北科大余永宁金属学原理课后解答4解docx.docx
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北科大余永宁金属学原理课后解答4解docx
第4章扩散题解
1.一块厚度为d的薄板,在7;温度卜•两侧的浓度分别为w”%仙>%),当扩散达到平稳态后,给出①扩散系数为常数,②扩散系数随浓度增加而増加,③扩散系数随浓度増加而减小等三种情况卜浓度分布示意图。
并求出①种情况板中部的浓度。
解:
一维扩散的平稳态有D—=常数
d.v
1扩散系数为常数时,dC/dv也应为常数,故浓度分布是自线。
其中部的浓度C=比二叫
2
2扩散系数随浓度增加而増加时,dC/dx应随浓度增加而减小,浓度分布曲线是上凸的曲纵
3扩散系数随浓度增加而减小时,dC/dvW随浓度増加而增加,浓度分布曲线是卜凹的曲线。
扩散流量
J=—(a+bC)
dC
dT
2.匕题d=2mm,*】=1.4%,%=0.15%。
在1\温度F曲和%浓度的扩散系数分别为Dlvl=7.7
XlO^nfs-1,Du0=2.5X1011nfs1o问板的两侧表而的浓度梯度的比值为多人?
设u-0.8%=p=60kg/m\问扩散流录为多少?
(设扩散系数随浓度线性变化)
解:
①两侧表面的浓度梯度的比值:
囚Q叫胡半,故匹竺=厶=竺“325
切dAHedvdq/dAD“7.7
②因扩散系数随浓度线性变化,设
D^a+bC
I月Dl=ci+bClDq=a+hCQ
求得
上式积分得-A二aC+^C'+d2
边界条件:
C=C°;代入上式得:
J=-[«(C1-C0)+|(Cf-C;)]l
把a和b代入得
J=-g--Co)+^(Cf-C;)}i=(92)产G)
u1G-Co八1072G-C。
'121
把璽量百分数转化为体积浓度,因h=0.8%^60kgm3
故Cx=—x60=105kgm"3Co=x60=11.25kgm"30.80.8
把浓度代入流最式子,最后得
=2・44xl0"kgnT:
s"
(7・7-2.5)(105-1125)x10』
2xl0'3
3・根据图4・5(b)和(c)给出的资料,计算x(Ni)=0.4以及x(Ni)=0.6两种合金在900°C时的耳扩散系数。
并和实测数据作比较。
解:
从资料査得
g
F)Au-Ni
r)Au-Ni
0.4
0.4
8.8x10"
IO-13
0.6
0.24
2.45x10"
4.08xl0*14
把上列数据代入D=(xAD^+xBD^)
得Dn/_04=3.7XIO-14ill2•s_1兀.06=7.82x10-15m:
-s_l
和实测数据接近。
4.一个封闭钢管,外径为1.16cm,内径为0.86cm,长度为10cm。
管内为渗碳气氛,管外为脱碳气氛。
在1000-C保温lOOhG(达到平稳态扩散),共仃3.60g碳逸出钢管。
钢管的碳浓度分布如下所示:
r/cm
w(C)/%
r/cm
w(C“%
0.553
0.28
0.491
1.09
0.540
0.46
0.479
1.20
0.527
0.65
0.466
1.32
0.516
0.82
0.449
1.42
计算各个浓度卜的扩散系数,画出浓度•扩散系数曲线。
解:
因稳态扩散,各处浓度不变,扩散f时刻后,扩散物质彊0为:
Q=JAl
其中A=2nrl是长度为/的钢管在半径r处的圆管面积。
故
2/rrlt
根据扩散定律
-
27rrltdr
把上式整理得
Qdr
2nrltdC
根据w(C)%=0.8=60kg/m3,把数据换成r与体积浓度C
r(mni)
CxlO"5kg/inm3
/•(mm)
CxlO-5kg/nim3
5.53
2.10
4.91
&175
5.4
3.45
4.79
9.00
5.27
4.875
4.66
9.90
5.16
6.15
4.49
10.65
根据上表画图,如卜图所示:
并拟合曲线方程:
C=-169.4844+10396112/・+18.65924尸
+0.989r3
Qidr
2/rltrdC
3.61dr
2-Txl00x3600rdC
—=103.96112-3731848r+2.967r:
dr
r
(mm)
(xlO'mmts巧 D (xlO-3rnnrs0 r (inm) dr/dC (xlO3nun4sl) D (xlO-3mm: s° 5.53 -8.56 2.46 4.91 ・12.91 4.18 5.40 -906 2.62 4.79 -14.88 494 5.27 -9.70 2.93 466 ・1&14 619 5.16 ・10.41 3.21 4.49 ・26.43 9.36 计算各处的D如卜•: 扩散系数与距离的图示如卜•: 5•—块厚钢板,呱C)・o・l%,在93CTC渗碳,表面碳浓度保持w(C)・l%,设扩散系数为常 数,D=0.738exp卜15&98(kJ/mol)//? 7](cm's")。 问距表面0.05cm处碳浓度w(C)升至0.45%所需要的时间。 若在距表面0.1cm处获得同样的浓度(0.45%)所需时间又是多少? 导出在扩散系数为常数时,在同一温度卜渗入距离和时间关系的一般表达式。 解: 先求出在930°C的扩散系数 D=0.738exp[-158.98(kJ/mol)//? 