水手分椰子类型题简易通解公式及推导中英对照.docx
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水手分椰子类型题简易通解公式及推导中英对照
水手分椰子类型题简易通解公式及推导
(中英对照修改版)
Sailorsassignedcoconutproblem,simple
GeneralSolutionFormulaandderivationofthe
(Bilingualmodifiedversion)
中国湖南省祁阳县陈小刚
引言,“水手分椰子”是趣味数学题”水手、猴子和椰子”的习惯简称,在中国被改为(五猴分桃)这是一道世界著名的趣味数学题,于1926年,首先刊登在美国《星期六晚邮报》上,据说,最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的,这一貌似简单的问题曾困扰住了他,为了获得简便的計算方法,他把问题提交给当时的一些数学家,有意思的是,竟然也没有得到满意的结果,随后,在经过美国数学科普大师马丁*加德纳的介绍后,该题得到了更为广泛的流传。
1979年,诺贝尔物理学奖获得者,李政道博士在“中国科技大学”讲学时,特地提到此题;自此以后,研究该题的简易计算方法迅速风靡国内。
Preface:
"seamandividedcoconut"isinterestingmathematicaltopics"seaman,themonkeyandthecoconut"usedsimple name,(Chinawaschangedtofivemonkeysdividedpeach).Thisisaveryfamousinterestingmathematicalproblem,firstpublishedintheUnitedStates" theSaturdayeveningpost.ItissaidthatthefamousephysicistDiracistheearliestmanwhobroughtoutthisproblem,,thisseeminglysimpleproblemshadplaguedhim.Inordertoobtainasimplemethod,heputthisproblem,givesomemathematicians,interestingly,also didnotget satisfactoryresult.On1979years,theNobelPrizewinner,LeeDr."ChinaUniversityofTechnology"lecture,speciallyreferredtothisquestion;sincethen,tostudytheproblemsofsimplecalculationmethod,quicklysweptthecountry..
曾对“五水手分椰子”的广泛流传起过重要作用的,著名现代数理逻辑学家怀德海,曾用高阶差分方程理论的通解和特解的关系,对“水手分椰子”一题,给出过一个答案为(-4)的巧妙特解。
近十多年来,在后来者的不断努力下,一些比较简便的方法也逐步出现。
但严格的来说:
目前所取得的成果,其本上还是局限于“水手分椰子”(或五猴分桃)这一个具体题目,离全面彻底而又简捷地求解所有这种类型的题目,还有着较大的距离。
Iwasin1979,inthemonthly"Chineseyouth,"andseetheChinese-stylesailorofcoconut-"fivemonkeyssubpeach"aquestion,andthroughtheuseequation,thesolutionobtained。
AtthattimeIfeltthatdoingthisparticularsubject,haslittlesignificance.Meanwhileinaverycomplexcalculationprocess,feelslightlyfaintifthistypeofproblemcanfindsomeregularity.Sothroughfive,sixdaysofeffort,finallyfiguredoutallkindsofquestionsofthiskindofsimplegeneralsolutionformula:
y=an-db/c.However,becauseoftheirowninthecountry,lackofinformation,didnotputthe"generalsolutionformula"veryseriously.
本人曾于1979年, 在月刊《中国青年》看到中国式的水手分椰子,(五猴分桃)一题,并通过用不定方程求得其解。
当时,本人觉得就题论题意义己不大。
同时在非常繁复的计算过程中,隐隐略略觉得这种类型题好象能找到某种规律。
于是通过五、六天的努力, 终于演算出所有这种类题型的简捷的通解公式:
y=an-db/c.但是,由于当时自己在乡下,信息闭塞,也没把这个“通解公式”很当一回事。
Iwasin1979,inthemonthly"Chineseyouth,"andseetheChinese-stylesailorofcoconut-"fivemonkeyssubpeach"aquestion,andthroughtheuseequation,thesolutionobtained。
AtthattimeIfeltthatdoingthisparticularsubject,haslittlesignificance.Meanwhileinaverycomplexcalculationprocess,feelslightlyfaintifthistypeofproblemcanfindsomeregularity.Sothroughfive,sixdaysofeffort,finallyfiguredoutallkindsofquestionsofthiskindofsimplegeneralsolutionformula:
y=an-db/c.However,becauseoftheirowninthecountry,lackofinformation,didnotputthe"generalsolutionformula"veryseriously.
