第3节等式性质与不等式的性质.docx
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第3节等式性质与不等式的性质
第3节等式性质与不等式的性质
考试要求梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
a-b>0?
a>b,
(1)作差法a-b=0?
a=b,a-b<0?
a ab>1(a∈R,b>0)? a>b(a∈R,b>0), (2)作商法 a b=1? a=b(a,b≠0),ba<1(a∈R,b>0)? a0). 2.等式的性质 (1)对称性: 若a=b,则b=a. (2)传递性: 若a=b,b=c,则a=c. (3)可加性: 若a=b,则a+c=b+c. (4)可乘性: 若a=b,则ac=bc;若a=b,c=d,则ac=bd. 3.不等式的性质 (1)对称性: a>b? b (2)传递性: a>b,b>c? a>c; (3)可加性: a>b? a+c>b+c;a>b,c>d? a+c>b+d; (4)可乘性: a>b,c>0? ac>bc;a>b,c<0? ac ac >bd; (5)可乘方: a>b>0? an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方: nn a>b>0? a>b(n∈N,n≥2). [常用结论与微点提醒] 1.在不等式的两边同乘以一个正数,不等号方向不变;同乘以一个负数,不等号方向改变. 2.有关分式的性质 bb+mbb-m (1)若a>b>0,m>0,则aa-m(b-m>0). 11 (2)若ab>0,且a>b? a 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a>b? ac2>bc2.() (2)a=b? ac=bc.() a (3)若b>1,则a>b.() 111 (4)0 b 解析 (1)由不等式的性质,ac2>bc2? a>b;反之,c=0时,a>b? ac2>bc2. (2)由等式的性质,a=b? ac=bc;反之,c=0时,ac=bc? a=b. a (3)a=-3,b=-1,则b>1,但a B.ad dc ab C.c>d 答案 (1)× (2)×(3)×(4)√ 答案> 4.(2020沈·阳调研)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是() A.xy<1B.2-x<2-y 22 C.lg(x-y)>0D.x2>y2 解析由x>y,得-x<-y,所以2-x<2-y,故选B. 答案B 5.(2020广·东执信中学月考)若a,b∈R,且a>|b|,则() A.a<-bB.a>b 2211 C.a2 ab 解析由a>|b|可知,当b≥0时,a>b;当b<0时,a>-b,则a>0>b,综上可知,当a>|b|时,a>b恒成立,故选B. 答案B 6.(多选题)(2020商·丘九校联考)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是() A.xy>yzB.xy>xz C.xz>yzD.x|y|>|y|z 解析因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定,对于A,因为x>z,若y<0,则xy<0 答案ACD 考点一比较两个数(式)的大小 S3S5 【例1】 (1)已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则S3与S5的大小关 a3a5 系为. ln3ln4ln5 (2)(一题多解)若a=3,b=4,c=5,则() B.c A.a C.c D.b S3S5S3S5 解析 (1)当q=1时,aS33=3,aS55=5,所以aS33 所以aS33 (2)法一易知a,b,c都是正数,ba=34llnn34=log8164<1,所以a>b;cb=54llnn45=log6251024>1,所以b>c.即c 法二构造函数f(x)=lnxx,则f′x)(=1-xl2nx, xx由f′x)(>0,得0 S3S5 答案 (1)aS33 (2)B 规律方法1.作差法一般步骤: (1)作差; (2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤: (1)作商; (2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论. 3.函数的单调性法: 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法: 对于选择、填空题,可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【训练1】 (1)若a,b为正数,且a≠b,则a3+b3a2b+ab2(用符号>、<、 ≥、≤填空). a+b (2)(2020黑·龙江海林检测)若a>0,b>0,则p=(ab)2与q=ab·ba的大小关系是 解析 (1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,∴(a3+b3)-(a2b-ab2)>0, 即a3+b3>a2b+ab2. 1,a-b>0,则qp>1;若01;若a=b,则pq=1.综上,p≥q,故选A. q 答案 (1)> (2)A 考点二不等式的性质 【例2】 (1)(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是() 11 11 A.a2 ab a+2a22 C.>D.ac2 b+2b 11111 (2)(组合选择题)若a<1b<0,给出下列不等式: ①a+1b a+2a b+2-b=(b+2)b>0,所以b+2>b. 