学年高三数学理科高三第一次调研考试及答案解析.docx
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学年高三数学理科高三第一次调研考试及答案解析
最新高三年级第一次调研考试
数学(理科)
1.已知集合A{xy
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1x)(x3)},B{xlog2x1},则AIB
A.{x
3
x
1}B.{x
0x1}
答案】
B
解析】
A
{x
3x1},
C.{x3x2}D.{xx2}
B{x0x2},AIB{x0
x1}.
2.设i为虚数单位,复数z满足zi34i,则z在复平面内对应的点在(
答案】C
5.公差为1的等差数列{an}中,
a1,a3,a6成等比数列,则
{an}的前10项和为(
A.65B.80
答案】C解析】∵a32a1a6,
C.85D.170
∴(a12d)2a1(a15d),
2
∴(a12)a1(a15),即a14.
5,
6,
6,f(x)2sin(2x
∵f(3)
2,
故选D.
7.(x22)(x
1)6的展开式中常数项为(
x
A.40
B.25
C.25
D.55
答案】
B
解析】
42
A.
16
)6的通
项
1
4;令6
r
(
44
1)4C642
C6rx
6rr
(1)x
2r0,
(1)3C63
(1)rC6rx62r,
25.
正方形的边长为,粗线画出的是某几何体何体中,最长的棱的长度是()
B.25
C.6
D.43
答案】D解析】该几何体为边长为4的正方体的部分,
P
如图,最长的边为PC43.
9.4名同学参加3项不同的课外活动,若每名同学可自由选择参加其中的一项,则每项活动至少有一名同学参加的概率为()
若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b,则双曲线C的离心率为取值范围是()
A.(1,2]B.(2,)C.(1,2)D.(1,2)
【答案】A
【解析】直线l的方程为ybx2b,
a
∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b,
4
答案】4
3解析】∵f(x)f(x),g(x)g(x),
∵f(x)g(x)3x,
1
f
(1)g
(1)3f
(1)g
(1)3314
∴1,∴1,∴f
(1)34
f
(1)g
(1)13f
(1)g
(1)1323
14.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的n值为.
参考数据:
sin15o0.2588,sin7.5o0.1305)
答案】24
解析】由程序框图可知:
n
6
12
24
S
23
3
3.1056
15.过抛物线y22px(p0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB4
的垂直平分线经过点(0,2),则p等于.
【答案】4
5
【解析】直线AB的方程为yxp,
2
yxp22由2,得y22pyp20,2
y22px(p0)
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点(x0,y0),
3
∴弦AB的垂直平分线方程为yp(x3p),2
∵弦AB的垂直平分线经过点(0,2),
34
∴2p2p,∴p5.
22
16.数列{an}满足an
n,
2a
an1n,
2(n2),若{an}为等比数列,n1,an1n.
则a1的取值范围是
9
【答案】[9,)
2
2
【解析】当a122时,
a2
22
4,
2
∵a2432,∴
a3
32
9.
2
∵a394,∴
a4
42
16.
若{an}为等比数列,
则
a32
a2a4,即92416,显然不成立,
∴a14.
当a12时,a2
2a1
8,
∵a2832,∴
a3
32
9.
若{an}为等比数列,
则
a22
a1a3,
即8249,显然不成立,∴
a14.
2
当a122时,a2
2a1
.
①当2a132时,a3
329,
2
若{an}为等比数列,则a22
a1a3,
即(2a1)29a1,
a1
9与a14矛盾,故a19.
42
②当2a132时,a3
2a1,
满足a22a1a3.
∴a1的取值范围是
[92,
).
三、解答题:
本大题共8小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)
如图,在ABC中,C60o,D是BC上一点,AB31,BD20,AD21.
(1)求cosB的值;
2)求sinBAC的值和边BC的长.
解析】
(1)在ABD中,AB31,BD20,AD21,根据余弦定理,有
AB2BD2AD231220221223
cosB
2ABBD2312031
AB2BD2AD2cosB
2ABBD
2)∵0B,∴sinB1(23)2123.
3131
∴sinBACsin[180o(60oB0)]sin(60oB)
sin60ocosBcos60osinB
3231123353
23123162
1)求未来三年,至多有1年河流水位X[27,31)的概率(结果用分数表示)
18.(本小题满分12分)
X(单位:
米)的频率分布直方图如下:
2)该河流对沿河A企业影响如下:
当X[23,27)时,不会造成影响;当X[27,31)时,损
失10000元;当X[31,35)时,损失60000元,为减少损失,现有种应对方案:
方案一:
防御35米的最高水位,需要工程费用3800元;方案二:
防御不超过31米的水位,需要工程费用2000元;方案三:
不采取措施;试比较哪种方案较好,并请说理由.
ABC60o,PAPB,
用X1,X2,X3分别表示采取方案1,2,3的损失,由题意知X13800,
X2的分布列如下:
X2
2000
62000
P
0.99
0.01
∴E(X2)20000.99620000.012600.
X3的分布列如下:
X3
0
10000
60000
P
0.74
0.25
0.01
∴E(X3)00.74100000.25600000.013100.因为采取方案2的平均损失最小,所以采取方案2较好.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,PC2.
