秋季学期新版新人教版九年级数学上学期2213二次函数yaxh2+k的图象和性质导学案16.docx
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秋季学期新版新人教版九年级数学上学期2213二次函数yaxh2+k的图象和性质导学案16
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一、学习目标
1.探索二次函数y=a(x-h)²+k图象的性质;
2.探索二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²图象之间的联系.
二、知识回顾
1.抛物线y=ax2+k,当a>0是,开口向上,当a<0时,开口向下,对称轴是x轴,顶点是(0,k).
2.函数y=ax2+k,当k>0时,图象可由y=ax2的图象向上平移k个单位得到;当k<0时,图象可由y=ax2向下平移|k|的单位得到.
3.抛物线y=a(x-h)2,当a>0是,开口向上,当a<0时,开口向下,对称轴是直线x=h,顶点是(h,0).
4.函数y=a(x-h)2,当k>0时,图象可由y=ax2的图象向上平移k个单位得到;当k<0时,图象可由y=ax2向下平移|k|的单位得到.
5.说出下面二次函数的平移方式.
(1)
k>0,上移;k<0,下移.
(2)
h>0,右移;h<0,左移.
三、新知讲解
1.二次函数y=a(x-h)2+k的性质
2.各种形式的二次函数的关系
四、典例探究
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1.二次函数y=a(x-h)²+k开口方向、对称轴、顶点坐标和最值
【例1】(2015•长沙模拟)二次函数y=﹣
(x﹣3)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()
A.向下、直线x=3、(3,5)B.向上、直线x=﹣3、(﹣3,5)
C.向上、直线x=3、(3,5)D.向下、直线x=﹣3、(﹣3,﹣5)
总结:
二次函数y=a(x-h)²+k的开口方向由a决定,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).具体性质如下:
练1(2015•成都模拟)已知二次函数y=(x﹣3)2+1.下列说法:
①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.考查二次函数y=a(x-h)²+k的几何变换
【例2】(2015•闸北区一模)将抛物线y=﹣(x﹣3)2+5向下平移6个单位,所得到的抛物线的顶点坐标为____________.
总结:
抛物线平移的规律:
左加右减,上加下减.
(1)上下平移:
把抛物线y=a(x-h)²+k向上平移m(m>0)个单位长度,其顶点坐标变成(h,k+m),从而得到新的抛物线y=a(x-h)²+k+m;同理,把抛物线y=a(x-h)²+k向下平移m(m>0)个单位长度,其顶点坐标变成(h,k-m),从而得到新的抛物线y=a(x-h)²+k-m.即:
上下平移,只需要在k后加上或减去m即可,简称“上加下减”.
(2)左右平移:
把抛物线y=a(x-h)²+k向左平移n(n>0)个单位长度,其顶点坐标变成(h-n,k),从而得到新的抛物线y=a(x-h+n)²+k;同理,把抛物线y=a(x-h)²+k向右平移n(n>0)个单位长度,其顶点坐标变成(h+n,k),从而得到新的抛物线y=a(x-h-n)²+k.即:
左右平移,只需要在x后加上或减去n即可,简称“左加右减”.
练2已知抛物线y=a(x﹣h)2+k向左平移3个单位,再向下平移1个单位后,得到抛物线y=2(x+3)2﹣2,求a、h、k的值;
练3(2012•天津模拟)把抛物线y=-(x-1)2-1向______平移______个单位,再向______平移_____个单位得到抛物线y=-(x+2)2-3.
