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二次函数与函数图像
第二十四讲二次函数与函数图像
一、二次函数的图像性质
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a决定了二次函数图像的开口大小及方向;h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
(1)当a>0时,函数y=ax2+bx+c图像开口向上;顶点坐标为(-
b4ac-b2
),对称轴为
2a4a
bbb
直线x=-;当x<-时,y随着x的增大而减小;当x>-时,y随着x的增大而增大;
2a2a
b
2a
4ac-b2
当x=-时,函数取最小值y=.
2a4a
b4ac-b2
(2)当a<0时,函数y=ax2+bx+c图像开口向下;顶点坐标为(-
),对称轴为
2a4a
bbb
直线x=-;当x<-时,y随着x的增大而增大;当x>-时,y随着x的增大而减小;
2a2a
b
2a
4ac-b2
当x=-时,函数取最大值y=.
2a4a
yb
x=-
2a
O
二、二次函数的最值
A(-,
2a
x
4ac-b2
)
4a
一元二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为:
对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值.
分析:
将f(x)配方,得对称轴方程x=-b,
2a
b
当a>0时,抛物线开口向上,若-∈[m,n]必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取
2a
得最大值;若-b
2a
∉[m,n],当a>0时,抛物线开口向上,此时函数在[m,n]上具有单调性,
故在离对称轴x=-b
2a
较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
当a<0时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下:
当a>0时
⎧b1
⎧f(n),-b
2a
>n(如图3)
f(x)
max
⎪f(m),-2a
⎨b
≥(m+n)(如图1)2
1
f(x)
min
⎪
=⎪f(-
b),m≤-b
2a2a
≤n(如图4)
⎪f(n),-
⎩2a
<(m+n)(如图2)2
⎪
⎪f(m),-b
⎩2a
当a<0时 ⎧f(n),-b 2a >n(如图6) ⎧f(m),-b ≥1(m+n)(如图9) f(x) max ⎪ =⎪f(- b),m≤-b 2a2a ≤n(如图7) f(x)=⎪ ⎪ 2a2 b1 ⎪b⎪f(n),-< (m+n)(如图10) ⎪ ⎪f(m),- ⎩2a ⎩2a2 三、根的分布问题 设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的不等两根为x,x且x 1212 f(x)=ax2+bx+c=0,方程的根即为二次函数图像与x轴的交点,它们的简单分布情况见下表 分布情况 两个负根即两根都小于0 (x1<0,x2<0) 两个正根即两根都大于0 (x1>0,x2>0) 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0(x1<0 大致图像( ) 得出的结论 大致图像( ) 得出的结论 综合结论(不讨论) 分布情况 两根都小于k即 x1 两根都大于k即 x1>k,x2>k 一个根小于k,一个大于k即 x1 k a>0kk ⎧∆>0⎧∆>0 ⎪b ⎨2ak ⎪b ⎨2ak f(k)<0 ⎪⎩f(k)>0⎪⎩f(k)>0 a<0 ⎧∆>0⎧∆>0 ⎪b ⎨2ak ⎪b ⎨2ak f(k)>0 ⎪⎩f(k)<0⎪⎩f(k)<0 ⎧∆>0⎧∆>0 ⎪b ⎨2ak ⎪b ⎨2ak a⋅f(k)<0 ⎪⎩a⋅f(k)>0 a ⎪⎩a⋅f(k)>0 分布情况 两根都在(m,n)内 两根有且仅有一根在(m,n)内(图像有两种情况,只画了一种) 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内, m 大致图像( ) a>0 ⎧∆>0 得出的结论 ⎪f(m)>0 ⎪ ⎧f(m)>0 ⎪ ⎪f(n)<0 ⎧⎪f(m)f(n)<0 或⎨ ⎨ ⎪f(n)>0 ⎪b f(m)⋅f(n)<0 ⎨f(p)<0 ⎪ ⎪f(q)>0 ⎩⎪f(p)f(q)<0 ⎪m<- ⎩⎪2a 大致图像( ) a<0 ⎧∆>0 得出的结论 ⎪ ⎪f(m)<0 ⎨ ⎪f(n)<0 