高考数学易忘公式及结论汇总分享.docx
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高考数学易忘公式及结论汇总分享
高考数学知识点全扫描高考数学易忘公式及结论
集合
●
包含关系
A
⇔A⊂B
●
集合{a,a,,a}的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集
12n
有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.二次函数,二次方程
●方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)<0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件
●闭区间上函数的最值只能在f'(x)=0处及区间的两端点处取得。
二次函数f(x)=ax2+bx+c>0恒成立的充要条件
是
简易逻辑
⎧a>0
⎩b
⎨2-4ac<0.
●真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
●常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n-1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n+1)个
对所有x,成立
存在某x,不成立
p或q
⌝p且⌝q
对任何x,不成立
存在某x,成立
p且q
⌝p或⌝q
●⌝P:
否定一个含有量词(∀或∃)的命题,不但要改变量词(∀改为∃),还要对量词后面的命题加以否定,但作用范围不变。
●函数的单调性
(1)设x1⋅x2∈[a,b],x1≠x2那么
(x-x)[f(x)-f(x)]>0⇔
f(x1)-f(x2)>0⇔
f(x)在[a,b]
上是增函数;
1212
x1-x2
(x-x)[f(x)-f(x)]<0⇔
f(x1)-f(x2)<0⇔
f(x)在[a,b]上是减函数.
1212
x1-x2
(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.
⇔f(a+mx)=f(b-mx)
⇔f(a+b-mx)=f(mx).
●两个函数图象的对称性
(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.
(2)
函数f(mx+a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=a+b对称.
2m
(3)函数y=
f(x)和y=
f-1(x)的图象关于直线y=x对称.
●若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数
y=f(x-a)+b的图象;若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单
位,得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象.
●指数式与对数式的互化式
a
logN=b⇔ab=N(a>0,a≠1,N>0).
●对数的换底公式
log
N=logmN
.推论log
bn=nlogb.
aloga
ama
●对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)log(MN)=logM+log
N;
(2)log
M=logM-logN;
aaa
aa
(3)logMn=nlogM(n∈R).
aNaa
●
m
设函数f(x)=log(ax2+bx+c)(a≠0),记∆=b2-4ac.若f(x)的定义域为R,则a>0,且∆<0;若f(x)的值域为R,则a>0,且∆≥0.对于a=0的情形,需要单独检验.
数列
●等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=;
●其前n项和公式为
s=n(a1+an)=na+n(n-1)d.
n212
n-1
●
1
等比数列的通项公式an=aq;
其前n项的和公式为
⎧a(1-qn)
⎧a-aq
⎪1,q≠1⎪1n,q≠1
sn=⎨1-q
或sn=⎨1-q.
⎪na,q=1
⎪⎩na1,q=1
⎩1
●分期付款(按揭贷款)
ab(1+b)n
每次还款x=
(1+b)n-1
元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
●数列的通项公式与前n项的和的关系
⎨
a=⎧s1,
ns-s
n=1
n≥2
⎩nn-1
三角函数
●
常见三角不等式
(1)若
π
(0,)
2
