二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解.docx

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二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解

2011年6月

第25卷第2期总84期北京联合大学学报（自然科学版

JournalofBeijingUnionUniversity（NaturalSciencesJun．2011

Vol．25No．2SumNo．84

[收稿日期]2010－09－20

[作者简介]王海菊（1966—,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。

二阶常系数线性非齐次微分方程

特解简易求法

王海菊

（北京联合大学基础部,北京

100101

[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。

本文

在不脱离教材特解的求法,

利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ（x+（2λ+pQ'（x+（λ2

+pλ+qQ（x=Pm（x,简化待定系数法求特解的过程。

对右端非齐次项eλx[Pl（xcosωx+Pn（xsinωx]是先设变换,化简右端非齐次项。

[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O241.8

[文献标志码]A

[文章编号]1005-

0310（201102-0073-03SimplificationforParticularSolutionofSecondOrderLinear

Non-homogeneousDifferentialEquationwithConstantCoefficients

WANGHai-ju

（BasicCoursesDepartmentOfBeijingUnionUniversity,Beijing

100101,China

Abstract:

Theparticularsolutionofsecondorderlinearnon-homogeneousdifferentialequationwithconstantcoef-ficientsisbymeansofunderminedcoefficients,whichisrelativelycomplex．Insteadofusingthemethodofparti-cularsolutioninteachingmaterials,importantformulaindeducingparticularsolutionisadopted．Thesolutionoftheproblemcanbesimplified．

Keywords:

differentialequation;constantcoefficients;particulars

0引言

一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ

+py'+qy=f（x（1的特解采用待定系数法[1]

计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式

[2-3]

又很难记住公式。

采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。

常见的方程右端非齐次项f（x主要有两种类型:

f（x=Pm（xeλx及eλx[Pl（xcosωx+Pn（xsinωx]

1

f（x=Pm（xeλx

型

解法是设特解y

*

=xkQm（xeλx=Q（xeλx,

其中Q（x=xk

Qm（x是k+m次多项式,将特解

y*代入方程（1,化简并整理得:

Qᵡ（x+（2λ+pQ'（x+（λ2+pλ+qQ（x=Pm（x。

（2

结论

1λ不是特征方程的根时,取k=0,

2λ+p及λ2

+pλ+q都不为零;

2λ是特征方程的单根时,取k=1,λ2

+pλ+

q=0,此时式（2就简化为Qᵡ（x+（2λ+pQ'（x=Pm（x;

3λ是特征方程的重根时,取k=2,λ2+pλ+

q=0,且2λ+p=0,此时式（2就简化为Qᵡ（x=Pm（x。

北京联合大学学报（自然科学版2011年6月

可见利用式（2,只需求Q'（x及Qᵡ（x即

可,不需求y*的一阶,二阶导数,可以大大简化此

类题的计算量。

以教材[1]中例题或习题为例。

求

yᵡ－2y'+y=（2x+1e－x的特解。

解:

由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k

=0。

设特解y*=（ax+be－x,则Q（x=ax+b,

将Q（x代入式（2有:

（－2－2a+（1+2+1（ax+b=2x+1,

即:

4ax－4a+4b=2x+1。

由待定系数法得:

a=1

2

b=

3

4

Q（x=

1

2

x+34。

因此求得一个特解为y*=

1

2

x+

（34e－x,

求yᵡ－5y'+6y=xe2x的特解。

解:

由于λ=2,是特征方程的单根,取k=1,Q（x的系数为零。

设特解y*=x（ax+be2x,则Q（x=ax2+bx,将Q（x代入式（2有:

2a+（4－5（2ax+b=x,

即:

－2ax+2a－b=x。

由待定系数法得:

a=－1

2

b=－1,Q（x=－

1

2

x2－x。

因此求得一个特解为:

y*=x－12x－

（1e2x。

求yᵡ－6y'+9y=（x+1e3x的特解。

解:

由于λ=3,是特征方程的重根,取k=2,则Q'（x,Q（x的系数都为零。

可设特解y*=x2（ax+be3x,则Q（x=ax3+bx2,将Q（x代入式（2有:

6ax+2b=x+1。

由待定系数法得:

a=1

6

b=12,

因此求得一个特解为y*=x2

1

6

x+

（12e3x。

2f（x=eλx[Pl（xcosωx+Pn

（x

sinωx]型特解可设为:

y*=xkeλx[R（1m（xcosωx+R（2

m

（xsinωx]。

主要是当λ≠0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。

不妨先设变换y=eλxu（x代入式（1,消去eλx,得到一个与式（2极相似的式子uᵡ（x+（2λ

+pu'（x+（λ2+pλ+qu（x=P

l

（xcosωx+

P

m

（xsinωx（3。

这时方程（3没有eλx,简化了非齐次项,就可利用式（3来简化运算。

求yᵡ－y=excos2x的一个特解。

解:

通常解法是设特解y*=ex（acos2x+bsin2x,求y*的一阶、二阶导数是很麻烦的,那么可先设变换y=exu（x。

将u（x代入式（3,原题应简化为:

uᵡ（x+2u'（x=cos2x。

（4设（4式的特解u*=acos2x+bsin2x,代入式（4,有:

－4acos2x－4bsin2x－4asin2x+

4bcos2x=cos2x。

比较两端同类项的系数,有

－4a+4b=1a+b={0

得:

a=－

1

8

b=

{1

8

。

于是所求方程的一个特解为:

y*=－

1

8

ex（sin2x－cos2x。

求yᵡ－2y'+5y=exsin2x的一个特解。

解:

先设变换y=exu（x,将u（x代入式（3,原题就化简为uᵡ+（1－2+5u=sin2x,即:

uᵡ+4u=sin2x。

（5设式（5的特解u*=x（acos2x+bsin2x,将u*代入方程（5,得－4asin2x+4bcos2x=sin2x。

比较两端同类项的系数,得

a=－

1

4

b=

{0,即u*=－

1

4

xcos2x。

故所求原方程的一个特解为y*=－1

4

xexcos2x。

教材通常的解法是设特解y*=xex（acos2x+bsin2x,将此特解代入原微分方程中,需求y*的

47

第25卷第2期王海菊:

二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法

一阶、二阶导数,而y*

是3个函数乘积,求解过程运算量很大,易出错。

通过例子,我们看到,求Q（x或u*

的一阶、

二阶导数要比求y*

的一阶、二阶导数容易得多,又

没偏离教材求二阶常系数线性的非齐次方程特解的基本方法。

[参考文献]

[1]同济大学数学系．高等数学（上册[M]．6版．北京:

高等教育出版社,2007.[2]陈新一．一类二阶常系数微分方程的特解[J]．高等数学研究,2010,13（1:

87－88.

[3]朱德刚．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J]．高等数学研究,2010,13（3:

15－16.

（责任编辑柴智檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪殏

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·简讯·

北京联合大学学报（人文社科版成为全国高校学报新秀

2011年3月29日,中国人民大学人文社会科学学术成果评价研究中心发布了“2010年度《复印

报刊资料》转载学术论文指数排名”。

北京联合大学学报（人文社科版取得了可喜成绩,在全国高等

院校主办学报的排名中,

按全文转载率排名第26位,按综合指数排名第43位。

全国各类高等院校主办的学报约有1150种,

被2010年度《复印报刊资料》全文转载的学报有435种,约占总数的37．8%;共被转载全文总数为2763篇,约占《复印报刊资料》全文转载总量（13531篇的