f(m)⋅f(n)<0 ⎧f(m)<0 ⎪ ⎪f(n)>0 ⎨或 f(m)f(n)<0 ⎪b⎪f(p)>0 ⎪⎩f(p)f(q)<0 ⎪m<- ⎪f(q)<0 ⎩⎪2a⎩ 综合结论(不讨论 ) a—————— f(m)⋅f(n)<0 ⎧f(m)f(n)<0 ⎪ ⎨ ⎪⎩f(p)f(q)<0 根在区间上的分布还有一种情况: 两根分别在区间(m,n)外,即在区间两侧x > n,(图 12 形分别如下)需满足的条件是 ⎧⎪f(m)<0 (1)a>0时,⎨ ⎪⎩fn<0 ⎧⎪f(m)>0 ; (2)a<0时,⎨ ⎪⎩fn>0 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况: 1︒若f(m)=0或f(n)=0,则此时f(m)f(n)<0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m,n)内,从而可以求出参数的值.如 方程mx2-(m+2)x+2=0 在区间(1,3) 上有一根,因为 f (1)=0 ,所以 mx2-(m+2)x+2=(x-1)(mx-2),另一根为2,由1<<3得 mm3 2︒方程有且只有一根,且这个根在区间(m,n)内,即∆=0,此时由∆=0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数.如方程x2-4mx+2m+6=0有且一根在区间(-3,0)内,求m的取值范围.分析: ①由 f(-3)f(0)<0 即(14m+15)(m+3)<0 得出-3 14 ;②由 ∆=0即 16m2-4(2m+6)=0得出m=-1或m=3,当m=-1时,根x=-2∈(-3,0),即m=-1满足题 2 意;当m=3时,根x=3∉(-3,0),故m=3不满足题意;综上分析,得出-3 2214 四、函数的图像 (一)、画图像的方法——描点法和图象变换法; 由函数解析式,用描点法作图像应①化简解析式;②分析函数的性质如: 分布范围、变化趋势、对称性、周期性等;③选算对应值,列表,描点,连线. (二)、常见的图象变换有: 平移、伸缩、对称、旋转等. 1、平移变换 y=f(x)−a−>−0,−右−移−→ a<0,左移 y=f(x-a); y=f(x)−b−>−0,−上−移−→y=f(x)+b; b<0,下移 2、伸缩变换: y=f(x)−0−<−ω−<1−,伸−(−横−向−)→y=f(ωx); ω>1,缩(横向) y=f(x)−0−<−A−<1−,缩−(−纵−向−)→y=Af(x). A>1,伸(纵向) 【教学建议】在讲解平移与伸缩变换时,可举三角函数的图像变换实例予以说明. 3、对称变换: (1)y=f(x)−−x轴−→y=-f(x)(即把(x,y)换成(x,-y)); 对称 (2)y=f(x)−−y轴−→y=f(-x)(即把(x,y)换成(-x,y)); 对称 (3)y=f(x)−直−线−x−=−a→y=f(2a-x)(即把(x,y)换成(2a-x,y)); 对称 (4)y=f(x)−原−点−→y=-f(-x)(即把(x,y)换成(-x,-y)); 对称 (5)y=f(x)−直−线−y−=−x→y=f-1(x)(即把(x,y)换成(y,x)); 对称 (6)y=f(x)−保−留−y−轴−右−边−图−像,−去−掉−y−轴−左−边−图−像−→y=f(x); 并作关于y轴对称图像 【教学建议】可先分析函数y=f(x)的奇偶性,易知其为偶函数,即图像关于y轴对称,再对函 数y=f(x)分段,发现当x≥0时其y= f(x)= f(x),从而易得图像的画法如上所述. (7)y=f(x)−−−保−留−x−轴−上−方图−像−−−→y= 把下方图像对称到x轴上方 f(x); *(8)y=f(x)−如−何−变−换−? −→y= 方法一: f(|x+a|) <= y=f(x)−a−>−0,−左−移−→y=f(x+a)−保−留−x−=−a右−边−图−像−,−去−掉−x=−a−左−边−图−像−→y=f(|x+a|) a0,右移并作关于xa对称图像 方法二: y=f(x)−保−留−y−轴−右−边−图−像,−去−掉−y−轴−左−边−图−像−→y=f(x)−a−>−0,−左−移−→y=f(|x+a|)*(9) 并作关于y轴对称图像 a<0,右移 y=f(x)−如−何−变−换−? −→y= f(|x|+a) < y=f(x)−a−>−0,−左−移−→y=f(x+a)−保−留−y−轴−右−边−图−像,−去−掉−y−轴−左−边−图−像−→y=f(|x+a|) a0,右移并作关于y轴对称图像 【教学建议】(8)(9)两条变换是难点,也是重点分析内容,可举实例让学生自主探索,(如 f(x)=x2-4x-5,画出y=f(x),y=f(x+1),y=f(x+1),y=f(x+1)等图像比较 并自行探索分析)教师再总结归纳,综合例题巩固(如例1(4,6)与其同类变,3,4,5),让学生加深印象. 