,则sinx . (2)若 π (0,),则 2 1 (3)|sinx|+|cosx|≥1. ●同角三角函数的基本关系式 sin2θ+cos2θ=1,tanθ=sinθ cosθ ,tanθ⋅cotθ=1. ●和角与差角公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ; cos(α±β)=cosαcosβ tan(α±β)=tanα±tanβ sinαsinβ; . 1tanαtanβ asinα+bcosα= sin(α+ϕ)(辅助角ϕ所在象限由点(a,b)的象限决 定,tanϕ=b). a ●二倍角公式 sin2α=sinαcosα tan2α=2tanα 1-tan2α .cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. ●三角函数的周期公式 函数y=sin(ωx+ϕ),x∈R及函数y=cos(ωx+ϕ)的周期T=2π w ;函数 y=tan(ωx+ϕ)的周期T=π. w ●正弦定理 a sinA =b sinB =c sinC =2R. ●余弦定理 ●面积定理 a2=b2+c2-2bccosA; S=1absinC=1bcsinA=1casinB 222 向量. ●a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. ●a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2+y1y2). ●向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0 a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. ● 线段的定比分公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的分点,λ是实数,且P1P=λPP2, 则 ⎧x=x1+λx2 ⎪1+λ⇔ ⎨y+λy 1+λ ⎪y=12 ⎩⎪1+λ ⇔OP=tOP1+(1-t)OP2(t= ●三角形的重心坐标公式 1). 1+λ △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重 心的坐标是G(x1+x2+x3,y1+y2+y3). 33 ●三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为∆ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则 222 (1)O为∆ABC的外心(中垂线)⇔OA=OB=OC. (2)O为∆ABC的重心(中线)⇔OA+OB+OC=0. (3)O为∆ABC的垂心(高)⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA. (4)O为∆ABC的内心(角平分线)⇔aOA+bOB+cOC=0.不等式 ●常用不等式: (1)a,b∈R⇒a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). (2) a,b∈R+⇒a+b≥(当且仅当a=b时取“=”号). 2 (3)柯西不等式 (ab+ab)2≤(a2+a2)(b2+b2),(当且仅当a =λb时 取“=”号). 1122 1212ii (4)a-b≤a+b≤a+b.直线方程 ●两条直线的平行和垂直 ①l1||l2⇔k1=k2,b1≠b2; ②l1⊥l2⇔k1k2=-1. 两直线垂直的充要条件是 ●点到直线的距离 A1A2+B1B2=0;即: l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0 d=|Ax0+By0+C|(点P(x,y),直线l: Ax+By+C=0). 圆 ●直线的参数方程⎧x=x0+tcosα.(t为参数) ⎨y=y+tsinα ●圆的参数方程 ⎧x=a+rcosθ.(θ为参数) ⎨y=b+rsinθ ⎩ 椭圆 x2y2 ⎧x=acosθ ● ⎩ 椭圆+ a2b2 =1(a>b>0)的参数方程是⎨y=bsinθ.(θ为参数) x2y2 ● 焦点三角形: P为椭圆+ a2b2 =1(a>b>0)上一点,则三角形PF1F2的面 积S=b2∙tan∠PF1F2;特别地,若PF⊥PF,此三角形面积为b2; 212 x2y2 ● 在椭圆+ a2b2 =1(a>b>0)上存在点P,使PF1⊥PF2的条件是c≥b,即 双曲线 椭圆的离心率e的范围是[ 2,1); 2 ●双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2y2⇒ x2y2b (1)-=1 a2b2 渐近线方程: - a2b2 =0⇔ y=±x. a bxy x2y2 (2) 若渐近线方程为y=±x⇔ a ±=0⇒双曲线可设为- aba2b2 =λ. (3) 若双曲线与x a2 - y2 b2 =1有公共渐近线,可设为x