一幌三十多年又过去了,近段时间,因较空闲,经常上上网,于是惊呀发现:
寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法,竟是一个具有较深背景的,已讨论了二、三十年的热门话题;而且至今仍未找到完美解决办法。
于是自己边回想、边演算,终于又重新推导出了“五猴分桃”类型题的“通解公式”,并通过进一步分析,得到了这类问题的完美求解体系,现将其发表如下,与大家共同分享:
thirtyyearspassedinaflash,Recently,duetorelativelyidle,oftenontheInternet,sosurprisedandfoundthat:
lookingfor"fiveminutespeachmonkey"typequestionssimplecalculationmethodwasactuallyonewithadarkerbackground,hasbeendiscussedfortwoorthreedecadesahottopic;buthasyettofindtheperfectsolution。
Sohe,whilerecall,whilecalculus,andfinallydeducesagain"fivemonkeysofpeaches"Thistypeoftitleof"generalproblem-solvingformula",andthroughfurtheranalysis,gotit,theperfectkindofproblemforsolvingsystem,nowitspublicationasfollows,tosharewithyou:
一,水手分椰子类型题简易通解公式及特殊形式:
1.水手分椰子问题的简易通解公式 y=a(a/m)n-1-db/c
其中:
y ── 被分的椰子的总个数
a ── 每次分的份数,(可为任意数)
n── 总共分的次数(可为任意数)
b ── 每次分a份后的余数.
c── 每次分a份后拿走的份数,
d── 每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.
m——(a/d)的最大公约数
注:
(1)在上述公式中,按照这种类型题题意的要求;y、a、b、c、d、n、m都为正整数,
(2)当b/c不为正整数时,题目本身无解;若b/c为正整数时,则题目必定有解(后面会有论述)
One,fivemonkeypeachtypeofproblemsolvingsimplegenericformulaandspecialforms:
1fivemonkeysofpeachesproblemsolvingsimplegenericformula;y=a(a/m)n-1-db/c
y——Thetotalnumberistobeassignedcoconut
a——eachtimeyouwanttoassignthenumberofcopiesof(non-zeronaturalnumber)
n——Coconutassignedthetotalnumberoftimes
c ── aftereachallocation,totakeawaypartofthed ── after each allocation. Pickupthepartafter,the remaining part.
m——(a/d)ofthegreatestcommondivisor
Notes:
(1)Intheaboveformula,accordingtothistypeofproblemtitlemeaningrequirements;y,a,b,c,d,n,m,arepositiveintegers,
(2)Whentheb/cisnotapositiveinteger,thetitleitselfisnosolution;ifb/carepositiveintegers,thentheproblemmustbesolvable(therewillbediscussedlater)
2.通解公式的三种特殊形式:
(1)当出现(a/d)的公约数只有m=1时,通解公式可简化为;y=an-db/c
(2)当式中的m和c都等于1时, 通解公式可写成特殊简化形式:
y=an-db
(3)当式中的 m,c和b都等于1时,通解公式可写成特殊简化形式y=an-d
在《五猴分桃》一题中:
由于(c=1,b=1)因而它正好属于公上面y=an-d的类型,由此可见 《五猴分桃》一题,在这个简易通解公式里,是计算最为简单的一个类型。
2.Generalsolutionformulathreespecialforms:
(1)When(a/d)oftheConvention,onlythenumberofm=1,thegeneralsolutionformulacanbeabbreviated;y=a^n-db/c
(2)Whentheformulamandcareequalto1,thegeneralsolutionofequationcanbewrittenasaspecialsimplifiedform:
y=a^n-db
(3)Whentheformulam,candbareequalto1,thegeneralsolutionofequationcanbewrittenasaspecialsimplifiedformy=a^n-d
Inthe"Sailorofcoconut"inthistopic:
Since(c=1,b=1)andthusithappenstobelongtotheabove,y=a^ndtype,wecansee"Sailorofthecoconut,"thesubject,inthisgeneralsolutionformulawhereisThemostsimpleone calculatethetype.
