甘肃省武威市凉州区届高三下学期质量检测数学文试题含答案解析.docx

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甘肃省武威市凉州区届高三下学期质量检测数学文试题含答案解析

甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学（文）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合

，

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

2．已知复数z满足

，则

的虚部为（       ）

A．

B．

C．

D．1

3．已知平面向量

，

满足

，

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

4．已知数列

为等差数列，若

，则

（       ）

A．

B．1C．

D．

5．若点

（

）是抛物线

（

）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，则

（       ）

A．1B．2C．3D．6

6．北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行.为了纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”.先从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有2枚会徽邮票的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

7．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

8．函数

（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，

）的部分图象如图所示，则

（　　）

A．

B．

C．

D．

9．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、、癸酉：

甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子属相为（       ）

A．猴B．马C．羊D．虎

10．函数

有三个零点，则实数

的取值范围是（     ）

A．（﹣4，4）B．[﹣4，4]

C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

11．已知

，

，

分别是椭圆

的左焦点､右焦点､上顶点，连接

并延长交

于点

，若

为等腰三角形，则

的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

12．

是定义在

上的函数，且

，当

时，

，则有

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．已知

，

满足

则

的最小值为___________.

14．已知

为奇函数，当

时，

，则

___________.

15．《后汉书·张衡传》：

“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.

16．如图，在三棱锥

中，

平面ABC，

，

，若三棱锥的外接球体积为

，则

的面积为__________．

三、解答题

17．已知数列

是等比数列，且

，

.

（1）求数列

的通项公式；

（2）设

，求数列

的前n项和

，并证明：

.

18．天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：

大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的

列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为

.

优秀

非优秀

合计

甲班

10

乙班

30

合计

110

（1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：

把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．

参考公式与临界值表：

．

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

19．直三棱柱

中，

为正方形，

，

，M为棱

上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．

（1）求证：

平面

；

（2）当点M为

中点时，求三棱锥

的体积．

20．已知椭圆的两焦点为

、

，P为椭圆上一点，且

．

（1）求此椭圆的方程；

（2）若点P在第二象限，

，求

的面积．

21．设函数

，其中

为自然对数的底数，曲线

在

处切线的倾斜角的正切值为

．

（1）求

的值；

（2）证明：

．

22．在平面直角坐标系

中，曲线

的方程为：

，曲线

的参数方程为：

（

为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线

的极坐标方程；

（2）射线

与曲线

的交点为P，与曲线

的交点为Q，求线段

的长.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

求出集合

后可求

.

【详解】

因为

，

，

所以

.

故选：

C.

2．D

【解析】

【分析】

首先根据复数代形式的乘法运算法则化简复数

，即可得到其共轭复数，即可判断；

【详解】

解：

因为

，所以

，即

，所以

，所以

，则

的虚部为

；

故选：

D

3．D

【解析】

【分析】

由向量垂直得数量积为0，从而求得

，再由数量积定义求得夹角的余弦值后可得正弦值．

【详解】

由

，得

，

，而

，

所以

．

故选：

D．

4．A

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质求出

，从而可得出答案.

【详解】

解：

因为数列

为等差数列，

，

所以

，所以

，

所以

.

故选：

A.

5．B

【解析】

【分析】

首先根据点在曲线上得到

，再根据抛物线的焦半径公式得到

，联立两个方程即可求出答案.

【详解】

因为

（

）是抛物线

（

）上一点，所以

即

，

设抛物线的焦点为F，由抛物线的焦半径公式可得：

，解得：

.

故选：

B.

6．C

【解析】

【分析】

求出从一套5枚邮票中任取3枚的方法数，再求出3枚中恰有2枚会徽邮票的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解

【详解】

由题意可得从一套5枚邮票中任取3枚的方法数为

种，

取出的3枚中恰有2枚会徽邮票的有

种，

所以从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有2枚会徽邮票的概率为

，

故选：

C

7．B

【解析】

【分析】

分别计算圆柱和圆锥的表面积，再减去重合部分的面积即可.

【详解】

圆柱表面积

，圆锥母线长为

，圆锥表面积

，

重合部分为2个圆，故该几何体的表面积为

.

故选：

B.

8．B

【解析】

【分析】

根据函数图像易得

，

，求得

，再将点

代入即可求得

得值.

【详解】

解：

由图可知

，

，则

，所以

，

所以

，

将

代入得

，

所以

，

又

，

所以

.

故选：

B.

9．D

【解析】

【分析】

可根据“干支纪年法”确定2082年是壬寅年，然后由地支对应的属相得结论，也可根据属于的周期性直接得结论．

【详解】

由题意，2080年也是庚子年，2081年是辛丑年，2082年是壬寅年，寅属虎，（或属于是12年一个周期，2080年属鼠，2081年属牛，2082年属虎）

故选：

D

10．A

【解析】

【分析】

求得函数

的导数，利用导数求得函数的单调性和极值，结合题意，列出不等式组

，即可求解.