(1)求证:
平面PAB平面ABCD;
(2)若PAPB,求二面角APCD的余弦值.
【解析】
(1)取AB中点O,连接AC、CO、PO,
∵四边形ABCD是边长为2的菱形,∴ABBC2.
∵ABC60o,∴ABC是等边三角形.
∴COAB,OC3.
∵PA
PB,
∴PO
AB1.
2
∵PC
2,∴
OP2
22
OC2PC2.∴
COPO.
∵ABI
PO
O,∴
CO平面PAB
.
∵CO
平面ABCD
,∴平面PAB
平面ABCD.
(2)∵
OP2
OA2
1212
(2)2
PA2,
∴PO
AO
由
(1)
知,平面PAB平面ABCD,
∴PO平面
∴直线OC,OB,OP两两垂直.
ABCD,
则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,2,0),P(0,0,1).
uuuruuuruuur
∴AP(0,1,1),PC(3,0,1),DC(0,2,0).
设平面APC的法向量为m(x,y,z),
mn
∴cosm,n
由图可知二面角
PC
∴二面角APC
D为锐二面角,
D的的余弦值为27
7
20.(本小题满分12分)
22已知椭圆E:
x2y2a2b2
1(ab0)的离心率为
2,直线x
2
y3
0与椭圆E仅有一个公
1)求椭圆E的方程;
2)直线l被圆O:
x2
共点
2
y23截得的弦长为3,且与椭圆E交于A,B两点,求ABO面积的最
大值.
解析】
1)∵e
22
ab
2
a
2,∴a2
2
2x2
2b2.∴故E方程可化为2xb2
2yb2
x2
2b2b21.
3
2
y2
b2
,得3x2
43x62b2
0,
(43)212(62b2)0
1,
解得
∴椭圆E的方程为
2
x2
2y2
1.
2)记O到直线l的距离为d
,由垂径定理可得
d2
(3)23,解得d
2
当直线l与y轴平行,由题意可得直线l的方程为
3
2,解得y
x
由
2
x
2
当直线l与y轴不平行,
y21
设直线
∴d
2∴m
10,
4
∴AB
l的方程为
3(1k2).由
4
2122
(k2)x22kmxm22
0.
(2km)24(k21)(m
2
1)
22
4k22m2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1
x2
10
2
kxm
y
2
x
2
4km
2k21,x1x2
∴SABO
1
AB
2
d30
8
kx
2
y2
5k2
2
2m2
2
2k
m
,得
1
1
120,
2.
1
26
52,∴
当t3
时,
即k1时,
(SABO)max
126h
32
3
2
2
23
2
30
8
32,
2
∴k1
时,
(SABO)max
32.2.
已知函数f(x)(x1)ex和函数g(x)(ex
2
a)(x1)2(e为自然对数的底数)
21.(本小题满分12分)
0.
且
0.
1)求函数f(x)的单调区间;
2)判断函数g(x)的极值点的个数,并说明理由;
3)若函数g(x)存在极值为2a2,求a的值.
解析】
(1)f(x)(x2)ex,令f(x)0,解得x2.f(x)的单调增区间为(2,),减区间为(,2).
2)g(x)(x1)[(x1)ex2a)(x1)[f(x)2a),当x(,1),f(x)(x1)ex
①当0ae时,由
(1)知,f(x)在(1,)单调增,f
(1)2a0,f
(1)2a2e2a0,
∴唯一的x0(1,1),使得f(x0)0.当x(,x0)时,f(x)2a0,故g(x)
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题号22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在直角ABC中,ABBC,D为BC边上异于B,C的一点,以AB为直径作圆O,
并分别交AC,AD于点E,F.
(1)证明:
C,E,F,D四点共圆;
(2)若D为BC的中点,且AF3,FD1,求AE的长.
【解析】
(1)连结EF、BE,则ABEAFE,
∵AB是⊙O的直径,∴AEBE.
∵ABBC,∴ABEC,
∴AFEC,即EFDC180o,
∴C,E,F,D四点共圆.
(2)∵ABBC,AB是⊙O的直径,
∴BC是O的切线,DB2DFDA4,即BD2.
∴AB422223.
∵D为BC的中点,∴BC4,AC(23)24227.
∵C,E,F,D四点共圆,∴AEACAFAD.
∴27AE12,即AE
67
7
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程选讲
),以
xtcos
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数,0ytsin
原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p(p0).
1cos
(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;
由
1
p,1
p
,即
OA
p
1
cos
1cos
cos
由
p
,即
OB
p
p,2
1
cos
1cos
1
cos
1
1
1cos1
cos
2
OA
OB
p
p
p
24.
(本小题满分
10分)选修
4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)xax3(aR).
1)当a1时,求不等式f(x)x8的解集;
2)若函数f(x)的最小值为5,求a的值.
解析】
(1)当a1时,不等式f(x)x8
可化为
x1
x3
x8,
x
1
1x
3
x3
,或
,或
2
2xx
8
4x
8
2x2x8
解得x
2,或
x10,
∴原不等式的解集为(,2]U[10,).
(2)∵f(x)xax3
(xa)(x3)a3,
令a35,解得a2,或a8.
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- 学年 数学 理科 第一次 调研 考试 答案 解析