五、课后小测
一、选择题
1.(2015•新疆)抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是()
A.(﹣1,2)B.(﹣1,﹣2)C.(1,﹣2)D.(1,2)
2.(2015•台州)设二次函数y=(x﹣3)2﹣4图象的对称轴为直线l,若点M在直线l上,则点M的坐标可能是()
A.(1,0)B.(3,0)C.(﹣3,0)D.(0,﹣4)
3.(2015•东营区校级模拟)对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
4.(2015•慈溪市一模)关于二次函数y=﹣(x+1)2+2的图象,下列判断正确的是()
A.图象开口向上B.图象的对称轴是直线x=1
C.图象有最低点D.图象的顶点坐标为(﹣1,2)
5.(2015•河北区一模)当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()
A.﹣
或
B.﹣
或2
C.﹣
或﹣
或2D.﹣
或﹣
或
或2
6.(2013秋•天津期末)已知二次函数y=2(x﹣1)2﹣3,则下列说法正确的是()
A.y有最小值0,有最大值﹣3B.y有最小值﹣3,无最大值
C.y有最小值﹣1,有最大值﹣3D.y有最小值﹣3,有最大值0
7.(2013秋•文登市期末)已知二次函数y=a(x﹣1)2+b(a≠0)有最大值1,则a,b的大小关系是()
A.a<bB.a>bC.a=bD.不能确定
二、填空题
8.(2014•江西模拟)将二次函数y=﹣2(x﹣1)2+3的图象关于原点作对称变换,则对称后得到的二次函数的解析式为________________.
9.(2014•宜阳县校级模拟)将二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣1的图象先向右平移1个单位,再沿x轴翻折到第一象限,然后向右平移1个单位,再沿y轴翻折到第二象限......以此类推,如果把向右平移1个单位再沿坐标轴翻折一次记作1次变换,那么二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣1的图象经过2013次变换后,得到的图象的函数解析式为__________.
三、解答题
10.(2013秋•北京校级期中)画出函数
的示意图,观察图象回答下列问题
(1)求顶点坐标与对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?
当x取何值时,y随x的增大而减小?
(3)当x取何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少?
11.(2012秋•大丰市校级月考)把抛物线y=a(x﹣4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=﹣3(x﹣h)2的图象.若抛物线y=a(x﹣4)2的顶点A,且与y轴交于点B,抛物线y=﹣3(x﹣h)2的顶点是M,求①a,h的值;②S△MAB的值.
12.(2009秋•重庆校级月考)已知二次函数y=﹣(x﹣2)2+4.
(1)填写表格,并在所给直角坐标系中描点,画出该函数图象.
x
…
…
y=﹣(x﹣2)2+4
(2)填空
①该函数图象与x轴的交点坐标是;
②当时,y随x的增大而减小;
③当时,y<0;
④若将抛物线y=﹣(x﹣2)2+4向左平移个单位,再向平移个单位后可得抛物线y=﹣x2.
典例探究答案:
【例1】【解析】已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标.
解:
由y=﹣
(x﹣3)2+5可知,二次项系数为﹣
<0,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=3,
顶点坐标为(3,5).
故选A.
点评:
本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系,根据二次项系数的符号确定开口方向,根据顶点式确定顶点坐标及对称轴.
练1.【解析】二次函数的一般形式中的顶点式是:
y=a(x﹣h)2+k(a≠0,且a,h,k是常数),它的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k),在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大.
解:
①∵a=1>0,∴二次函数y=(x﹣3)2+1图象的开口向上,故本小题说法错误;
②图象的对称轴为直线x=3,故本小题说法正确;
③其图象顶点坐标为(3,1),故本小题说法错误;
④当x<3时,y随x的增大而减小,故本小题说法正确;
综上所述,说法正确的有②④共2个.
故选:
B.
点评:
本题考查了二次函数的性质,主要考查了函数图象的开口方向,对称轴解析式,顶点坐标,以及函数的增减性,都是基本性质,熟练掌握性质是解题的关键.
【例2】【解析】根据二次函数的性质得抛物线y=﹣(x﹣3)2+5的顶点坐标为(3,5),然后根据点平移的规律,点(3,5)经过平移后得到对应点的坐标为(3,﹣1),从而得到新抛物线的顶点坐标.
解:
抛物线y=﹣(x﹣3)2+5的顶点坐标为(3,5),点(3,5)向下平移6个单位得到对应点的坐标为(3,﹣1),所以新抛物线的顶点坐标为(3,﹣1).
故答案为(3,﹣1).
