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excel规划求解实例

2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛

2013年12月2日

关于水泥厂生产及运输方案的最优化求解

摘要

摘要内容：

本论文主要讨论四个水泥厂往五个城市提供水泥的生产运输最优化问题。

根据给出的条件，做出合理的分析，通过建立数学模型以及利用电脑软件Microsoftexcel2003辅助，求出2012年的水泥生产成本，并根据各地不同的生产成本以及超出需要额外投资的成本，规划求解得出在资源限制范围内最优的生产运输方案以及所需要的最低费用。

关键词：

回归方程；目标函数；数学模型；线性规划求解。

一、问题重述

某水泥有限公司现有4个水泥厂，这4个厂生产的水泥都销往附近的ABCDE这5个城市，而这5个城市今年的需求量分别为110万吨，160万吨，80万吨，200万吨和100万吨。

已知资源消耗系数为，每吨产品的运输费用见表一，表二提供了一些其他供参考的数据，表三提供了最近十年这4家水泥厂生产每吨水泥的生产成本（万元）。

问题：

请你根据给定的数据设计出最优的生产及运输方案，并给该水泥公司管理层写一个报告。

A城市

B城市

C城市

D城市

E城市

水泥厂1

80

130

120

30

140

水泥厂2

100

60

70

30

90

水泥厂3

40

90

60

50

40

水泥厂4

70

50

90

120

100

表一：

每吨水泥的运输费用（单位：

元）

年生

产能力（万吨）

平均每提高1吨产量所需额外投资（万元）

资源限制（万吨）

水泥厂1

100

500

水泥厂2

150

800

水泥厂3

120

600

水泥厂4

130

700

表二：

一些其他供参考的数据

水泥厂1

水泥厂2

水泥厂3

水泥厂4

2011年

2010年

2009年

2008年

2007年

2006年

2005年

2004年

2003年

2002年

表三：

4家水泥厂的生产成本（万元/吨）

注：

资源限制是指产地资源的拥有量；资源消耗系数是指生产单位产品所需消耗的资源数。

二、问题分析

问题中给出最近几年各个水泥厂生产成本，由回归方程可得到每个水泥厂2012年的生产成本。

设2012年每个水泥厂生产成本分别为W1,W2,W3,W4。

四个水泥厂运往五个城市，需要的运费各不相同。

并且各个水泥厂的生产成本各不相同。

超出年生产能力之后生产每吨水泥需要的额外成本也不一样，所以本题需要设两个主要的函数，分别为年生产能力之内每个水泥厂运往每个地方的水泥数量，以及年生产能力之外每个水泥厂运往每个地方的水泥数量。

设四个水泥厂的代号为A1，A2，A3，A4，五个城市的代号为B1，B2，B3，B4，B5，设产能之内各个水泥厂运往每个城市的水泥吨位为Xij，产能之外各个水泥厂运往每个城市的水泥为Yij。

则总费用即为运输量乘以运费与生产成本的和。

由资源消耗系数以及资源限制量可求的四个水泥厂可生产的水泥最多分别为200万吨,320万吨,240万吨,280万吨.各自减去产能可得到超出生产能力后每个水泥厂分别最多可以再生产100万吨,170万吨,120万吨,150万吨水泥。

