高三数学 随机抽样.docx
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高三数学随机抽样
第十章统计、统计案例
【知识特点】
1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题,通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法,了解一些有关统计学的基本知识,并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。
2.统计案例为新课标中新增内容,主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。
增加了统计和统计案例后,使得高中数学的整个体系更加完善了,有利于开阔数学视野,丰富数学思想和方法。
【重点关注】
1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。
对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。
2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。
【地位与作用】
《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面,其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求,这定义为:
会收集数据、整理数据、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断。
数据处理能力主要依据统计(高考考试大纲对知识点要求如下表所示)或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题,对统计的要求已提升到能力的高度。
统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中,统计的语言不仅是数学的语言,也是各学科经常引用的大众语言,统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。
统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料,然后根据所得到的结果,进行推断或决策的一门实用性很强的科学。
统计这部分内容,在高中数学新课程中,主要分布在必修3第二章(约16课时)与选修2—3第三章(约9课时)。
相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高,所以它只能属于非重点内容,所出的相关题目一般来说都相对比较简单。
但它紧密联系人们的生产生活实际,内容方法比较灵活,为命高考数学应用题提供了一个广阔的领域,将会越来越受到重视。
从最近几年各省份的高考信息统计可以看出,本单元命题呈现以下特点:
1.考查题型以选择、填空为主,分值均占4%~8%,基本属于容易题;
2.重点考查用样本估计总体,特别是频率分布直方图的应用,以及用样本的数字特征估计总体的数字特征,考查的知识是本章的重点内容;
3.预计本章在今后的高考中仍将在“用样本估计总体”中命题,别外由于在2007年广东高考中出现了关于变量间的相关关系的解答题,这就需要引起对变量相关关系的重视.
10.1随机抽样
【高考目标导航】
一、考纲点击
1.理解随机抽样的必要性和重要性;
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;
3.了解分层抽样和系统抽样方法.
二、热点提示
1.本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法,是统计学中最基础的知识;
2.本部分在高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现,题目多为中低档题,重在考查抽样方法的应用.
【考纲知识梳理】
1.简单随机抽样
(1)定义:
设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法:
抽签法和随机数法.
2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
(1)先将总体的N个个体编号;
(2)确定分段间隔k,对编号进行分段,当是
整数时,取k=
;
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号
(
);
(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将
加上间隔
得到第2个个体编号(
+
),再加
得到第3个个体编号(
+2
),依次进行下去,直到获取整个样本.
3.分层抽样
(1)定义:
在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
注:
三种抽样方法的共同点和联系:
(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等;
(2)系统抽样中在分段后确定第一个个体时采用简单随机抽样,分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.
【要点名师透析】
(一)简单随机抽样
※相关链接※
1.简单随机抽样的特点:
(1)抽取的个体数较少;
(2)逐个抽取;
(3)是不放回抽取;
(4)是等可能抽取.
注:
抽签法适于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.
2.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
3.利用随机数表法抽取样本的步骤
(1)编号:
将每个个体编号,各号数的位数相同.
(2)选起始号码:
任取某行、某组的某数为起始号码.
(3)确定读数方向:
一般从左到右读取.
※例题解析※
〖例〗某大学为了支持2010年亚运会,从报名的24名大三的学生中选6人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
思想解析:
(1)总体的个体数较少,利用抽签法或随机数表法可容易获取样本;
(2)抽签法的操作要点:
编号、制签、搅匀、抽取;
(3)随机数表法的操作要点:
编号、选起始数、读数、获取样本.
解答:
抽签法
第一步:
将24名志愿者编号,编号为1,2,3,……,24;
第二步:
将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;
第三步:
将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;
第四步:
从盒子中逐个抽取6个号签,并记录上面的编号;
第五步:
所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.
随机数表法
第一步:
将24名学生编号,编号为01,02,03,……24;
第二步:
在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;
第三步:
凡不在01~24中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数;
第四步:
找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组.