当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立,故选ABC. 11 (2)法一因为a0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D. 1111 法二由<<0,可知b0,所以<0, aba+bab 11 >0.故有a+1b 2中,因为b-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误; 1111 3中,因为b->0, abab 11 所以a-1>b-1,故③正确; ab 4中,因为ba2>0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上为增函数,所以lnb2>lna2,故④错误.由以上分析,知①③正确. 答案 (1)ABC (2)C 规律方法解决此类题目常用的三种方法: (1)直接利用不等式的性质逐个验证; (2)利用特殊值法排除错误答案,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件; (3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】 (1)(2020抚·顺调研改编)已知a,b,c满足c A.ab>acB.c(b-a)<0 44 C.cb4 (2)(2019武·汉联考)下列命题中正确的是() A.若a>b,c∈R,则ac>bc ab B.若a>b,c C.若a>b,c>d,则a-c>b-d 11 D.若ab>0,a>b,则a (1)因为a,b,c满足cc,a>0,所以ab>ac,故A正确;对于B,因为b0,故B不正确;对于C,因为c0,所以ac(a-c)<0,故D不正确,故选A. (2)A中,当c=0时不成立,c<0时也不成立,故A不正确.B中,当c<0 b,(-c)<(-d),不满足不等式的同向相加性,故C不正确.D中,因为ab>0,所以a,b同号,所以当a>b时,11 <,故D正确.故选D. ab 答案 (1)A (2)D 考点三不等式及其性质的应用多维探究 角度1不等式在实际问题中的应用 【例3-1】(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (1)男学生人数多于女学生人数; (2)女学生人数多于教师人数;(3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为. ②该小组人数的最小值为. 解析令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且2z>x>y>z,①若教师人数为4,则4 答案①6②12 角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移 【例3-2】(经典母题)已知-1 3x+2y的取值范围是. 解析因为-1 答案(-4,2)(1,18) 【迁移1】将本例条件改为“-1 所以-3<-y<1,-4 【迁移2】将本例条件改为“已知-1 解设3x+2y=λ(x-y)+μ(x+y), 即3x+2y=(λ+μ)x+(μ-λ)y, ∴3x+2y=21(x-y)+25(x+y). ∵-1 11515 ∴-12<21(x-y)<2,5<25(x+y)<125, 91519 ∴2<2(x-y)+2(x+y)<2. 919 故3x+2y的取值范围是29,129. 规律方法1.解决有关不等关系的实际问题,应抓住关键字词,例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点: 一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过 “一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表: 甲 乙 设用甲、乙两种食物各xkg、ykg配成至多100kg的混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B,则x,y应满足的所有不等关系为. 11a (2)(2019青·岛测试)已知实数a∈(1,3),b∈8,4,则b的取值范围是 解析 (1)x,y所满足的关系为 x+y≤100,x+y≤100, 2x+y≥155,x≥0,y≥0. 600x+700y≥56000, 800x+400y≥62000, x≥0,y≥0, 1a (2)依题意可得4 x+y≤100, 6x+7y≥560,x≥0,y≥0 A级基础巩固 一、选择题 1.限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40km/h,写成不等式为() 解析由汽车的速度v不超过40km/h,即小于等于40km/h,即v≤40km/h,故选D. 答案D 11 2.(多选题)下列四个条件,能推出a 11 解析运用倒数性质,由a>b,ab>0可得a<1b,B、D正确.又正数大于负数, A正确,C错误,故选A,B,D.答案ABD 3.若a,b都是实数,则“a-b>0”是“a2-b2>0”的( 1 数,但函数g(x)=x+x在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以,当 6.(一题多解)(2019全·国Ⅱ卷)若a>b,则() A.ln(a-b)>0B.3a<3b C.a3-b3>0D.|a|>|b| 解析法一由函数y=lnx的图象(图略)知,当0b时,3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b 法二当a=0.3,b=-0.4时,ln(a-b)<0,3a>3b,|a|<|b|,故排除A,B,D.故选C. 答案C 111ab 7.(2020山·东齐鲁名校联考)已知0 A.M>NB.M C.M=ND.