【详解】

由题意，函数

，可得

，

当

时，

，

单调递增；

当

时，

，

单调递减；

当

时，

，

单调递增，

所以函数

在

处取得极大值，在

处取得极小值，

要使得函数

有三个零点，则满足

，解得

，

即实数

的取值范围是

.

故选：

A．

11．C

【解析】

【分析】

根据题意和椭圆的定义可得

，进而求出

，

，利用余弦定理求出

，结合

列出关于a与c的方程，解方程即可.

【详解】

由椭圆的定义，得

，

由椭圆的对称性，得

，

设

，则

，

又

，所以

，

因为

为等腰三角形，所以

，

即

，得

，

所以

，

在

中，由余弦定理，得

，

在

中，由余弦定理，得

，

又

，所以

，

即

，整理，得

，

所以

，由

，得

.

故选：

C

12．C

【解析】

【详解】

由

可知

的图像关于

对称，当

时，

为增函数，

时，函数

为减函数，因为

=

，

>

>0

所以

故选C

13．

##-0.5

【解析】

【分析】

利用不等式组画出可行域，将目标函数转化为直线即可.

【详解】

如图：

画出可行域（如图阴影部分），目标函数

转化为

，

当直线

经过点

时，

取得最小值，最小值为

.

故答案：

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题.

14．

【解析】

【分析】

利用奇函数的性质，结合函数的解析式进行求解即可.

【详解】

因为

为奇函数，所以

，

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

依题意画出图象，即可得到

，

，再利用正弦定理计算可得；

【详解】

解：

如图，设震源在C处，则

，则由题意可得

，根据正弦定理可得

，又

所以

，

所以震源在A地正东

处.

故答案为：

16．2

【解析】

【分析】

将三棱锥

补成三棱柱，取AC中点

，PF中点

，设外接球半径为

，根据球的体积公式列出方程求得

，进而求得

，即可求解.

【详解】

如图所以，将三棱锥

补成三棱柱，取AC中点

，PF中点

，

则外接球球心即为

的中点O，设外接球半径为

，

则

，解得

，所以

，解得

，

所以

．

故答案为：

.

17．

（1）

；

（2）

，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.

（1）

设等比数列

的公比是q，首项是

.

由

，可得

.

由

，可得

，所以

，

所以

；

（2）

证明：

因为

，

所以

.

又

，所以

.

18．

（1）

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80

110

（2）按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

（3）

．

【解析】

【详解】

试题分析：

思路分析：

此类问题

（1）

（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论．（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值．

解：

（1）                         4分

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80

110

（2）根据列联表中的数据，得到K2≈7.487＜10.828．因此按99.9%的

可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”                  

（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：

（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：

（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P（A）=

，即抽到9号或10号的概率为

．

考点：

“卡方检验”，古典概型概率的计算．

点评：

中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论．古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏．

19．

（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）取BC中点为

，连接

，

，由面面平行的判断定理证明平面

平面

，从而即可证明

平面

；

（2）证明

平面

，即

平面

，从而有

，根据三棱锥的体积公式即可求解.

（1）

证明：

取BC中点为

，连接

，

，

因为点

、

分别为

，

的中点，所以

，

，

因为

平面

，

平面

，所以

平面

，

同理可得

平面

，又

，

平面

，

所以平面

平面

，

因为

平面

，

所以

平面

；

（2）

因为三棱柱

为直三棱柱，所以

平面

，

所以

，

又

为正方形，

，

，

所以

，且

，

，

，又

，

所以

平面

，即

平面

，

所以当点

为

中点时，三棱锥

的体积

.

20．

（1）

；

（2）

.

【解析】

【分析】

（1）由题可得

，根据椭圆的定义，求得

，进而求得

的值，即可求解；

（2）由题可得直线

方程为

，联立椭圆方程可得点P，利用三角形的面积公式，即求.

（1）

设椭圆的标准方程为

，焦距为

，

由题可得

，

，

所以

，可得

，即

，

则

，

所以椭圆的标准方程为

．

（2）

设

点坐标为

，

，

，

∵

，

∴

所在的直线方程为

，

则解方程组

，可得

，

∴

.

21．

（1）

；

（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；

（2）依题意即证

，即

，构造函数

，

，利用导数说明其单调性与最值，即可得到

，从而得证；

【详解】

解：

（1）因为

，所以

，

，解得

．

（2）由

（1）可得

即证

．

令

，

，于是

在

上是减函数，在

上是增函数，所以

（

取等号）．

又令

，则

，于是

在

上是增函数，在

上是减函数，所以

（

时取等号）．

所以

，即

．

22．

（1）

；

（2）

.

【解析】

【分析】

（1）根据同角的三角函数关系式，结合直角坐标和极坐标互化公式进行求解即可；

（2）把曲线

根据极坐标与直角坐标互化公式化成极坐标方程，运用代入法进行求解即可.

（1）

曲线

的参数方程为：

（

为参数），

转化为普通方程为：

，               

根据

转化为极坐标方程为：

.

（2）

曲线

的方程为：

，

转化为极坐标方程为：

.

将

代入

可得

.

将

代入

，可得

.

∴

.