第54节随机抽样.docx
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第54节随机抽样
第二节
随机抽样
1.简单随机抽样
(1)抽取方式:
逐个不放回抽取;
(2)特点:
每个个体被抽到的概率相等;
(3)常用方法:
抽签法和随机数法.
2.分层抽样
(1)在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
3.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
(1)先将总体的N个个体编号;
(2)确定分段间隔k,对编号进行分段.当
(n是样本容量)是整数时,取k=
;
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);
(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l+k,再加k得到第3个个体编号l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次被抽到的可能性最大.( )
(2)从100件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件,连续拿5次,是简单随机抽样.( )
(3)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体.( )
(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( )
(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
(6)某校即将召开学生代表大会,现从高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽取.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
2.(教材习题改编)老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是( )
A.随机抽样 B.分层抽样
C.系统抽样D.以上都不是
解析:
选C 因为抽取学号是以5为公差的等差数列,故采用的抽样方法应是系统抽样.
3.利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,则总体中每个个体被抽到的概率是________.
解析:
总体个数为N=8,样本容量为M=4,则每一个个体被抽到的概率为P=
=
=
.
答案:
4.(教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
解析:
设应从高二年级抽取x名学生,则
=
,
解得x=15.
答案:
15
5.已知某商场新进3000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为________.
解析:
每组袋数:
d=
=20,
由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列.
a61=11+60×20=1211.
答案:
1211
[考什么·怎么考]
简单随机抽样在高考中单独考查的频率较小,主要涉及随机抽样的特点及随机数法的应用.题型为选择题或填空题,难度较小.
1.以下抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
解析:
选D 选项A、B不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;选项C不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次;选项D是简单随机抽样.
2.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07
C.02D.01
解析:
选D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号是01.
3.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为
,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选C 根据题意,
=
,
解得n=28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为
=
.
[怎样快解·准解]
1.简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少;
(2)是逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.
2.抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
[易错提醒] 利用随机数法抽取样本时,一定要注意“重复的号码”只能记一次,如第2题易误认为第5个个体编号为02而误选.
系统抽样在高考中单独考查的频率也较小,主要考查系统抽样的抽取方法.题型为选择题或填空题,难度较小.
[典题领悟]
1.从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为( )
A.480 B.481
C.482D.483
解析:
选C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1=7,a2=32,故d=25,所以7+25(n-1)≤500,所以n≤20,最大编号为7+25×19=482.
2.中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见,准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈,现用系统抽样的方法完成这一抽样,则在进行分组时,需剔除________个个体,抽样间隔为________.
解析:
把502名观众平均分成50组,由于502除以50的商是10,余数是2,所以每组有10名观众,还剩2名观众,采用系统抽样的方法抽样时,应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众,这2名观众不参加座谈;再将剩下的500名观众编号为1,2,3,…,500,并均匀分成50段,每段含
=10个个体.所以需剔除2个个体,抽样间隔为10.
答案:
2 10
[解题师说]
1.掌握“4特点”
(1)适用于元素个数很多且均衡的总体.
(2)每个个体被抽到的机会均相等.
(3)总体分组后,在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样.
(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为k=
.
2.谨防“1易错”
用系统抽样法抽取样本,当
不为整数时,取k=
,即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N-nk)个个体,且剔除多余的个体不影响抽样的公平性.(如典题领悟第2题)
[冲关演练]
1.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11B.12
C.13D.14
解析:
选B 由系统抽样定义可知,所分组距为
=20,每组抽取一人,因为包含整数个组,所以抽取个体在区间[481,720]的数目为
=12.
2.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33~48这16个数中抽到的数是39,则在第1小组1~16中随机抽到的数是( )
A.5B.7
C.11D.13
解析:
选B 把800名学生分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组,所以第1组抽到的数为39-32=7.
分层抽样是每年高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,有时也出现在解答题中,难度较小,属于低档题.
[典题领悟]
1.(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
解析:
应从丙种型号的产品中抽取
60×
=18(件).
答案:
18
2.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况,现用分层抽样的方法抽取一个容量为1200的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3,已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为________.
解析:
因为高一年级抽取学生的比例为
=
,所以
=
,解得k=2,故高三年级抽取的人数为1200×
=360.
答案:
360
3.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:
人).
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.
解析:
由题意知
=
,解得a=30.
答案:
30
[解题师说]
1.牢记“2关系”
进行分层抽样的相关计算时,常用到的2个关系
(1)
=
;
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
2.谨防“1失误”
分层抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni=n·
(i=1,2,…,k)个个体(其中i是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量).