(二)系统抽样
※相关链接※
系统抽样的特点
(1)适用于元素个数很多且均衡的总体;
(2)各个个体被抽到的机会均等;
(3)总体分组后,在起始部分采用的是简单随机抽样;
(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为
如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.
注:
系统抽样的四个步骤可简记为“编号——分段——确定起始的个体号——抽取样本”.
※例题解析※
〖例〗某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3,……,295,为了了解学生的学习情况,要按1:
5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.
思路解析:
按比例分组
每组编号
用简单随机抽样确定每一组的学生编号
间隔相同抽取
组成样本.
解答:
按1:
5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,关键是确定第1段的编号.按照1:
5的比例,应该抽取的样本容量为295÷5=59,我们把295名同学分成59组,每组5人.第一组是编号为1~5的5名学生,第2组是编号为6~1的5名学生,依次下去,第59组是编号为291~295的5名学生.
采用简单随机抽样的方法,从第1组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为
那么抽取的学生编号为
得到59个个体作为样本,如当
时的样本编号为3,8,13,……,288,293.
(三)分层抽样
〖例〗某政府机关有在编有员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.
思路解析:
(1)机构改革关系到名种人不同的利益;
(2)不同层次的人员情况有明显差异,故采用分层抽样.
解答:
用分层抽样方法抽取.
具体实施抽取如下:
(1)∵20:
100=1:
5,∴10/5=2,70/5=14,20/5=4,∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1~10编号与1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,,……,69编号,然后用随机数表法抽取14人。
(3)将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.
注:
分层抽样的操作步骤及特点
(1)操作步骤
①将总体按一定标准进行分层;
②计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数点总体数的比确定各层应抽取的样本容量;
③在每层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).
(2)特点
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;
②更充分地反映了总体的情况;
③等可能地抽样,每个个体被抽下马看花可能性都是
.
(3)分层抽样是一种实用性、操作性强,应用比较广泛的抽样方法,但必须保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
【感悟高考真题】
1.(2011·福建卷文科·T4)在某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为()
(A)6(B)8(C)10(D)12
【思路点拨】根据分层抽样的特点,各层的样本容量之比等于每一层的总体容量之比,根据此关系可确定高二年级的学生中应抽取的人数.
【精讲精析】选B.分层抽样的原则是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为
,则
,得
.
2.(2011.天津高考理科.T9)一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为___________
【思路点拨】根据抽取样本的比例计算。
【精讲精析】答案:
12
3.(2011·浙江高考文科·T13)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________
【思路点拨】本题主要考查由频率分布直方图求某组的频率.
【精讲精析】答案:
600名.在该次数学考试中成绩小于60分共有3组,频率之和为0.02+0.06+0.12=0.2,所以在该次数学考试中成绩小于60分的学生数大约为3000
=600名.
【考点模拟演练】
一、选择题
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性()
A、与第n次有关,第一次可能性最大
B、与第n次有关,第一次可能性最小
C、与第n次无关,与抽取的第n个样本有关
D、与第n次无关,每次可能性相等
答案:
2.对于简单随机抽样,每次抽到的概率()
A、相等B、不相等C、可相等可不相等D、无法确定
答案:
3.一个年级有12个班,每个班从1-50排学号,为了交流学习经验,要求每班的14参加交流活动,这里运用的抽样方法是()
A、简单随抽样B、抽签法C、随机数表法D、以上都不对
答案:
4.搞某一市场调查,规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查,直到调查到事先规定的调查人数为止,这种抽样方式是()
A、系统抽样B、分层抽样
C、简单随机抽样D、非以上三种抽样方法
答案:
5.为了了解所加工的一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度,在这个问题中,200个零件的长度是()
A、总体B、个体C、总体的一个样本D、样本容量
答案:
6.为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩,决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析,这个问题中样本容量是()
A、8B、400C、96D、96名学生的成绩
答案:
7.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况,从中抽查了100名运动员的年龄,就这个问题来说,下列说法正确的是()
A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100
解析:
这个问题我们研究的是运动员的年龄情况,因此应选D。
答案:
D
8.甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为90人的样本,应在这三校分别抽取学生()
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,10人 D.30人,50人,10人
解析:
B;
点评:
根据样本容量和总体容量确定抽样比,最终得到每层中学生人数
9.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法
分析:
此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样;当总体中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;当总体中个体较少时,宜采用随机抽样.
