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概率习题祥解22
概率习题祥解
1、设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知取出的两件中有一件不合格品,求另一件也是不合格品的概率。
(0.2)(ID%_U____
_"_&XhM_w4 【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下,另一件有两种情况
(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品
(2)为合格品,即两件都是合格品.对于
(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于
(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,
(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5cb'Y__a__
k"7ZA>5j_k _e4_A`j' (e__p8[x 2、设A是3阶矩阵,b1,b2,b3是线性无关的3维向量组,已知Ab1=b1+b2,Ab2=-b1+2b2-b3,Ab3=b2-3b3,求|A|(答案:
|A|=-8)5_mVO9_Qj
(
-_1_{W^( 【思路】A=(等式两边求行列式的值,因为b1,b2,b3线性无关,所以其行列式的值不为零,等式两边正好约去,得-8)3_y$6}Kp4?
_
:
_Eh}]_ %Y__/;jCY vEG7A$Z_" 3、某人自称能预见未来,作为对他的考验,将1枚硬币抛10次,每一次让他事先`X()"Q_w_
预言结果,10次中他说对7次,如果实际上他并不能预见未来,只是随便猜测,则他作出这样好的答案的概率是多少?
答案为11/64。
xz}C_qPJ#
^K_8XY@{
& 【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率.即C(710)0.5^7x0.5^3+......C(1010)0.5^10,即为11/64.p_.MLK_p-'
VWYNq^ [ O_B+c_E4$ 【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数)! _af_;5F_ 由此求得a=k/(1/q+1+q)_A- _^B? E 所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.A~_s_6_~__ 对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.f? @M"p_@_T 其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)O_`~L*_h_ N_B8Yn\{B 5、掷五枚硬币,已知至少出现两个正面,则正面恰好出现三个的概率。 q_}&+{dN\1 36_8_H6Jj 【思路】可以有两种方法: S._owV_M Q 1.用古典概型样本点数为C(3,5),样本总数为C(2,5)C(3,5)C(4,5)C(5,5)(也就是说正面朝上为2,3,4,5个),相除就可以了;_3T__K_l_ 2.用条件概率在至少出现2个正面的前提下,正好三个的概率。 至少2个正面向上的概率为13/16,P(AB)的概率为5/16,得5/13t3_.I`_Z _Uetna! ABB 假设事件A: 至少出现两个正面;B: 恰好出现三个正面。 ._1"_"U'] A和B满足贝努力独立试验概型,出现正面的概率p=1/2_JjQTD__-^ P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16ith! jY*i A包含B,P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16x>[gShAV! 所以: P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。 DOW_Z_hD _wRE2rsXoU 6、设有n个球和n个能装球的盒子,它们各编有序号1,2,....n今随机将球分别放在盒子中,每个盒放一个,求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。 (答案: 1)${,! Ll7) #'h(o/hz&& 【思路】1/nn,N个球进N个盒有N的N次方种排列,对号入座只有1种排列。 _: X_-\! w\ __@N_JJ__ +__j_z%_: D 7、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=? 7_ah1__IEK (a)-2,(b)-1(c)-1/2(d)15mY_I5~_p s|=.L&"_ 【思路】题目说有两个正整数的根,故只能是1和37,p=-38*Ad7GG1/u ka_j6C_k| 8、设F(n)=(n+1)n-1(n为自然数),则F(n): |_cB_pX+_D (a)只能被n整除(b)能被n*n整除....._5Y&s+_|_ Zk_JYPXdn? 【思路】用二项式定理去做第二题,只考虑n的系数,有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。 