[冲关演练]
1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n=( )
A.54 B.90
C.45D.126
解析:
选B 依题意得
×n=18,解得n=90,即样本容量为90.
2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名教师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C学校中应抽取的人数为( )
A.10B.12
C.18D.24
解析:
选A 根据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为
×60=10.
普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般,无须挖潜)
A级——基础小题练熟练快
1.从2018名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用以下方法选取:
先用简单随机抽样法从2018名学生中剔除18名学生,剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率( )
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等,且为
D.都相等,且为
解析:
选C 从N个个体中抽取M个个体,则每个个体被抽到的概率都等于
,故每名学生入选的概率都相等,且为
.
2.(2018·长春一模)完成下列两项调查:
①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是( )
A.①简单随机抽样,②系统抽样
B.①分层抽样,②简单随机抽样
C.①系统抽样,②分层抽样
D.①②都用分层抽样
解析:
选B 因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响,而社区中各个家庭收入差别明显,所以①用分层抽样法;从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,个体之间差别不大,且总体和样本容量较小,所以②用简单随机抽样法.
3.从30个个体(编号为00~29)中抽取10个样本,现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表),如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读,则选取的前4个的号码分别为( )
9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640
58587766317005002593054553707814
28896628675782311589006200473815
51318186370945216665532553832702
90557196217232071114138443594488
A.76,63,17,00 B.16,00,02,30
C.17,00,02,25D.17,00,02,07
解析:
选D 在随机数表中,将处于00~29的号码选出,满足要求的前4个号码为17,00,02,07.
4.(2017·怀化二模)某校高三
(1)班共有48人,学号依次为1,2,3,…,48,现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本,已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中,则还有一个同学的学号应为( )
A.27B.26
C.25D.24
解析:
选A 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取,则抽取的号码差相等,易知相邻两个学号之间的差为11-3=8,所以在19与35之间还有27.
5.某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200.为做好小学放学后“快乐30分”的活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为( )
A.120B.40
C.30D.20
解析:
选B ∵一年级学生共400人,抽取一个容量为200的样本,∴用分层抽样的方法抽取的一年级学生人数为
×200=40.
6.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A.12B.13
C.14D.15
解析:
选A 根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d=
=20的等差数列{an},∴通项公式an=8+20(n-1)=20n-12,令751≤20n-12≤1000,得
≤n≤
,又∵n∈N*,∴39≤n≤50,∴做问卷C的共有12人.
7.某商场有四类食品,食品类别和种数见下表:
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________.
解析:
因为总体的个数为40+10+30+20=100,所以根据分层抽样的定义可知,抽取的植物油类食品种数为
×20=2,抽取的果蔬类食品种数为
×20=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6.
答案:
6
8.某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况,决定对该市参加2018年高三第一次全国大联考统考(后称统考)的32所学校进行抽样调查,将参加统考的32所学校进行编号,依次为1到32,现用系统抽样的方法抽取8所学校进行调查,若抽到的最大编号为31,则最小的编号是________.
解析:
根据系统抽样法,将总体分成8组,组距为
=4,若抽到的最大编号为31,则最小的编号是31-4×7=3.
答案:
3
9.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:
辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,则z的值为________.
解析:
由题意可得
=
,
解得z=400.
答案:
400
10.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.
解析:
第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015.
答案:
50 1015
B级——中档题目练通抓牢
1.某工厂在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( )
A.800双B.1000双
C.1200双D.1500双
解析:
选C 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一,即为1200双皮靴.
2.将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,…,600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在A营区,从301到495在B营区,从496到600在C营区,则三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
解析:
选B 依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤
,因此A营区被抽中的人数是25;令300<3+12(k-1)≤495,得
3.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,如果在第一组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是( ) A.63B.64 C.65D.66 解析: 选A 若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中的编号依次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63. 4.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 A B C 产品数量(件) 1300 样本容量(件) 130 由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是________件. 解析: 设样本容量为x,则 ×1300=130,∴x=300. ∴A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件). 设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,∴y=80. ∴C产品的数量为 ×80=800(件). 答案: 800 5.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名? 解: (1)∵ =0.19,∴x=380. (2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为 ×500=12(名). 6.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n. 解: 总体容量为6+12+18=36. 当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为 , 分层抽样的比例是 ,抽取的工程师人数为 ×6= , 技术员人数为 ×12= ,技工人数为 ×18= . 所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18. 当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人, 系统抽样的间隔为 , 因为 必须是整数,所以n只能取6. 即样本容量为n=6.
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