Dij:
从i到j的最短路径长度
:
送货员的平均速度
:
从i点到j点的距离权值;
:
问题三中红色路线的总路程
:
绿色路线的总路程
:
橙色路线的总路程
四、问题分析
分析问题一:
根据附表1所给数据可求出30件货物质量之和为49.5公斤、体积之和为0.99立方米,即此时送货员可一次性携带30个包裹送货到指定地点并返回。
故在此模型建立中我们不用考虑质量、体积的约束。
,从而最佳运送方案等价于找出一个遍历所有目的顶点Ai并返回出发点的最短路线。
首先我们可以根据两点间的坐标,利用Matlab软件编程,计算出各连通顶点(Ai,Aj)间的距离,并赋其相应边的距离权值为,再利用Floyd算法求出任意两点间最短路径。
构造连接各顶点的一个无向赋权完全图。
再用LINGO软件寻找该完备图中的最小Hamilton圈,从而得到问题一的最优解。
分析问题二:
问题二中加上了时间限制后,首先我们将22个节点按时间限制划分为四个阶段:
9:
00、9:
30、10:
15、12:
00四个阶段。
分阶段后,由于各阶段所要求进过的地点个数较少,故在此问题中采用穷举法就可以比较出其中耗时最短的路线。
第一时间段即8:
00——9:
00之间送到的站点为:
13、18、39、27、24
第二时间段即9:
00——9:
30之间送到的站点为:
31、34、40、45
第三时间段即9:
30——10:
15之间送到的站点为:
42、49、43、38
第四时间段即10:
15——12:
00之间送到的站点为:
36、32、23、16、14、17、21、26
分析问题三:
对于问题三要在体积和质量的双重限制下得到送货员最快完成送货的路线,1…100
号货物的总重量是148公斤,总体积是2.98公斤,根据是时间和体积的限制,送货员至
少要往返三次送货,又由于要求最快完成,则可通过在满足时间和体积的条件下划分区
域求局部最短回路,从而得到全局最短路的满意解。
五、模型的建立与求解
㈠问题一模型的建立与求解
⑴根据各顶点的坐标,利用Matlab软件编程(附表二),计算出各连通顶点(Ai,Aj)间的距离,并赋其相应边的距离权值为,如下表:
序号
位置点1
位置点2
距离(米)
1
1
3
1916
2
1
8
2864
3
2
20
7823
4
2
4
2293
5
3
8
1958
6
3
4
3536
7
5
15
5005
8
5
2
1253
9
6
1
1294
10
7
18
5918
11
7
1
4510
12
8
12
1757
13
9
14
2681
14
9
10
1946
……
……
……
……
81
O/51
18
2182
82
O/51
21
1797
83
O/51
26
1392
⑵利用Floyd算法求出任意两个顶点Ai,Aj之间的距离权值(最短路径长度)Dij,如下表:
1
2
3
4
5
6
7
8
……
49
50
O/51
1
0
7745
1916
5452
8998
1294
1968
2864
……
20306
16989
10068
2
7745
0
5829
2293
1253
9039
9713
7787
……
25570
22001
16296
3
1916
5829
0
3536
7082
3210
3884
1958
……
20705
17388
10467
4
5452
2293
3536
0
3546
6746
7420
5494
……
24241
20924
14003
5
8998
1253
7082
3546
0
10292
10966
9040
……
24317
20748
16563
6
1294
9039
3210
6746
10292
0
3262
4158
……
21600
18283
11362
7
1968
9713
3884
7420
10966
3262
0
4832
……
18338
15021
8100
8
2864
7787
1958
5494
9040
4158
4832
0
……
18747
15430
8509
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
49
20306
25570
20705
24241
24317
21600
18338
18747
……
0
3569
11721
50
16989
22001
17388
20924
20748
18283
15021
15430
……
3569
0
9928
O/51
10068
16296
10467
14003
16563
11362
8100
8509
……
11721
9928
0
⑶根据完全图再用LINGO软件(附表三)图中的最小Hamilton圈,从而得到问题一的最优解。
模型求解
借助数学工具LINGO,求出最优解如下:
路线:
O—>26—>21—>17—>14—>16—>23—>32—>35—>38—>36—>38—>43—>42
—>49—>42—>45—>40—>34—>31—>27—>39—>27—>31—>24—>19—>13—
>18—>O
得到最短送货路线的总长d=54600m,总的时间为:
226.50分钟。
送货员行走路线如图所示:
㈡问题二模型的建立与求解
问题二我们利用分块思想,将22个节点按时间限制划分为四个阶段:
9:
00、9:
30、10:
15、12:
00,用局部全排列穷举法求解每一块的最佳路径。
如下图为分块示意图:
由于考虑到送货时间运输限制,我们优先考虑送货时间,即以送货时间对所有货物进行分块,并在每一块内部采用局部全排列穷举法求取路径,并判断其总的送货时间是否满足指定的时间。
其基本步骤为:
(1)第一时间段为8:
00——9:
00之间送到的站点为:
13、18、39、27、24,不计重复站点,
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