Z<#beT__6_ __6tbH_( 9、一张盒子中有4张卡片,其中两张卡片两面都是红色,一张卡片两面都是绿色,一张卡片一面红一面绿。 任取其中一张,观察其一面的颜色,如果被观察的一面是绿的,求另一面也是绿色的概论。 BcT|TX+ct 【思路】设A=被观察的一面是绿的,B=两面都是绿PL8eM]_XS 则需求P(B/A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=1/4: 1/2=1/2,所给答案却2/3? P,O9O_n___ ;1cX|N__=_ 10、 设A是4*3矩阵且R(A)=2,B=求R(AB)D__naG$a_< L_"tjDA_V 【思路】R(B)=3"_^<: 7_Y_ so: R(AB)=R(A)=2`_/]8C&u X&M4_c5Li 11、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,Zu\#_;O__ J%f5NSSU{6 求: (1)最小号码为5的概率, (2)最大号码为5的概率.;-^WUf|_ vCbqZdy? 【思路】最小号码为5的概率: 9_S&6__u1 号码5已确定,另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出$___CL_=M 故组合的个数为所以概率为/C=10/120=1/12w_zo-V^+_q 同样最大号码为5的概率: 6n%^U2H/- 号码5已确定,另外2人的号码应从1、2、3、4中选出HE_jV7g0E_ 故组合的个数为C所以概率为C/C=6/120=1/20P_m_+H! x, G-M_! I_`P_ 12、从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? _6=6b_! hD #_Y`U8 n2F 【思路】可以这样理解,先算出没有两只配成一双的情况,然后用1去减一下便可。 f Kr_Oz! b 4只鞋中没有配成一双的情况: 10只鞋按配对分成5组,只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况,那么组合数为: C=10×8×6×4O;__qS__3 任取4只的组合数为: 10×9×8×7=_H_! _u4 所以没有2只配对的概率为: 10×8×6×4/10×9×8×7=8/21Rfa1v*(_ 故至少2只成对的概率为1-8/12=13/21\i`/_k(___ c1MALgK~}\ 13、设有一个均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1)上的诸数字,另一半上均匀地刻上区间[1,3)上的诸数字。 旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2,3/2]上的概率。 +s1mm__c 【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0,1)、[1,3]、[1/2,1)、[1,3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则: #._Ft_PR p(01)=p(13)=1/2,p1=p(01)*p (1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4qBKIl=ne_ 同理p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8p=1/4+1/8=3/8Td"f(&Hk_& dO_rgqz`e 14、设某家庭有3个孩子,在已知至少有一个女孩的条件下,求这个家庭中至少有一个男孩的概率。 _! Edc_]rg7 【思路】设A为三人中至少有一个女孩,B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩;P(A)=1-(1/2)*(1/2)*1/2=7/8,P(AB)=1-(1/2)*(1/2)=3/4,f=g/_R2$xN 所以P(B|A)=P(AB)/P(A)=6/7。 R]_]]7)+ (这样分析是认为三个孩子是排序的,一男二女就包括bgg,gbg,ggb三种情况,总共有八个样本,这比抛硬币难理解一些)Hc_5@_g_N __X2q_$_i 15、求极限: lim()x-1/2(x趋于正无穷);QYyF6ht=! _+_,p____ 【思路】lim=lim(1-)S_-Ryt>G__ c{V_0]A9VF 把它的指数整理成(((x+6)/3)*(3/2)-7/2),就可得结果: +_2|_X7wA orlim[(x+3)/(x+6)]^(x-1/2)x->正无穷_Lk4&_&5q =lim[(x+3)/(x+6)]^x/2*lim[(x+6)/(x+3)]1/2#_H_J_F== =lim[(1+3/x)/(1+6/x)]x/29'Pyo`hJ#U =lim{[1+3/x]^[(x/3)*(3/2)]}/{[1+6/x]^[(x/6)*3)]}[__qIi_(%o =lim(e3/2)/(e3)=`(__cR @\_ .%U~r_2Y( 16、求极限: lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)...(1-1/n*n)(n趋于正无穷);mkk_74_NY_ Pq_agepd 【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)...