依据题意,第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.
答案:
B
10.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
关于上述样本的下列结论中,正确的是()
A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样
C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样
解析:
D。
点评:
采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定
11.某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平,从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析,在这个问题中,下列说法正确的是()
(A)800名同学是总体
(B)100名同学是样本
(C)每名同学是个体
(D)样本容量是100
【解析】选D.据题意总体是指800名新入学同学的中考数学成绩,样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩,个体是指每名同学的中考数学成绩,样本容量是100,故只有D正确.
12.2010年某高校有2400外毕业生参加国家公务员考试,其中专科生有200人,本科生1000人,研究生有1200人,现有分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况,从中抽取一个容量为n的样本,已知从专科生中抽取的人数为10人,则n等于()
(A)100B(B)200(C)120(D)240
答案:
C
二、填空题
13.对有n(n≥4)个元素的总体
进行抽样,先将总体分成两个子总体
和
(m是给定的正整数,且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用
表示元素i和j同时出现在样本中的概率,则
=;所有
(1≤i<j≤
的和等于.
【答案】
6
【解析】
第二空可分:
①当
时,
;
②当
时,
;
③当
时,
;
所以
点评:
当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。
采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行
14.某中学为了了解高一学生的年龄情况,从所有的1800名高一学生中抽出100名调查,则样本是______.
【解析】样本是指从总体中抽取的一部分个体,故本题中的样本是这100名同学的年龄.
答案:
这100名同学的年龄
15.某校高中部有三个年级,其中高三有学生1000人,现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本,已知在高一年级抽取了75人,高二年级抽取了60人,则高中部共有______名学生.
【解析】由题意知从高三年级抽取的人数为185-75-60=50人.所以该校高中部的总人数为
×1000=3700(人).
答案:
3700
16.某校有学生1387名,若采用系统抽样法从中抽取9名同学参加中学生身体素质检测,若要采用系统抽样,则先从总体中剔除的人数为______名.
【解析】由于1387除以9得154余1,故应先从1387名同学中随机剔除1名同学.
答案:
1
三、解答题
17.今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。
问:
①总体中的某一个体
在第一次抽取时被抽到的概率是多少?
②个体
不是在第1次未被抽到,而是在第2次被抽到的概率是多少?
③在整个抽样过程中,个体
被抽到的概率是多少?
解析:
(1)
,
(2)
,(3)
。
点评:
由问题
(1)的解答,出示简单随机抽样的定义,问题
(2)是本讲难点。
基于此,简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性
18.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查,如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论?
(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作?
(3)为了从4000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本,如何使用系统抽样抽取到所需的样本?
【解析】
(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量=120,总体个数=500+3000+4000=7500,则抽样比:
所以有500×
=8,3000×
=48,4000×
=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层抽样的步骤是:
①分层:
分为教职员工、初中生、高中生,共三层.
②确定每层抽取个体的个数:
在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本.
④综合每层抽样,组成样本.
这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.
(2)由于简单随机抽样有两种方法:
抽签法和随机数法.如果用抽签法,要作3000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是:
①编号:
将3000份答卷都编上号码:
0001,0002,0003,…,3000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置.
③规定读数方向:
向右连续取数字,以4个数为一组,如果读取的4位数大于3000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止.
(3)由于4000÷64=62.5不是整数,则应先使用简单随机抽样从4000名学生中随机剔除32个个体,再将剩余的3968个个体进行编号:
1,2,…,3968,然后将整体分为64个部分,其中每个部分中含有62个个体,如第1部分个体的编号为1,2,…,62.从中随机抽取一个号码,如若抽取的是23,则从第23号开始,每隔62个抽取一个,这样得到容量为64的样本:
23,85,147,209,271,333,395,457,…,3929.
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