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换:
由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
练2.【解析】反向平移,即把抛物线y=2(x+3)2﹣2向右平移3个单位,再向上平移1个单位后得到抛物线y=a(x﹣h)2+k,然后把抛物线平移的问题转化为顶点平移的问题加以解决;
解:
抛物线y=2(x+3)2﹣2的顶点坐标为(﹣3,﹣2),把点(﹣3,﹣2)向右平移3个单位,再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为(0,﹣1),
所以原抛物线的解析式为y=2x2﹣1,
所以a=2,b=0,k=﹣1;
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换.
练3【解析】把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.
解:
因为抛物线y=-(x-1)2-1的顶点坐标是(1,-1),抛物线y=-(x+2)2-3的顶点坐标是(-2,-3).因为(1,-1)向左平移3个单位,向下平移2个单位到(-2,-3),所以抛物线y=-(x-1)2-1向左平移3个大内,向下平移2个单位得到抛物线y=-(x+2)2-3.
故填:
左,3,下,2
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换.
课后小测答案:
一、选择题
1.【解析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标.
解:
∵顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),
∴抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是(1,2).
故选:
D.
点评:
主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法.熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键.
2.【解析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3,点M在直线l上则点M的横坐标一定为3,从而选出答案.
解:
∵二次函数y=(x﹣3)2﹣4图象的对称轴为直线x=3,
∴直线l上所有点的横坐标都是3,
∵点M在直线l上,
∴点M的横坐标为3,
故选:
B.
点评:
本题考查了二次函数的性质,解答本题的关键是掌握二次函数y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k),对称轴是x=h.
3.【解析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.
解:
①∵a=﹣<0,
∴抛物线的开口向下,正确;
②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;
③顶点坐标为(﹣1,3),正确;
④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;
综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.
故选:
C.
点评:
本题考查了二次函数的性质,主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标,以及二次函数的增减性.
4.【解析】二次函数的一般形式中的顶点式是:
y=a(x﹣h)2+k(a≠0,且a,h,k是常数),它的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k).
解:
∵﹣1<0,
∴函数的开口向下,图象有最高点,
∵这个函数的顶点是(﹣1,2),
∴对称轴是x=﹣1,
故选:
D.
点评:
本题考查了二次函数的性质,掌握抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标是解题的关键.
5.【解析】分类讨论:
m>﹣2,﹣2≤m≤1,m>1,根据函数的增减性,可得答案.
解:
当m<﹣2,x=﹣2时,y最大=﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4,解得m=﹣
(舍),
当﹣2≤m≤1,x=m时,y最大=m2+1=4,解得m=﹣
;
当m>1,x=1时,y最大=﹣(1﹣m)2+m2+1=4,
解得m=2,
综上所述:
m的值为﹣
或2,
故选:
B.
点评:
本题考查了二次函数的最值,函数的顶点坐标是最大值,利用函数的增减性得出函数的最值,分类讨论是解题关键.
6.【解析】根据二次函数y=2(x﹣1)2﹣3的解析式,得出a的值和顶点的纵坐标,即可得出函数的最值.
解:
∵二次函数y=2(x﹣1)2﹣3中,a=2>0,
∴y有最小值﹣3,无最大值;
故选:
B.
点评:
此题主要考查了二次函数的最值,关键是根据二次函数的解析式求出a的符号和最值.
7.【解析】根据二次函数的性质得到a<0,b=1,然后对各选项进行判断.
解:
∵二次函数y=a(x﹣1)2+b(a≠0)有最大值1,
∴a<0,b=1.
故选A.
点评:
本题考查了二次函数的最值:
确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值
二、填空题
8.【解析】根据关于原点对称点的特点,可得答案.
解;y=﹣2(x﹣1)2+3的顶点坐标为(1,3),故变换后的抛物线为y=2(x+1)2﹣3,
故答案为:
y=2(x+1)2﹣3.
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换,抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变,顶点关于原点对称,而开口大小并没有改变.
9.【解析】先分别求出二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣1变换4次以后的函数解析式,发现规律:
4次变换刚好又回到了原来的位置,那么变换2013次就相当于变换1次,即与变换1次的函数解析式相同.
