爱提分圆和扇形的周长及其面积公式定理五年级.docx
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爱提分圆和扇形的周长及其面积公式定理五年级
一:
周长与面积公式
知识精讲
在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.点O就称为该圆的圆心;圆心与圆周上任意一点的连线(例如线段OA)叫做半径;通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径长恰好是半径长的两倍.
圆心确定了圆所在的位置,半径长度确定了圆的大小.一个圆只要确定了“圆心”和“半径”,就能完全确定下来.
圆周长与直径的比值是一个固定不变的数,我们称之为圆周率,用希腊字母
表示.圆周率是一个无限不循环小数,无法写成分数的形式.在实际问题的计算中,常常取近似值3.14.
一.圆的周长与面积公式
1.直径长度通常用字母d表示,半径长度通常用r表示,圆周长通常用C表示,圆面积通常用字母S表示.
2.圆周长公式:
蜜蜂飞行:
无论小圆有多少个,大小是否相等,只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径,那么它们的周长之和也等于大圆的周长.
3.圆面积公式:
二.扇形的周长与面积公式
扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分.其中,圆的半径也称为扇形的半径,而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角.扇形是圆的一部分.
要想知道扇形的弧长与面积,只要知道它是所在圆的几分之几就可以了.它是圆的几分之几,它的弧长就是圆周长的几分之几,它的面积也同样就是圆面积的几分之几.
1.扇形弧长公式:
2.扇形面积公式:
3.温馨提示:
扇形的弧长不是它的周长,扇形的周长还必须加上两条半径.
三点剖析
重难点:
扇形周长公式,需要加上两条半径
题模精讲
题模一 圆的周长与面积公式
例1.1.1、
已知一个圆的直径为2厘米,那么这个圆的周长为_________厘米,面积为_________平方厘米.
答案:
;
解析:
周长为
厘米,面积为
平方厘米.
例1.1.2、
已知一个圆的周长为50.24厘米,那么这个圆的直径为_________厘米.
答案:
16
解析:
直径为
厘米.
例1.1.3、
有一个圆形花坛,直径为20米,一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈,请问它飞了多少米?
如果小蜜蜂沿着图中的虚线,飞一个“8”字,路线构成过花坛圆心的两个小圆,那么这次它飞了多少米?
(
取3.14)
答案:
(1)62.8米
(2)62.8米
解析:
小圆半径是5米,飞行路线为两个小圆周长,所以是
米.无论小圆有多少个,大小是否相等,只要所有小圆的直径之和等于大圆,那么它们的周长之和也等于大圆.
例1.1.4、
如图,已知长方形的面积是12,则图中阴影部分的面积是多少?
(
取3.14)
答案:
2.58
解析:
长方形可以分成两个面积相等的正方形,面积都是6.方中圆,方和圆的面积比为
,可求出小圆的面积是
,那么阴影部分的面积是
.
例1.1.5、
如图,在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中,裁出了7个同样大小的圆铝板.问:
余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
(
取3.14)
答案:
6.28平方厘米
解析:
,大圆半径是3厘米.小圆半径是1厘米,所以边角料面积为
平方厘米.
例1.1.6、
已知大圆的直径为10厘米,有四个大小不等的圆,圆心都在大圆的一条直径上,并且它们的直径之和与大圆相等.那么4个小圆的周长之和是________厘米.(
取3.14)
答案:
31.4
解析:
假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d,则有
,4个小圆的周长之和为
厘米.
例1.1.7、
如图,直角三角形的面积是40平方厘米,圆的面积是________平方厘米(π取3).
答案:
240
解析:
直角三角形的直角边即为圆的半径,所以
,
,圆的面积是
平方厘米.
题模二 扇形的周长与面积公式
例1.2.1、
如图3,圆P的直径OA是圆O的半径,
,
,则阴影部分的面积是__________.(π取3)
答案:
75
解析:
阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积,即
.
例1.2.2、
一个扇形的半径为6平方厘米,圆心角为60°,这个扇形的周长是__________厘米.(
取3.14)
答案:
18.28
解析:
这个扇形是它所在圆的
,所以这个扇形的弧长是
cm,扇形的周长是
厘米.
例1.2.3、
一个扇形的面积为6.28平方厘米,圆心角为45°,这个扇形的周长是_______厘米.(
取3.14)
答案:
11.14
解析:
这个扇形是它所在圆的
,所以这个圆的半径的平方是
,所以这个圆的半径是4厘米,所以扇形的半径是4厘米,扇形的周长是
厘米.