五、函数的周期性与对称性 (一)、周期性 1、定义: 对于f(x)定义域内的每一个x,都存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一个周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正数叫最小正周期. 2、几种具有周期性的抽象函数: 函数关系(x∈R) 周期 f(x+a)=f(x) a f(x+a)=-f(x) 2a f(x+a)=±1 f(x) 2a f(x+a)=f(x-a) 2a f(x+a)=-f(x-a) 4a 1-f(x) f(x+a)= 1+f(x) 2a 1-f(x) f(x+a)=- 1+f(x) 4a 1+f(x) f(x+a)= 1-f(x) 4a (二)、函数的对称性 1、函数自身的对称性 (1)轴对称 若函数f(x)满足f(x+a)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=a+b对称; 2 (由“x的和一半x=(a+x)+(b-x)”确定). 2 特例: 若函数f(x)满足f(x+a)=f(a-x),则f(x)的图像关于直线x=a对称;若函数 f(x)满足f(x)=f(-x),则f(x)的图像关于直线x=0(y轴)对称; (2)中心对称 若函数f(x)满足f(x+a)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点⎛a+b,0⎫对称; ç2⎪ ⎝⎭ 特例: 若函数f(x)满足f(x+a)=-f(a-x),则f(x)的图像关于点(a,0)对称;若函数f(x)满足f(x)=-f(-x),则f(x)的图像关于点(0,0)(即原点)对称; *拓展: 若函数f(x)满足f(x+a)+f(b-x)=c,则f(x)的图像关于点⎛a+b,c⎫对称; ç22⎪ ⎝⎭ 综上: 可以看出“内同则周期,内反则对称”. 2、不同函数之间的对称性 (1)轴对称 函数y=f(a+x),y=f(b-x)的图像关于直线x=b-a对称(由相等求出x即a+x=b-x 2 决定). 特例: 函数y=f(a+x),y=f(a-x)的图像关于直线x=0对称. (2)中心对称 函数y=f(a+x),y=-f(b-x)的图像关于⎛b-a,0⎫对称(由相等求出x即a+x=b-x ç2⎪ ⎝⎭ 决定). (三)对称性与周期性 (1)若y= T=2a-b; f(x)的图像关于直线x=a、x=b(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且周期 特例: 若y= f(x)是偶函数且其图像关于直线x=a对称,则周期T=2a; (2)若y= (3)若y= f(x)关于点(a,0)、(b,0)对称,则f(x)是周期函数,且周期T=2a-b; f(x)的图像关于直线x=a、对称中心(b,0)(a≠b)对称,则f(x)是周期函数, 且周期T=4a-b; 特例: 若y= f(x)是奇函数且其图像关于直线x=a对称,则周期T=4a 综上: 若函数的图像同时具备两种对称性,两条对称轴,或两个对称中心,或一条对称轴一个对称中心,则函数必定为周期函数. 【教学建议】 以上的知识讲解比较抽象,建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明,一边举实例予以说明,如在讲解“三、对称性与周期性”时可举y=sinx函数的对称性验证说明: 其图像关于x=π,x=3π对称,则周期T=2⎛3π-π⎫=2π;图像关于(0,0),(π,0)对称,则 22ç22⎪ ⎝⎭ 周期T=2(π-0)=2π;图像关于(0,0),x=π对称,则周期T=4⋅π=2π 22 一、二次函数图像和性质 【例1】设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对任意实数t都有f(2+t)= f(-1),f (1),f (2),f(5)中,最小的一个不可能是. 【例2】求函数y=|x2+2x-3|的增区间与减区间. f(2-t)成立,则函数值 【例3】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范围. 【例4】已知a为实数,试求函数f(x)=x2+x-a+1的最小值. ⎧⎪ax2+2x+1,x≥0, 【例5】已知函数f(x)=⎨ ⎪⎩-x2+bx+c,x<0 是偶函数,直线y=t与函数f(x)的图像自左至右 依次交于四个不同点A、B、C、D,若|AB|=|BC|,则实数t的值为. 