届高三数学文理通用一轮复习《集合的概念及运算》题型专题汇编.docx
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届高三数学文理通用一轮复习《集合的概念及运算》题型专题汇编
《集合的概念及运算》题型专题汇编
题型一 集合的含义
1、已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.6D.9
解析:
:
当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;
当x=2时,y=0,1,2.
故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素.
2、已知集合A=
,则集合A中的元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
解析:
:
因为
∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.
3、已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
解析:
由题意得m+2=3或2m2+m=3,
则m=1或m=-
,
当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
当m=-
时,m+2=
,而2m2+m=3,故m=-
.
4、若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于()
A.
B.
C.0D.0或
解析:
当a=0时,A=
,符合题意;
当a≠0时,Δ=(-3)2-4×a×2=0,解得a=
,此时A=
,符合题意.
综上知a=0或
.
5、已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
解析:
∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=-1,0,1,
当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1,
所以A中元素共有9个,
6、若集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,则实数a=________.
解析:
因为-3∈A,所以a-3=-3或2a-1=-3或a2-4=-3,
解得a=0或a=-1或a=1.
当a=0时,A={-3,-1,-4},符合题意;
当a=-1时,2a-1=a2-4=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;
当a=1时,A={-2,1,-3},符合题意.
综上知a=0或1.
7、设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q中元素的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
解析:
:
当b=0时,无论a取何值,z=ab=1;当a=1时,无论b取何值,ab=1;
当a=2,b=-1时,z=2-1=
;当a=2,b=1时,z=21=2.
故P*Q={1,
,2},该集合中共有3个元素.
题型二 集合间的基本关系
1、集合M=
,N=
,则两集合M,N的关系为( )
A.M∩N=∅B.M=NC.M⊆ND.N⊆M
解析:
由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+
(k∈Z),∴N⊆M,故选D.
2、已知集合A={x|x2-2019x+2018<0},B={x|x 解析: 由x2-2019x+2018<0,解得1 又B={x|x 3、已知集合A={y|0≤y 解析: B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足A B,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足A⊆B,同理,当a≥5时均不满足A⊆B.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个. 4、已知集合A={x|-1 解析: 当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.当m>0时,因为A={x|-1 所以在数轴上标出两集合,如图, 所以 所以0 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 1、已知集合A={y|y=ex,x∈R},B={x∈R|x2-x-6≤0},则A∩B=( ) A.(0,2)B.(0,3]C.[-2,3]D.[2,3] 解析: 选B.由已知得A=(0,+∞),B=[-2,3],所以A∩B=(0,3],故选B. 2、已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ) A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅ 解析: 选A.因为3x<1=30,所以x<0,所以B={x|x<0}, 所以A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A. 3、已知全集为整数集Z.若集合A={x|y= ,x∈Z},B={x|x2+2x>0,x∈Z},则A∩(∁ZB)=( ) A.{-2}B.{-1}C.[-2,0]D.{-2,-1,0} 解析: 选D.由题可知,集合A={x|x≤1,x∈Z},B={x|x>0或x<-2,x∈Z},故A∩(∁ZB)={-2,-1,0},故选D. 4、已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( ) A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2} 解析: A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A. 5、设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( ) A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4} 解析: 由题意得A∪B={-1,0,1,2,3,4},又C={x∈R|-1≤x<2}, ∴(A∪B)∩C={-1,0,1}. 6、若全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( ) 解析: 由题意知,N={x|x2+x=0}={-1,0},而M={-1,0,1},所以N⊆M,故选B. 7、若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于( ) A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.∅ 解析: : 因为A={i,-1,-i,1},B={1,-1},所以A∩B={1,-1}. 6.设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2],则A∩B=( ) A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4) 解析: A={x||x-1|<2}={x|-1 ∴A∩B={x|-1 7.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁IM=∅,则M∪N=( ) A.MB.NC.ID.∅ 解析: : ∵N∩∁IM=∅,∴N⊆M.又M≠N,∴N⊆M,∴M∪N=M.故选A. 8、已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为________. 解析: ∵A∩B={1},A={1,2},∴1∈B且2∉B. 若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1. 9、已知集合A= ,则∁RA等于( ) A.{x|-1 解析: ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示. 由图可得∁RA={x|-1≤x≤2}. 10、已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- A.A∩B=∅B.A⊆BC.B⊆AD.A∪B=R 解析: ∵A={x|x>2或x<0},∴A∪B=R. 命题点2 利用集合的运算求参数 1、已知集合A={x|x A.a<1B.a≤1C.a>2D.a≥2 解析: 集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1 由A∩B=B可得B⊆A,作出数轴如图. ,可知a≥2. 2、设集合A={-1,0,1},B= ,A∩B={0},则实数a的值为________. 解析: 0∈ ,由a+ ≠0,则a-1=0,则实数a的值为1. 经检验,当a=1时满足题意. 3、已知集合A={0,1,2},B={1,m}.若B⊆A,则实数m的值是( ) A.0B.2 C.0或2D.0或1或2 答案 C 解析 ∵{1,m}⊆{0,1,2},∴m=0或2. 4、已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,则a=________. 解析: 因为A∩B=A∪B,所以A=B,则 或 解得a=0或a= , 所以a的值为0或 . 5、已知集合A={x|-2 A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,2)D.(-2,2] 解析: 由题意得B={x|y=lg(x-2)}=(2,+∞), ∴∁RB=(-∞,2],∴A∩(∁RB)=(-2,2]. 6、已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1 A.[-1,2)B.[-1,3]C.[2,+∞)D.[-1,+∞) 解析: 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}. 又A∩B=B,所以B⊆A. ①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2; ②当B≠∅时,有 解得-1≤m<2. 综上,m的取值范围为[-1,+∞). 7、设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______. 解析: 因为A∩B=B,所以B⊆A, 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根, 由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且B⊆A时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 题型四 集合的新定义问题 1、已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”: A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为( ) A.15B.16C.20D.21 解析: 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}. 因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}, 所以A*B中的元素有: 0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6}, 所以A*B中的所有元素数字之和为21. 2、设数集M= ,N= ,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________. 解析: 在数轴上表示出集合M与N(图略), 可知当m=0且n=1或n- =0且m+ =1时,M∩N的“长度”最小. 当m=0且n=1时,M∩N= ,长度为 - = ; 当n= 且m= 时,M∩N= ,长度为 - = . 综上,M∩N的长度的最小值为 . 3、用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B= 若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=________. 解析: 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0,得x1=0,x2=-a.关于x的方程x2+ax+2=0,当Δ=0,即a=±2 时,易知C(B)=3,符合题意;当Δ>0,即a<-2 或a>2 时,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;当Δ<0,即-2
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