例1.2.4、
在荷兰的小镇卡茨赫弗尔,2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑,三个半圆的直径分别为24.2m,19.3m,4.9m.这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形(Arbelos),即下图中阴影部分所示的图形.那么,该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________(圆周率用π表示)
答案:
24.2πm
解析:
鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成,所以周长为
m.
例1.2.5、
如图,等边三角形ABC的边长是1,依次以A、C、B为圆心,以BA、CD、BE为半径画扇形,那么三个扇形的面积和是多少?
(结果保留π)
答案:
解析:
各扇形圆心角均为
,半径分别为1、2、3,因此三个扇形的面积和是
.
例1.2.6、
一个半径为3分米的扇形,面积为6.28平方分米,那么它的圆心角是__________,它的弧长又是__________分米.
答案:
80°,4.15
解析:
根据题意得,
,所以
,所以圆心角是
度.弧长为
.
例1.2.7、
如图,边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起,在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心,边长为半径的圆弧,则阴影部分的面积是________
(结果保留π).
答案:
解析:
连结AC、FB.易知
,故
,
.
例1.2.8、
如图,有三个同心半圆,它们的直径分别为2,6,10,用线段分割成9块,如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积,那么(A+B):
C=_______
答案:
55:
48
解析:
设A的半径为
,B的半径为
,C的半径为
A的面积:
B的面积:
3B=
,
.
C的面积:
5C=
,
.
.
题模三 捆圆的周长和面积
例1.3.1、
已知下图中的每个小圆的半径均为1,这个图形的面积是__________.(
取3.14)
答案:
35.14
解析:
如图,对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和.面积为
.
例1.3.2、
如图,有8个半径为1的小圆,用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心.那么花瓣图形的周长和面积分别是多少?
答案:
周长
,面积
解析:
如图,做辅助线后可以看出周长为4个
的圆弧加上4个半圆弧,所以周长为
;而面积为正方形减去4个半圆加上4个
圆,即
.
例1.3.3、
如图,每个圆的面积都为12.56,求该图形的外周长.
答案:
解析:
圆半径为2.图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧,则外周长为
.
例1.3.4、
如图,有七根直径为5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们扎成一捆,此时橡皮筋的长度是多少厘米?
答案:
解析:
如图,作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成,所以皮筋长度为
.
随堂练习
随练1.1、
已知一个圆的直径是12厘米,那么这个圆的面积为__________平方厘米?
(
取3.14)
答案:
113.04
解析:
直径为12厘米,那么半径为6厘米,面积是
平方厘米.
随练1.2、
已知一个圆的面积为314平方厘米,那么这个圆的直径为_______厘米?
(
取3.14)
答案:
20
解析:
这个圆的半径为平方是
,所以这个圆的半径是10厘米,直径是20厘米.
随练1.3、
半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米?
(
取3.14)
答案:
62.8厘米
解析:
圆的周长公式为
,周长之和为
厘米.
随练1.4、
如图,在一块面积为12.56平方厘米的纸板中,裁出了2个同样大小的圆纸板.问:
余下的纸板的总面积是多少平方厘米?
(
取3.14)
答案:
6.28平方厘米
解析:
大圆的面积是12.56平方厘米,可求出大圆的半径是2厘米,那么小圆的半径是1厘米,面积是3.14平方厘米.阴影部分的面积是
平方厘米.
随练1.5、
已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上,周长分别为3、1、2厘米,则大圆周长为多少厘米?
(π取近似值3.14)
答案:
6
解析:
大圆的直径等于三个小圆的直径之和,周长也恰为3个小圆周长之和.
随练1.6、
如图,边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起,在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心,边长为半径的圆弧,则阴影部分的面积是__________
(结果保留π).
答案:
解析:
阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积,易得为
.
随练1.7、
已知一个扇形的半径是10厘米,圆心角是
,那么:
(1)这个扇形所在圆的周长是_________厘米,扇形的圆心角占圆周角的_________,它的弧长占圆周长的_________,这个扇形的弧长是_________厘米,周长是_________厘米.
(2)这个扇形面积占它所在圆的面积的_________,是_________平方厘米.
答案:
(1)62.8;
;
;7.85;27.85
(2)39.25;
解析:
(1)这个扇形所在圆的周长是
厘米,扇形的圆心角占圆周角的
,它的弧长占圆周长的
,这个扇形的弧长是
厘米,周长是
.
