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圣维南原理证明
有限元圣维南原理简述
圣维南原理(SaintVenant'sPrinciple)是弹性力学的基础性原理,是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是:
分布于弹性体上一小块面积(或体积)内的荷载所引起的物体中的应力,在离荷载作用区稍远的地方,基本上只
同荷载的合力和合力矩有关;荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法:
如果作用在弹性体某一小块面积(或体积)上的荷载的合力和合力矩都等于零,则在远离荷载作用区的地方,应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性,结果发现,它在大部分实际问题中成立。
因此,圣维南原理中原理”二字,圣维南原理(Saint-Venant'sPrinciple)表述如下:
如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。
圣维南原理是弹性力学的基础性原理,圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题,在此通过ANSY歎件工具,进行该原理的证明。
2.ANSYS证明
当物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时,也可以应用圣维南原理得到用用的解答。
例如,图1,2所示构建的右端是固定端,则在该构件的右端,有边界条件(u)s=O,(v)s二V=0。
这就是说,右端固定端的面力,静力等效于
经过右端截面形心的力F。
结果仍然应该是在靠近两端处有显著的误差,而在离两端较远之处,误差是可以不计的。
考虑到在ANSYS中建立约束条件的可行性,采用具有代表性的进行建模分析。
图1
图2
1)创建有限元模型一一柱形构件
为便于在两端面中心加载,选用四面体单元类型。
由于ANSYS勺单元类型是在不断发展和改进的,同样功能的单元,编号大的往往意味着在某些方面有优化或者增强。
在ANSYS15.0中,选用Solid-Tet-10node187单元类型。
根据常用材料属性表,选用弹性较好较为常用的低碳钢,弹性模量取
EX=2.0E11,泊松比PRXY=0.25为满足小边界条件,使L»h,创建一个长、宽、高分别为1m0.01m,0.01m的长方体,并对其进行自由网格划分,SmatSize取6。
建模及网格划分结果如下图3所示
2、施加载荷并求解。
低碳钢的屈服极限为207MPa取安全系数S=2时,计算可得,在不发生塑性变形的前提下,在断面可施加的最大力为:
62
Fmax=s*A/S=(207*10*0.01/2)NN0.35KN
1)在柱形构件一端加上全自由度位移约束,另一端面中心加上沿X方向的F=5KN的集中力作用,求解。
约束及载荷施加结果如图4所示。
图4集中力及约束施加结果
2)在柱形构件一端加上全自由度位移约束,另一端面(与集中力作用端面相同)
加上与集中力静力等效的P=5e7N的均布载荷作用,求解。
约束及载荷施加结果如图5所示。
图5均布载荷及约束施加结果
3、查看分析结果。
1)分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下,各节点X方向位移图以及位移分布变化曲线。
如下图所示。
图6集中力下各节点X方向位移图
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图7均布载荷下各节点X方向位移图
2)分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下,其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
如下图所示。
图8集中力下所得平均应力分布图
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图9均布载荷下所得平均应力分布图
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图10均布载荷下所得平均应力分布图
在ANSYSH处理中,基于两端面中心的1117号节点和1122号节点,建立贯穿柱形
构件中线的路径,并分别将X方向位移数值和平均应力数值映射到所创建的路径上。
数值列
表及分布曲线如下所示:
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图11集中力下各节点处位移分布变化曲线
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图12均布载荷下各节点处位移分布变化曲线
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图13集中力下各节点处平均应力分布变化曲线
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TA"I HOJJ1-1117 ltuL>2-I3 *;sr】口"pd 口工4 图14均布载荷下各节点处平均应力分布变化曲线 3)基于其他有限元模型 同样道理,亦可建立满足一定长宽比的基本的圆柱、圆锥构件等,原理过程与柱形构建一致,在此不复赘述。 三、分析与总结 由图可知,所创建柱形构件在受到集中力及与其等效的均布载荷作用下,其绝大部分平均应力数值均处于5000Pa左右,而且各节点处应力分布变化情况也基本一致,只在添加约束及受力端面处有明显变化。 故此矩形截面直杆两端受等效应力的实例结果,即验证了圣维南原理的正确性: 作用在物体一端(次要边界或是小边界)的荷载,如果只改变应力分布而不 改变合成,那么就只会显著改变该端附近的应力,在距离端部较远处相差甚微
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