再根据每个水泥厂的产能限制以及运费和各地的需求量列出等式和不等式组，利用线性规划求出总费用的最小值。

三、模型假设及符号说明

模型假设

由每个水泥厂运往每个城市的水泥量，以及使得其满足费用最小化的约束条件，建立成一个模型。

符号说明

A1，A2，A3，A4代表四个水泥厂，B1，B2，B3，B4，B5代表五个城市。

Xij为产能之内每个工厂向各地运输的水泥量。

Yij为产能之外每个水泥厂往各地运输的水泥量。

W1,W2,W3,W4表示2012年各个水泥厂的生产成本（万元/吨）。

设所需要的总费用为M，四个水泥厂按照题干要求的生产总成本为Z，四个水泥厂的运输总费用为Y。

则M=Z+Y.目的是求使得M为最小值的生产运输方案。

四、模型的建立与求解

模型的建立

这里统一单位为万元/吨

水泥厂

年产能之内的生产运输量

B1

B2

B3

B4

B5

年生产能力

A1

X11

X12

X13

X14

X15

1000000

A2

X21

X22

X23

X24

X25

1500000

A3

X31

X32

X33

X34

X35

1200000

A4

X41

X42

X43

X44

X45

1300000

年产能之外的生产运输量

资源限制

A1

Y11

Y12

Y13

Y14

Y15

1000000

A2

Y21

Y22

Y23

Y24

Y25

1700000

A3

Y31

Y32

Y33

Y34

Y35

1200000

A4

Y41

Y42

Y43

Y44

Y45

1500000

需求量（吨）

1100000

1600000

800000

2000000

1000000

每个水泥厂运往每个城市的水泥成本为运费加上生产成本。

根据计算出的2012年生产成本以及运费可以列出一下表格

水泥厂

2012年产能之内

生产成本（万元／吨）

2012年产能之外每吨所需额外投资（万元／吨）

2012年产能之

外总成本（万元／吨）

A1

W1

W1+

A2

W2

W2+

A3

W3

W3+

A4

W4

W4+

水泥厂

运往地

B1

B2

B3

B4

B5

A1

A2

A3

A4

每吨水泥的运输费用（单位：

万元）

Z=（）

+

+

+

Y=（W1W2W3W4）

+

M=Y+Z

限制条件1：

=1100000，

=1600000，

=800000，

=2000000，

=1000000；

限制条件2:

0≤

≤1000000，0≤

≤1500000，0≤

≤1200000，0≤

≤1300000；

限制条件3：

0≤

≤1000000，0≤

≤1700000，0≤

≤1200000，0≤

≤1500000；

模型的求解

接下来利用MicrosoftExcel2003列出表格数据以及规划求解，为方便求解，这里的水泥量单位统一为吨，费用单位统一为万元。

图

（1）

如图1，阴影部分为这次建模主要求解的部分，即各个水泥厂的生产运输方案.

图

（2）

此表格中的数据为各个水泥厂运往各地的运费，以及产能之内和产能之外的生产成本。

为了方便使用SUMPRODUCT函数，我们将生产成本同样设计成4×5的表格（图2）

图（3）

图3利用SUMPRODUCT函数求出上述模型中的Z、Y、M的值。

分别对应图3表格中的B100、C100、B101单元格。

其中SUMPRODUCT函数的功能是是具有相同维数的表格数据对应相乘，返回值为这些乘积的和。

图（4）

接下来就是规划求解了，利用先从Excel2003工具中加载规划求解宏，然后打开规划求解工具，就能看到图（4）的界面。

我们先来设置规划求解参数。

目标单元格为总费用的B101单元格，目的是使其值最小，我们点选最小值选项。

可变单元格为图

（1）中的阴影部分，即为各个工厂的生产运输方案。

添加的约束即为上述模型中的三组限制条件中的右边部分。

图（5）

如图5，在选项中，我们勾选假定非负，这样上述三组限制条件中的右边部分也已将添加了约束。

然后勾选采用线性模型。

图（6）

点击确定后，规划求得结果，找到一解，可满足所有的约束及最优状况。

图（7）

图（8）

表格7为这次所求的运费以及生产费用的最小值。

表格8即为满足使得总费用最小的生产运输方案。

由表格可以看出，四个水泥厂要生产的水泥分别为100万吨，300万吨，120万吨，130万吨。

水泥厂1运往D城市100万吨水泥。

水泥厂2运往B城市120万吨，C城市80万吨，运往D城市100万吨。

水泥厂3运往A城市20万吨，运往E城市100万吨。

水泥厂4运往A城市90万吨，运往B城40万吨，运往C城市40万吨。

表格为：

水泥厂

运往各城市的水泥（万吨）

A

B

C

D

E

1

0

0

0

100

0

2

0

120

80

100

0

3

20

0

0

0

100

4

90

40

0

0

0

只有水泥厂2的生产超过其产能150万吨。

需要的最小总费用为8697680万元。

五、模型的评价与推广

此模型充分发挥了Excel软件在解析线性规划问题中的应用，将复杂的问题建立模型后，使得其简单化，并且求出了合理的规划方案。

此模型可以灵活套用在各个生产运输最优化方案中，是一个非常值得推广的方案。

附录：

由MicrosoftExcel2003求出的2012年各水泥厂的生产成本以及其原函数。