(2)这个扇形面积占它所在圆的面积的
,面积是
平方厘米.
随练1.8、
半径为10、20、30的三个扇形如下图放置,
是
的__________倍.
答案:
5
解析:
为
,
为
,所以
是
的5倍.
随练1.9、
根据图中所给的数值,求这个图形的面积.(π取近似值3.14)
答案:
92.56
解析:
平方厘米.4个直角扇形的面积之和是4
,因此整个圆角矩形的面积就是
.
随练1.10、
如图,有七根直径为4厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们扎成一捆,此时橡皮筋的长度是多少厘米?
(π取近似值3.14)
答案:
36.56
解析:
把圆角六边形的周长分为12个部分,由6条直线段和6段圆弧组成.6条直线段中,每段的长度都是5厘米,它们的长度和是
厘米6段圆弧中,每段所对应的圆心角都是60°,每段的弧长都是圆周长的
,6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周.它们的弧长之和就是圆周长,即
厘米.圆角六边形的周长就是这两部分长度之和,即
厘米.
课后作业
作业1、
已知圆的直径为20米,那这个圆的周长为多少米?
(π取近似值3.14)
答案:
62.8
解析:
圆周长的计算公式为:
C圆=π×D.
作业2、
把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起,如果捆绑处不计,至少要用铁丝____________厘米.
答案:
102.8
解析:
厘米.
作业3、
一辆压路机的前轮是圆柱形,轮宽1.6米,直径是0.8米.前轮转动一周,压路的面积是______平方米.
答案:
3.84平方米
解析:
轮子压一周,周长为
米,即压在路面上的长是2.4米,
压路的面积=长×宽
平方米.
作业4、
已知圆的面积是314平方米,那圆的周长是多少米?
(π取近似值3.14)
答案:
62.8
解析:
由圆的面积可以求出半径的平方,算出半径后可由公式计算圆的周长,为62.8.
作业5、
已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上,周长分别为1、2、3厘米,则大圆周长为多少厘米?
(π取近似值3.14)
答案:
6
解析:
大圆的直径等于三个小圆的直径之和,周长也恰为3个小圆周长之和.
作业6、
如图,在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中,裁出了7个同样大小的圆铝板.问:
余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
答案:
8平方厘米
解析:
小圆的半径是整个大圆半径的
,因此小圆的面积是大圆面积的
,为
平方厘米;
大圆去掉7个小圆后剩下的面积是
平方厘米.
作业7、
已知一个扇形的圆心角为120°,半径为2,这个扇形的面积是________,周长是________(π取3.14).
答案:
面积
,周长
解析:
扇形的面积
;
周长
.
作业8、
如图,求各图中阴影部分的面积.(
取3.14)
答案:
9.12
解析:
阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积.阴影部分面积为
.
作业9、
已知扇形的半径为3米,面积为14.13米,那扇形的圆心角为多少度?
(π取近似值3.14)
答案:
180
解析:
扇形所在圆的面积≈3.14×32=28.26平方米,由此可知该扇形是它所在圆的
.那么圆心角应该是360°的二分之一.
作业10、
已知一个扇形的半径为5厘米,弧长为6.28厘米,这个扇形的面积是多少?
答案:
15.7
解析:
因为扇形的弧长为厘米,所以
,可得
.扇形面积为
平方厘米.
作业11、
根据图中所给的数值,求这个图形的面积.(π取近似值3.14)
答案:
23.14
解析:
平方厘米.4个直角扇形的面积之和是
,因此整个圆角矩形的面积就是
.
作业12、
如图,三个圆的半径都是4,那整个图形的外周长是多少?
(π取近似值3.14)
答案:
49.12
解析:
整个外周长可以分为3段直线和3段弧形.
作业13、
如图,有七根直径为10厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们扎成一捆,此时橡皮筋的长度是多少厘米?
(π取近似值3.14)
答案:
91.4
解析:
把圆角六边形的周长分为12个部分,由6条直线段和6段圆弧组成.6条直线段中,每段的长度都是5厘米,它们的长度和是
厘米6段圆弧中,每段所对应的圆心角都是60°,每段的弧长都是圆周长的
,6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周.它们的弧长之和就是圆周长,即
厘米.圆角六边形的周长就是这两部分长度之和,即
厘米.
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