解:
把y=﹣2(x﹣1)2﹣1的图象先向右平移一个单位,得y=﹣2(x﹣2)2﹣1,再沿x轴翻折到第一象限得﹣y=﹣2(x﹣2)2﹣1,即y=2(x﹣2)2+1,即1次变换后的解析式为y=2(x﹣2)2+1;
把y=2(x﹣2)2+1的图象先向右平移一个单位,得y=2(x﹣3)2+1,再沿y轴翻折到第二象限得y=2(﹣x﹣3)2+1,即y=2(x+3)2+1,即2次变换后的解析式为y=2(x+3)2+1;
把y=2(x+3)2+1的图象先向右平移一个单位,得y=2(x+2)2+1,再沿x轴翻折到第一象限得﹣y=2(x+2)2+1,即y=﹣2(x+2)2﹣1,即3次变换后的解析式为y=﹣2(x+2)2﹣1;
把y=﹣2(x+2)2﹣1的图象先向右平移一个单位,得y=﹣2(x+1)2﹣1,再沿y轴翻折到第二象限得y=﹣2(﹣x+1)2﹣1,即y=﹣2(x﹣1)2﹣1,即4次变换后的解析式为y=﹣2(x﹣1)2﹣1;
所以变换4次刚好又回到了原来的位置,
∵2013÷4=503…1,
∴变换2013次实际就相当变换一次,为y=2(x﹣2)2+1.
故答案为y=2(x﹣2)2+1.
点评:
本题考查二次函数图象与几何变换,难度适中.根据解析式平移的规律:
左加右减,上加下减分别求出二次函数y=﹣2(x﹣1)2﹣1变换4次以后的函数解析式,进而发现规律是解题的关键.
三、解答题
10.【解析】
(1)根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴即可;
(2)根据二次函数的性质结合图形解答即可;
(3)根据二次函数的最值问题解答.
解:
(1)顶点坐标为(1,2),
对称轴为直线x=1;
(2)x<1时,y随x的增大而增大,
x>1时,y随x的增大而减小;
(2)x=1时,二次函数有最大值为2.
点评:
本题考查了二次函数图象,二次函数的性质,以及二次函数的最值问题,熟记性质是解题的关键.
11.【解析】①根据平移变换不改变图形的形状求出a的值,再根据向左平移,横坐标减纵坐标不变,利用两个抛物线的顶点列式求解即可得到h的值;
②求出点A、B、M的坐标,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
解:
①∵抛物线y=a(x﹣4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=﹣3(x﹣h)2的图象,
∴a=﹣3,
4﹣6=h,
解得h=﹣2;
②∵抛物线y=a(x﹣4)2的顶点A,且与y轴交于点B,
∴点A(4,0),B(0,﹣48),
∵抛物线y=﹣3(x﹣h)2的顶点是M,
∴M(﹣2,0),
∴S△MAB=
×|4﹣(﹣2)|×|﹣48|=144.
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换,主要利用了平移变换不改变图形的形状与大小以及平移规律“左加右减,上加下减”.
12.【解析】
(1)抛物线的顶点坐标为(2,4),自变量以2为中心,各取比2大的2个数,比2小的2个数,求得其函数值填表,进而描点,连线即可;
(2)①从图象上找到相应的与x轴的交点即可;
②看在对称轴的哪一侧,y随x的增大而减小即可;
③找到x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可;
④看顶点(2,4)是怎么平移到(0,0)的即可.
解:
(1)如图表
x
…
0
1
2
3
4
…
y=﹣(x﹣2)2+4
…
0
3
4
3
0
…
(2)①该函数图象与x轴的交点坐标是(4,0)(0,0);
②当x>2时,y随x的增大而减小;
③当x<0或x>4时,y<0;
④若将抛物线y=﹣(x﹣2)2+4向左平移2个单位,再向下平移4个单位后可得抛物线y=﹣x2.
点评:
y随x的增大或减小,应从对称轴的入手分析;函数值小于0,应看x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值;二次函数图象的平移与顶点的平移一致.
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