第六章z变换.docx
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第六章z变换
第六章z变换、离散时间系统的z域分析
基本要求
通过本章的学习,学生应该理解z变换的定义、收敛域(ROC)的概念;掌握z变换的性质,z变换及逆z变换的计算方法,以及离散系统的z域分析法。
深刻理解系统函数H(z)及
H(z)与离散系统因果性、稳定性的关系,离散系统的频率响应H(ejw)。
能绘制系统的
幅频响应、相频响应曲线。
知识要点
(1)定义
x(n)zn,双边z变换
X(x)[x(n)]
x(n)zn,单边z变换
n0
若x(n)x(n)u(n),则
x(n)的单边z变换x(n)的双边z变换
(2)z变换的收敛域
1一般地,双边序列x(n)的X(z),其收敛域为z平面上以原点为中心的圆环内部,即
RxizRX2;
,也包括z0或
②有限长序列x(n)的X(z),其收敛域为整数个z平面,即0z
0zR程,可能包括z0;
④左边序列x(n)的X(z),其收敛域为某圆的内部,即
(2)典型序列的z变换
[(n)]1,
[u(n)]
z
[nu(n)]k,
[auu(n)]
(4)逆z变换
1围线积分法(留数法)
式中Res表示极点的留数,zm为X(z)zn1的极点。
计算s阶极点Zm的留数公式为
ds1
-^T^[(zzm)sX(z)zn1]dz
zZm
2幕级数展开法(长除法)
X(z)=熙
D(z)
N(z)除以D(z),将F(z)展开成z1的幕级数。
注意:
若原序列x(n)为右边序列,则将N(z)、D(z)按z的降幕排序;若原序列x(n)为左边序列,则将N(z)、D(z)按z的升幕排列。
3部分分式展开法
当X(z)为z的有理函数时,可先将X(z)展成一些简单常见的部分分式之和,然后
z
每个分式乘以z,再对各个分式求逆变换,最后相加即可得x(n)。
(5)z变换的基本性质
设[x(n)]X(z),
&;
zRx2
[y(n)]y(z),
%|z&
①线性
[ax(n)by(n)]aX(z)
bY(z)
(a,b为常数)
max&%)zmin(R<2,Ry2)
2位移法
双边z变换
[x(n)m]zmX(z),Roc不变
单边z变换
1
[x(nm)]zm[X(z)x(k)zk],Roc不变
km
m1
[x(nm)]zm[X(z)x(k)zk],Roc不变
k0
3序列线性加权(z域微分)
pl
[nx(n)]z一X(z),Roc不变
dz
4序列指数加权(z域尺度变换)
[anx(n)]X-,玄氏z玄耳
a
5初值定理
x(0)lim(z)
x
条件:
x(n)是因果序列。
6终值定理
Z
■■ml■IZ
条件:
X(z)的极点必须处在单位圈内,在单位圈上只能位于z1点且只是一阶极点。
7时域卷积定理
[x(n)yn)]X(z)Y(z)
max&,RyJzmin^,/)
8序列相乘(z域卷积)
[x(n)y(n)]占?
X(z)Y(v)v1dv
2j'c1v
六?
czxwY®idv
&尽z&2Ry2
其中C1,C2分别为X(-)与Y(v)或X(v)与Y(Z)收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。
vv
(6)z变换与拉氏变换的关系
[x(nT)]X(z)|zeSTX(s)
[X(t)T(t)]
2..离散时间系统的z域分析
(1)利用z变换求解差分方程,其原理是基于z变换的线性和位移性,即将差分方程
两边取单边z变换,再代入初始条件求得Y(z),最后求逆变换即得响应y(n)。
(2)用z变换求系统的零输入响应yz(n),先将系统的齐次方程进行单边z变换,再
代入初始状态y
(1),y
(2),L,y(N),求出篦⑵,最后进行逆变换,就可得到Yzi(n)。
(3)用z变换求系统零状态响应>zs(n),先求出系统函数H(z),再将激励序列x(n)
的z变换X(z)与之相乘,得到Yzs(z),最后进行逆变换,就可得到yzs(n)。
(4)离散系统的系统函数
H(z)与单位样值响应h(n)是一z变换对,即[h(n)]H(z)
3•离散时间系统稳定性判决
(1)时域判决条件
h(n)|M(充要条件)
n
对于因果系统,①式可改写为
h(n)M
n0
(2)因果系统的稳定性的z域判决条件
1若H(z)的全部极点落在单位圆内,则系统稳定;
2若H(z)有极点落于单位圆外,或在单位圆上具有二阶以上的极点,则系统不稳定;
3若H(z)在单位圆上有一阶极点,但其他极点均在单位圆内,则系统临界稳定。
4•离散系统的频率响应特性H(ej)
频率响应H(ej)是离散稳定系统在正弦序列作用下的稳态响应特性,即
离散系统频率响应H(ej)与连续系统频率响应H(jw)的最大区别在于前者是周期函
内容摘要
1.信号的正交函数分解
2.完备正交函数分集、帕塞瓦尔定理
3.相关
4.能量谱和功率谱
5.相关、能量谱和功率谱的应用
线性系统的传输特性
匹配滤波器
码分复用、码分多址通信
例题
信号的正交分解相关函数
.功率密度谱
-能量密度谱匹配滤波器
2tsin
解答
0
C123
fi(t)f2(t)dt
f22(t)dt
31n
sin-tdt033
2
sinntdt
3
所以
2n
fi(t)sint
n3
fe(t)fl(t)「
(0
t3)
C12f2(t)
例6-2
sing
2
bRfg负的最大,二者反极性最相似;
2g
cRfg00,二者最不相似正交。
(a)
(b)
(c)
三种情况的波形如图(a)(b)(c)所示
例6-3
试确定下列信号的功率,并画出它们的功率谱
Acos(2000n)Bsin(200冗t)
解答
功率谱如图(a)所示。
(a)
方法
功率谱(功率密度)
ftAcos(2000t)
A」®tj3t
ee
2
为:
Bsin(200t)
Bj31
e
2j
ej3t
Fn
2
S'3
总功率为:
2n
CD
IO3S3
CD
10g
P丄
2n
A2
2
B2
2
A2B2
例6-4
信号e(t)2etu(t)通过截至频率度,以图形示出。
解答
3c
1的理想低通滤波器,,试求响应的能量谱密
因为e(t)2et
u(t)
所以
其能量谱密度
CD
4
321
响应信号的能量谱密度为:
0)
例6-5
4
321
f(t),冲激响应为h(t)s(Tr(t)的表达式;
求tT时刻的输出r(t)
由以上结果证明,可利用题图
若匹配滤波器输入信号为
(1)
(2)
(3)
给出描述输出信号
解答
相乘
(3)由题图(a)可知:
在开天刖:
t),求:
t(T);
(a)的框图来实现匹配滤波器之功能。
tTrTrJ
(a)
sTt
ftstdt
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- 第六 变换