二,公式的推导Two,FormulaDerivation
设,第6次,5个水手一起分椰子时,看到的数量为(last,fiveseamanwithdistributionofcoconut,seethecoconutnumber) ax+b, x为最后一次分a份后, 每份的个数(X,forthesixthtime,distributionofcoconut,coconuteachanumber)。
那么,第5个水手分椰子时,看到的椰子数为 (Fifth divided coconut,seethecoconutnumber):
(ax+b)a/d+b=a2x/d+ba/d+b
第4个水手分椰子时,看到的椰子数为(Fourth seaman dividedcoconut,seethecoconutnumber):
(a2x/d+ab/d+b)a/d+b=a3x/d2+b(a/d)2+ba/d+b
同样有,第3个水手分椰子时,看到的椰子数为(Equallythirdseaman dividedcoconut,seethecoconutnumber):
a4x/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b
然后, 再一路往后推,第1个水手分椰子时,看到的椰子数为 (Then,asbefore pushingback,firstseamandividedcoconut,seethecoconutnumber):
y=a6x/d5+[(a/d)5+(a/d)4+(a/d)3+(a/d)2+(a/d)
1]b,
上式中的括号内是一个公比为(d/a)的等比数例, 根据等比数例递推公式有 (nthetypeof
brackets,isa'public'(d/a)asthe'numbercases',Accordingtothegeometricprogressionrecursionformulaandgeneralize:
y=anx/dn-1+{(a/d)n-1[1-(d/a)n/(1-d/a)]}/b
=anx/dn-1+[(a/d)n-1-d/a]ab/c
=anx/dn-1+ban/cdn-1-db/c
=(canx+ban)/cdn-1-db/c
=an(cx+b)/cdn-1-db/c
=an(x+b/c)/dn-1-db/c
算式推导这里时,出现了两种情况
(1)当上式中的a(a/d)n-1部分,若(a/d)无公约数时,则an与dn-1互质,故上式可进一步写成:
y=an[(x+b/c)/dn-1]-db/c
从上式可看出:
根据题意dn-1必然是正整数,当(b/c)也为正整数,则(x+b/c)/dn-1 必可取得最小自然数1,或1的任意整倍数,通常在计算时,为了简便,一般取最小自然数1,则上述方程可简写成,简易公式:
y=an-db/c,这个公式可看作是所有这种类型题目的通解,但不一定是最小解
Formuladeducedthisstep,thereweretwosituations
(1)Whentheaboveformula,a(a/d)n-1section,if(a/d)nodivisor,thentheananddn-1arerelativelyprime,theaboveformulacanbefurtherwrittenas:
y=an[(x+b/c)/dn-1]-db/c
Fromtheaboveequationcanbeseen:
Accordingtothemeaningofthequestionsdn-1mustbeapositiveinteger,when(b/c)isalsopositiveinteger,then(x+b/c)/dn-1willbeavailabletothesmallestnaturalnumber1,or1anyintegermultiples,usuallyinthecalculation,forsimplicity,andgenerallythesmallestnaturalnumber1,theaboveequationcanbeabbreviatedas,simpleformula:
y=an-db/c,thisformulacanbeseenasallthegeneralsolutionofthistypeofproblem,butnotnecessarilyaminimalsolution
(2)若出现(a/d)有公约数这种情况时,此时y值,还会有比公式,y=an-db/c更小的解,现在我们接着 y=an(x+b/c)/dn-1-db/c,这一步继续求证,设m为(a/b)的最大公约数,则有:
y=a[(a/m)/(d/m)]n-1(x+b/c)-db/c
=a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m)n-1-db/c。
(2)Ifthereis(a/d)acommondivisor,inthiscase,yvalueisalsotherewillbearatioofGeneralSolutionsmallersolution,nowwethen,y=an(x+b/c)/dn-1-db/cthisstepandcontinueprojections,iftheset:
mof(a/b)ofthegreatestcommondivisor,thenthere:
y=a[(a/m)/(d/m)]n-1(x+b/c)-db/c
=a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m)n-1-db/
根据上面第一种情况后面的同样道理,可得到:
y=a(a/m)n-1-db/c
显然,如果我们把1也看做是(a/d)的公约数,那么当(a/d)的公约数只有1时,则y=a(a/m)n-1-db/c=an-db/c.
也就是说:
后者实质上是前者特殊形式,而y=a(a/m)n-1-db/c,不仅是“五猴分桃”这种类型题的通解公式,同时也是符合题意要求的,求解所有的此种类型题的最小解的通解公式
Accordingtothefirstcaseabove,followedbythesametoken,canbeobtained:
y=a(a/m)n-1-db/c
Clearly,ifweputone,isseenasa(a/d)divisor,then,when(a/d)ofthedivisorisonly1,theny=a(a/m)n-1-db/c=an-db/c
Thatis:
thelatterinessence,isaspecialformoftheformer,andy=a(a/m)n-1-db/c=an-db/c.notonlya"sailorassignedcoconut",thistypeofproblemsolvinggenericformula,isalsointendedtomeettherequirementsofquestions,solvingallproblemsofthistype,thegeneralsolutionofequationminimalsolution
(3)在通解公式:
y=a(a/m)n-1-db/c,里的db/c中,只要出现(b/c)不为正整数,通解公式便无解,现求证如下;
现在我们对推导过程中的最后一步y=a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m)n-1-db/c。
进行进一步分析,
(3)thegeneralsolutionofequationy=a(a/m)n-1-db/cLane,db/c,aslongasappears(b/c),thispartisnotapositiveinteger,thegeneralsolutionformulahasnosolution,nowProvethatthefollowing
Weturnnowtothelaststepinthederivation,y=a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m)n-1-db/c.Forfurtheranalysis,
在上式中若要便公式y=a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m)n-1-db/c。
有解,则公式中的(x+b/c)/(d/m)n-1应为整数。
现设:
(x+b/c)/(d/
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