7](cm2s'1) =O.738exp[-15&98/8.314x120习(cnfs"尸9.22x10"(cm2s'1)按题意,浓度分布符介谋差函数解: C=c厂守乔) C=1Co=O.l00.45 erf(斗)==上空=0.61114oiG-C°1-OJ 査谋差函数数值表,得 (=0.61 24Dt ®A=0.05cm» f—- 4Dx0.612 c =4x9.22xl0-x0.6PS=L822X104^5061h ②因耍求的渗入浓度与上而相同,故eif(Z7)-0.611,即0为常数。 在同-•温度卜•.两个不同距离禺和七所对应的时间"和5有如下关系: 即 故在距农面0.1cm处获得同样的浓度(0.45%)所需时间“为 h=x1.822x104s=7.288x104s=20.24h ■0.057 ③根据②的解释,同一温度卜渗入距离和时间关系的一般农达式为x=k&其中R为某一常数。 6.上题,问要在什么温度卜•渗碳才能在上题求出更表Iffi0.05cm处获得碳浓度呱C)为0.45%所需要的相同时间内使距表面0.1cm处获得0.45%的碳浓度? 解: 因要求的渗入浓度与上而相同,故eif(/7)=O.61b即/? 为常数。 即在相同时间内,两个不同温度7\和门相对应的扩散系数0和0有如下关系 旺=上_即exp(-0/R7J=乞2 何晅exp(-Q/RT{)x/ 整理上式得 T=5=12°3=]3]8K 2一l-27;(/? /0)ln(・D/“)一1-2x1203x(8314/158980)hi0.5' 7.在纯铜関柱体一个顶端电镀一层薄的放射性同位索铜。 在高温退火20h后,对铜棒逐层剥戻测ft放射件强度正比于浓度).数据如匚 距顶端距离x/cm 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 M任意单位) 5012 3981 2512 1413 524.8 求铜的自扩散系数。 解: 因放射性同位素强度a和浓度C成正比.C=Ba.B为比例常数。 根据高斯解何 吩斗XP(亠 陌H4D「 JL式収对数,紂 把数据转换成Ina和F,得 vxl0"2=^ 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 8.52 8.29 7.83 7.25 6.26 用线性冋归,方程v=fl+氐得 W «=8.659b~935・82 D=-i=4x935.82x36001111112'=^lx”E「 8.©Fe薄板中含有一定fit的氢,均匀分布。 在209下脱氢•设表面浓度为零,若薄板厚度为10mm,问把全部氢的90%除掉要多长时间? 氢在a・Fe中的扩散系[: Do=O.OOllcnfs'1,e=11.53kJmor1e除了用解析解外,设i|•一个程序,用计算机求解,对比所得结果。 解: 这时浓度衰减过程,如呆把原始浓度开拓为三角级数,可以利用三角级数解。 •2/ 乙•nnx C=CoZ/? nsm— 式中b“为 bn=Cosin-^dv+j-C0sui^-dx =-^_{(—-^-cosH7r+-! —)+(-! —cos2nn-cosnn)Imiimmi 2C =——[1-coszm] nn bn=4Cq/ii^其中口为奇数。 原始浓度可写为 4C0*1.2J+1、 只川)2丿+1I 扩散方程的解: 7T篇2丿+1// 单位长度的板内在扩散询的物质棗为C。 /,耍求扩散后的物质最为Co//10.故 0.1/=siii^^7mk]exp[—Dt] 二凹£、旳[-(斗匕)、0] it為(2丿+1)・I 二a Dr8 近似只収其主项,即戶0项 O.17T2r,兀宀八匚 飞一=exp[—(7)-Dt] 计算在20弋卜氢的扩散系数 )=9.678xlO^cnrs'1 D=0.0011exp(-口刃°8314x293 把各数据代入时间的方程,得 t;=1110」兀=2J9x104s-6.0811 於X9.678x10"8 用计算机求解得21906s 9•设-钢板在920°C分隔两种气氛,钢板的厚度为10mm.原始碳禽彊呱C)为0.1%,钢板一侧和气氛的平衡碳势为0.9%•另—侧为0・4%。 ①求20h后钢板的浓度分布。 ②问经历 多长时间钢板内的扩散达到半稳态? 此时碳以多人的流吊从钢板的一侧扩散到另一侧? (用数值解。 D=8.072XIOdem's") 解: 按教材给出的程序,设时间步长为720s,距离步长为0.25mm。 hlllstDf8.07x10^x72000co1A.3 则n=100t〃? =40T=r-=;=5.8x10 /-io- R=T—=5.8x10"3—=9.29x10』<0.5n100 扩散506.6小时达到平稔态. 10•若以热扩散率(比中兄是导热系数,Q是密度,5是比恒斥热容)代聲扩散方程的扩散系数,温血代;、浓度,则可得到传热方程。 钢的顶端淬火试爪如图所示。 试样 加热915%: 后取出,在底端喷水冷却,水温维持24C设只从底而散热,冷却时钢的转变潜热可忽略,并设2、5等不随温度而变。 求冷却5s厉以及1mm厉沿棒长的温度分布曲线(描出距顶端0, 02,0.6,1.0,2.0,4.0,8.0cm处的温度即可),并求出各点在 725°C时的冷却速度。 “0・127cm—解: 一维热传导方程为 dTd2I ——=a——- dt
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