【例6】已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义: 满足f(x)=x的实数x称为函数f(x) 的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点, (1) 求f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)+k x +1x2在(0, 23 ]上是单调减函数,求实数k的取值范围; (3)在 (2)的条件下,是否存在区间[m,n](m 若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由. 【巩固训练】 1. (1)已知二次函数g(x)满足g (1)=1,g(-1)=5,图像过原点,求g(x); (2)已知二次函数h(x)与x轴的两交点为(-2,0),(3,0),且h(0)=-3,求h(x); (3)已知二次函数F(x),其图像的顶点是(-1,2),且经过原点,求F(x). 2.已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线,试比较大小: (1)f(6)与f(4) (2)f (2)与f(15) 3.已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)() A.在区间(-1,0)内是减函数B.在区间(0,1)内是减函数C.在区间(-2,0)内是增函数D.在区间(0,2)内是增函数 4. 已知不等式a≤3x2-3x+4≤b的解集为[a,b],则a+b的值为. 4 5.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图a表示的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图b表示的抛物线段表示 (1)写出图(a)表示市场售价与时间的函数关系式P=f(t); (2)写出图(b)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t) (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益,那么何时上市的西红柿纯收益最大? 5.设函数f(x)= 形区域,则a的值为. (a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方 二、一元二次方程根的分布 【例7】已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x,x且0 <1, x>1,则b的取值范围是() 2a 121 A.(-1,-1) 2 B.(-1,-1] 2 C.(-2,-1] 2 D.(-2,-1) 2 【例8】已知f(x)=|x2-1|+x2+kx. (1)若k=2,求方程f(x)=0的解; (2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围. 【例9】设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于-1,另一个实根小于-1,则m,n必须满足的关系是. 12 【例10】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x,x满足 0 (1)当x∈(0,x1)时,证明x (2)设函数f(x)的图像关于直线x=x0 对称,证明x 02 【例11】已知函数f(x)=kx2+x+k有两个不同的零点,且一个零点在区间(0,1)内,另一个在区间(1,3),求k的取值范围. 【例12】已知 m、n、α、β∈R,m f(x)=2(x-m)(x-n)-7的零点,则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是.(用符号 “<”连接起来) 【巩固训练】 1.已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为. 2.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点,已知f(x) =x2+ax+4在[1,3]恒有两个不同的不动点,则实数a的取值范围. 3.已知
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