(1-1/n*n)n->正无穷5c_aYA&__R =lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3).....(1-1/n)(1+1/n)`y_P-,lA$ =lim1/2*3/2*2/3*4/3......*(n-1)/n*(n+1)/njm_.__pb/ =lim(n+1)/2n=1/2_MeQ(,irr^ f_OE: ~3_Q 17、求极限: lim(x->0)K_8|6r_|x __7_w>"M_ 【思路】此题需要连用三次使用罗必塔法则。 正确答案为: -0.5eg__v_oK__ <>__j,__Q 注意(x+1)1/x=eA: 0___]n 5V G_@Q%__ QRdb~f; 3>L1}z_yM] Ei}_DA=: _s 【思路】An+1=2nAn=>An+1/An=2n=>X='__4N_< A2/A1=2,A3/A2=2^2.....dDm<'30? *v (A2/A1)*(A3/A2)*......*(An/An-1)=222......2n-1_VF_YJXR{ =>An/A1=2(1+2+...+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/2Uy_F]__gO Wg$MKc9Vy[ 19、设有4只坏,每只都能以同样的落入4个格子中的任一个,求前2个球落入不同格子中的概率。 R_Hdi~_k _eyCg__* 【思路】分别设四球为1号,2号,3号和4号$: <_KG&Br 1号球落入某个格子有4种可能,那么2号球就只有3种可能__WJg? _R^ 3号4号可落入4个格子中的任意,有4,4种可能yCmiW%L4 所以应为4*3*4*4/44^_Ji__5)c c"fnTJXr79 20、甲,乙二人同时同地绕400米跑道赛跑,甲速度每秒比乙快3米,知甲跑三圈后第一次赶上乙,求乙速度.(6s/m)qf+I2_kyS d_Rt]9gIsx 【思路】3*400/(V+3)=2*400/V得V=6(m/s)s8e__FEi _ @/XA*_9]l_ {_l@_ws_ 已知f(xy)=f(x)+f(y)且f' (1)=a,x≠0,求f'(x)=? (答案为a/x)&+d>xy_\^/ Tf<1Z{ 9_ 【思路1】原方程两边对Y进行求偏导A__Wc7TW xf'(xy)=f'(y)其中f'(xy)与f'(y)都是对y偏导数#jv~FR`4v^ xf'(x*1)=f' (1)=a 得f'(x)=a/x_F_/IXqj R6r'[-_B2 【思路2】当⊿x→0时,令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)? YOH9%_c_s ? |s1C_uc 由f'(x)=[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿xu^_8: /~8K e_)]9u$_x ={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿xhy3j8? 66 >~8;Hx].d =[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x_T[]2]K[&B 50u_YU[W =f(1+⊿x/x)/⊿x =f' (1)/x=a/x{|nm0vg`_A Z_]kk .@_P 8|*#r___[x q/w_<_>u_ 已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2,则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y(b)x+y=_.N_Z{_G ]AkHNg_W 【思路1】设U=x+y,v=x-y_o"J>_MAD f(u,v)=uv[_GKSQt_{) f'x=f'u*u'x+f'v*v'x=v*1+u*1=u+v_f_5D._wSY f'y=f'u*u'y+f'v*v'y=v-uR7aS{8n_n f'x+f'y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A_yH_L_<_n %4QCUc*lr 【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),_YON@G_5^ d_Iv/.x/V_ 令u=x+y,v=x-y,则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).q |m____8G _,-u|_l 结论: b应该是对的,复合函数是相对与自变量而言的,自变量与字母形式无关,参见陈文灯的考研书。 j_9_C=m"O uQLXF2_ 已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是什么? 答案为(-2,-1)U(3,4)h./c__s'& __G/(oQ_A_ 【思路】画图可得f(0)>0,f (1)<0,f (2)>0代入计算即可+YT/od1t7_ F_h_n_883_ D]y6*H_a_ A,B是一次随机实验的两个事件,则————_9Lz)SYd_ UYUI__p_e A.A-(B-A)=A-B B.A-(B-A)=AZy*}C_,Z_ gK)_B3dH*& 【思路】b,利用定义可得w5n_>_hz_5 __g_1zqh, 已知随机变量X的密度的函数是: 7H_>dv_'
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