a2 - y2 b2 =λ(λ>0,焦 点在x轴上,λ<0,焦点在y轴上). ●焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)抛物线 ●焦点与准线 抛物线y2=ax(a≠0),焦点是a准线x=-a; 44 抛物线x2=ay(a≠0),焦点是(a),准线y=-a; ●焦半径公式 抛物线y2=2px(p>0),C 0, 44 (x,y)为抛物线上一点,焦半径CF=x +p. 0002 ●过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于 A(x1,y1)B(x2,y2),则有y1y2=-p, 2 x1⋅x2 =p2/4,即k ⋅ KOB =-4。 ● OA 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 ●比如在椭圆中: AB= A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则有: x2y2 1+1=1 (1) a2b2 x2y2 2+2=1 (2) a2b2 y-yxb2 (1)- (2)k=12=0⋅(-) x1-x2y0a 2 立体几何 ● 直线l的方向向量为a,直线l与平面所成的角为θ,平面的法向量为u,直线l与平面法向量的夹角为φ,则 sinθ=cosφ= ●二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。 ●异面直线间的距离 d=|CD⋅n|(l,l是两异面直线,其公垂向量为n,C、D分别是l,l上任一 |n|1212 点,d为l1,l2间的距离). ●.点B到平面α的距离 d=|AB⋅n|(n为平面α的法向量,AB是经 |n| 过面α的一条斜线,A∈α). S' ●面积射影定理 S=.(平面多边形及其射影的面积分别是S、 cosθ S',它们所在平面所成锐二面角的为θ). ● 球的半径是R,则其体积V=4πR3,其表面积S=4πR2. 3 ●长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. ● 棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半径为 12 6a. 4 ●柱体、锥体的体积 V柱体=Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高). V锥体 =1Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高). 3 组合数公式 Am Cm=n= n(n-1)(n-m+1)= n! . nm1⨯2⨯⨯m m! ⋅(n-m)! ●二项式定理 (a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2++Cran-rbr++Cnbn二项展开 nnnnn n 式的通项公式 Tr+1 概率 =Cran-rbr(r=0,1,2,n). ●n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 nn P(k)=CkPk(1-P)n-k. ●离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)Pi≥0(i=1,2,); (2)P1+P2+=1. ●数学期望 Eξ=x1P1+x2P2+ ●数学期望的性质 (1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b. (2)若ξ~B(n,p),则Eξ=np. ●方差 Dξ=(x-Eξ)2⋅p+(x-Eξ)2⋅p+ 1122 ● 标准差σξ=. ●方差的性质 (1)D(aξ+b)=a2Dξ; (2)若ξ~B(n,p),则Dξ=np(1-p). ●正态分布密度函数 (x-μ)2 f(x)= 1e- 2π6 262 x∈(-∞,+∞),式中的实数μ,σ(σ>0)是参数,分 别表示个体的平均数与标准差. ● 标准正态分布密度函数f(x)= x2 e2,x∈(-∞,+∞). ●对于N(μ,σ2),P(μ-σ P(μ-2σ ●回归直线方程 ⎧ nn ⎪∑(xi-x)(yi-y)∑xiyi-nxy ⎪b=i=1=i=1 y=a+bx,其中⎨ ⎪ ⎪ ∑(xi-x) i=1 ∑xi i=1 2-nx2. ⎩a=y-bx 点P(x,y)在回归直线上。 不能期望回归方程得到y的预报值就是预报变量y的精确值。 ●相关系数|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小。 |r|≥0.75时认为两变量有很强的线性关系。 