不能确定 1 解析∵00,1+b>0,1-ab>0. 1-a1-b2(1-ab) ∴M-N=1+a+1+b=(1+a)(1+b)>0,∴M>N,故选A.答案A 8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.且0 A.c≤3B.3 C.6 解析由f(-1)=f(-2)=f(-3) a=6, 解得 b=11, -1+a-b+c=-8+4a-2b+c, -1+a-b+c=-27+9a-3b+c, 则f(x)=x3+6x2+11x+c, 由0 、填空题 11 解析分母有理化有51-2=5+2,6-15=6+5,显然5+2<6+5, 11所以1<1. 5-26-5 答案< 10.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f(-2)的取值范围是 解析设f(-2)=mf(-1)+nf (1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. m+n=4,m=3, 于是得解得 n-m=-2,n=1. ∴f(-2)=3f(-1)+f (1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f(-1)+f (1)≤10,故5≤f(-2)≤10.答案[5,10] 11.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题: 1若ab>0,bc-ad>0,则c-d>0; ab cd 2若ab>0,ac-db>0,则bc-ad>0; cd 3若bc-ad>0,->0,则ab>0. ab 其中正确的命题是(填序号). 解析∵ab>0,bc-ad>0, ∴bc-ad>0,∴②正确; ∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确. 答案①②③ 1 12.若0 解析∵0 1 ∴a<21且2a<1, 212111∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a=-2a-2+2<2.即a<2ab<2. 22211 又a+b=(a+b)-2ab=1-2ab>1-2=2, 即a2+b2>21. ∵12 ∴(a2+b2)-b=[(1-b)2+b2]-b=2b2-3b+1=(2b-1)(b-1)<0. 答案a<2ab<21 B级能力提升 13.(2020长·沙周南中学模拟)若a>1>b>0,-1 A.2b<2aB.logab C.a2 解析A中,函数y=2x在R上单调递增,∵a>b>0,∴b>0>-a,∴2b>2-a,故A错误.B中,函数y=logax(a>1)在(0,+∞)上单调递增,∵0logb1=0.∴logab 答案B a,a≤b, 14.(2019大·连模拟)设a,b∈R,定义运算“? ”和“⊕”如下: a? b= b,a>b,b,a≤b, a⊕b=若m? n≥2,p⊕q≤2,则() a,a>b. A.mn≥4且p+q≤4B.m+n≥4且pq≤4 C.mn≤4且p+q≥4D.m+n≤4且pq≤4 m≥2,n≥2,解析结合定义及m? n≥2可得或 m≤nm>n, 即n≥m≥2或m>n≥2,所以mn≥4; p≤2,q≤2,结合定义及p⊕q≤2,可得或 p>qp≤q, 即q 15.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是 b2>1, 解析因为ab2>a>ab,所以a≠0,当a>0时,b2>1>b,即解得b<-1; b<1, b2<1, 当a<0时,b2<1 b>1, 综上知实数b的取值范围是(-∞,-1). 答案(-∞,-1) c 16.已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f (1)=0,且a>b>c,则的取值范围是 a 解析因为f (1)=0,所以a+b+c=0, 所以b=-(a+c).又a>b>c, 所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0, 所以 2c <- 1, 解得-2 -2, c1即ca的取值范围为-2,-12. 1 答案-2,-12 C级创新猜想 17.(多选题)若0c>1,则() a b A.c>1 c-ac B.b--a>cb C.ca1 a0 解析对于A,∵b>c>1,∴b>1.∵0cb=1,故正确.对于B, ccc c-ac 若>,则bc-ab>bc-ac,即a(c-b)>0,这与0c>1矛盾,b-ab 故错误.对于C,∵0c>1,∴ca-1>ba-1,故错误.对于D,∵0c>1,∴logca 答案AD 18.(开放题)给出三个不等式: ①a2>b2;②2a>2b-1;③a-b>a-b.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是(答案不唯一,写出一个即 可). 解析使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0,当a>b>0时,①②显然成立,对于③,(a-b)2-(a-b)2=2ab-2b=2b(a-b), ∵a>b>0,∴2b(a-b)>0, 所以(a-b)2-(a-b)2>0,即a-b>a-b. 答案a>b>0(答案不唯一) 2.(老教材必修5P66A3 (2)改编)若a>b>0,c A.ad>bc dc ab D.c 1111 解析因为c 故由不等式的性质可知-a>-b>0.两边同乘-1,得a d
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- 等式 性质 不等式
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