九年级数学圆36直线和圆的位置关系362直线和圆的位置关系导学案新版北师大版.docx
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九年级数学圆36直线和圆的位置关系362直线和圆的位置关系导学案新版北师大版
专题课件
3.6.2直线和圆的位置关系
预习案
一、预习目
标及范围:
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.
3.会作三角形的内切圆.
预习范围:
P91-92
二、预习要点
1.圆的切线的判定定理:
______________________________________
如图,⊙O中,直线l经过半径OA的外端,点A作且直线l⊥OA,
则直线l与⊙O的位置关系是_____________________________
2.和三角形各边都相切的圆可以做出____个,并且只能作出____个,这个圆叫____________
内切圆的圆心叫做________________________,它是的____________________________交点,它到________________________的距离相等,这个三角形叫做_________________。
三、预习检测
1.已知:
如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∠C是直角,AC=3,BC=4.求⊙O的半径r.
2.已知:
如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.
探究案
一、合作探究
活动内容1:
探究1:
如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时,圆心O
到直线l的距离d如何变化?
你能写出一个命题来表述这个事实吗?
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
明确:
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r直线和圆相切
的另一种说法
.
探究2:
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?
三角形的内切圆作法:
(1)作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,交点为I.
(2)过点I作ID⊥BC,垂足为D.
(3)以I为圆心,ID为半径作⊙I,⊙I就是所求.
探究3:
这样的圆可以作出几个呢?
为什么?
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
定义:
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心,是三角形三条角平分线的交点.
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
判断题:
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等()
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等()
3
.等边三角形的内心和外心重合()
4.三角形的内心一定在三角形的内部()
活动2:
探究归纳
内心均在三角形内部
活动内容2:
典例精析
例1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=BA.求证:
AT是⊙O的切线.
证明:
AT经过直径的一端,因此只要证AT垂直于AB即可,而由已知条件可知AT=AB,所以∠ABT=∠ATB,又由∠ABT=45°,所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°,即AT⊥AB,故AT是⊙O的切线.
例2.如图,在△ABC中,点O是内心,
(1)若∠ABC=50°,∠ACB=70°,则∠BOC的度数是.
(2)若∠A=80°,则∠BOC=.
(3)若∠BOC=110°,则∠A=.
答案:
(1)120°
(2)130°(3)40°
二、随堂检测
1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且AO=OB,CA=CB,那么直线AB是⊙O的切线吗?
2.如图,已知:
OA=OB=5,AB=8,以O为圆心,以3为半径的圆与直线AB相切吗?
为什么?
3.(黄冈·中考)如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2=AB·AE,求证:
DE是⊙O的切线.
4.(德化·中考)如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB=
,BC=2,
求⊙O的半径.
5.(临沂·中考)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD,BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由.
(2)如果∠BDE=60,
,求PA的长.
6.如图,某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑,以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC,BC,AB的距离相等,AC⊥BC,BC=30米,AC=40米.求镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远?
参考答案
预习检
测:
1.解:
由Rt△ABC的三边长与其内切圆半径间的关系得
2.
随堂检测
1.解:
连接OC,C为半径的外端,因此只要证OC垂直于AB即可,而由已知条件AO=OB,所以∠A=∠B,又由AC=BC,所以OC⊥AB.∴直线AB是⊙O的切线.
2.解:
过O作OC⊥AB,因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5,AB=8,所以AC=BC=4,据勾股定理得OC=3.∴⊙O与直线AB相切.
3.证明:
连接DC,DO,并延长DO交⊙O于F,连接AF.
∵AD2=AB·AE,∠BAD=∠DAE,
∴△BAD∽△DAE,∴∠ADB=∠E.
又∵∠ADB=∠ACB,
∴∠ACB=∠E,BC∥DE,
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC,
又∵∠CAF=∠CDF,
∴∠F
DE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°,
故DE是⊙O的切线.
4.【解析】
(1)直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC,
又∵∠ACB=∠DCE,
∴∠DAC=∠DCE,连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE,
∵∠DCE+∠DEC=90°,
∴∠AE0+∠DEC=90°,
∴∠OEC=90°,
∴直线CE与⊙O
相切.
(2)∵tan∠AC
B=
BC=2,∴AB=BCtan∠ACB
=
AC=
又∵∠ACB=∠DCE∴tan∠DCE=
,
∴DE=DC•tan∠DCE=1,
在Rt△CDE中,CE=
设⊙O的半径为r,则在Rt△COE中,
由
得
解得:
r=
5.【解析】
(1)PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°.∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
(2)∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中,设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1(不合题意,舍去
)
∴PA=1.
6.提示:
AC⊥BC,BC=30米,AC=40米,得AB=50米.由
得M离道路三边的距离为10米.
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