n(nn-nn)2 ●列联表独立性分析 χ2=11221221 n1+n2+n+1n+2 P(χ2≥6.635)≈0.01(99%的把握) P(χ2≥3.841)≈0.05(95%的把握)导数 ● n 几种常见函数的导数 (1) C'=0(C为常数). (2) (x)'=nxn-1(n∈Q).(3) (sinx)'=cosx. (4) (cosx)'=-sinx.(5)(lnx)'=1;(logax)'=1loge. (6) xxa (ex)'=ex;(ax)'=axlna. ●导数的运算法则 (1)(u±v)'=u'±v'. (2)(uv)'=u'v+uv'. (3)u ' =u'v-uv' (v≠0). vv2 ●.复合函数的求导法则 x 设函数u=ϕ(x)在点x处有导数u'=ϕ'(x),函数y=f(u)在点x处的对应点 U处有导数y'=f'(u),则复合函数y=f(ϕ(x))在点x处有导数,且y'=y'⋅u', u x 或写作f'(ϕ(x))=f'(u)ϕ'(x). ●.判别f(x0)是极大(小)值的方法当函数f(x)在点x0处连续时, xux (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)是极小值.复数 ●复数的相等a+bi=c+di⇔a=c,b=d.(a,b,c,d∈R) ● .复数z=a+bi的模(或绝对值)|z|=|a+bi|=. 赠送一篇美文,舒缓一下心情: 1)有一种情,相濡以沫温馨处处在,有一种意,海枯石烂温暖处处开,有一颗心,沧海桑田温情永不变,有一句话,相知相守爱你一万年,老婆我爱你永不变! 2)你好象生气了,我心里也不好受,如果是我酿成了此错,希望你能原谅,如果不能原谅,我自己也无法原谅自己了。 3)你负责貌美如花,我负责赚钱养家,你负责轻松悠闲,我负责工作挣钱,你负责开心幸福,我负责操持家务,你负责快乐天天,我负责爱你永远! 4)家有娇妻真温馨,知心相爱常厮守,贤慧温柔知我意,相守一世真幸福,一生至爱是我妻,甜蜜短信送我妻,永不改变爱你意。 5)家中红旗永不倒,外面野花不会采。 春光明媚花朵艳,不及老婆温柔剑。 服侍双亲多辛劳,相夫教子令人敬。 烧的一手好饭菜,贤良淑德惹人羡。 6)今天是“要爱妻”,但是这个日子对我来说无关紧要。 你在生气? 亲爱的,因为与你在一起的每一天对于我来说都是“要爱妻日”,我爱你! 愿用我一生让你开心幸福。 7)就数老婆好,美女都不要;打骂不还手,见面就告饶;化妆你称道,购物掏腰包;逛街不斜视,乖乖跟好了。 8)孔雀最美,你是我的孔雀,我为你开屏;百灵最俏,你是我的百灵,我为你鸣叫。 我的妻,爱你是我唯一的语言,疼你是我仅有的表现。 愿我们幸福百年。 9)浪漫在起舞,甜蜜在微笑;温馨在荡漾,喜悦在心头;内心在狂喜,心情在澎湃;真情在涌动,真爱在表白: 老婆,爱你没商量,爱你永不变! 10)爱老婆要做到两个不要: 不要问老婆能够为额做些什么,而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么,老婆喜欢些什么对额而言应该是常识! 对老婆煽情的话 1)有你相伴,天空是蓝的,空气是甜的;有你相随,日子是乐的,生活是美的;有你相守,家庭是暖的,心里幸福的;老婆我爱你,最美的祝福送给你,愿幸福绕你身旁,快乐把你笼罩! 2)朝夕相处过日子,偶尔吵吵嘴皮子。 同享美味一桌子,你是最好大厨子。 相亲相爱两口子,幸福相守一辈子。 待到长出白胡子,依然爱你小妮子。 亲爱的老婆,爱你一辈子! 3)此生有你,愿一世情长,两心不忘,三生相伴,纵天荒地老,爱永远,情永长,此生此世都为你痴痴守望,默默相伴。 甜言蜜语 4)冬日只为飘雪留,爱你的心永不回头;海角天涯终有尽,对你的情意无边际;海枯石烂没终止,陪伴一生直到白头。 5)读书人喜欢诗情画意,生意人喜欢小三小蜜,混江湖的喜欢红颜知己,谈恋爱的喜欢柔情蜜意,像我们结过婚的就追求个恩爱甜蜜。 老婆我爱你。 让我们恩爱百年,幸福美满! 6)真情打造爱情,爱情创造痴情,痴情创建真爱,真爱开启真心,真心起航爱的行程,720妻爱你,愿爱的航船驶向幸福甜蜜的港湾! 7)快乐,是与你饭后的一起漫步;幸福,是同你和孩子们一起嬉戏;甜蜜,是与你心有灵犀相恋相依;720妻爱你,有你就有幸福与甜蜜。 老婆,一生爱你! 8)今年高温不退,每天热的难受;注意珍爱自己,工作不要太累;没事多吃水果,晚上静心去睡;遇事别急别火,万事老公顶着。 亲爱的,在720妻爱你这个特殊而神圣的日子里,我要对你说一句: “我爱你”。 9)720妻爱你,家庭和睦又甜蜜,即使偶尔有脾气,带着真情吵吵嘴,相濡以沐共进退,患难与共同船渡,携手到老永相依。 祝你夫妻恩爱,生活甜蜜幸福! 10)三生有缘是夫妻,一颗真心交给你,愿你用着我的爱,幸福甜蜜;用着我的情,开心如意;对我撒个娇,对我发脾气,我也觉甜蜜。 720妻爱你,爱你一辈子! 11)720,妻爱你,爱你老实忠厚人勤快,爱你工作积极事业成,爱你尊敬父母有孝心,爱你
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