二次函数旋转折叠.docx

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二次函数旋转折叠

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）

2

1已知抛物线y=x+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将厶OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.

（3）设

（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为Di,若点N在平移后的抛物线上，且满足厶NBB1的面积是厶NDD1面积的2倍，求点N的坐标.

2

2、如图，已知点A（-2,4）和点B（1,0）都在抛物线y=mx+2mx+n上.

（1）求m、n;

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，若四边形AA'B'B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）试求出菱形AA'B'B的对称中心点M的坐标.

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转

a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为;

（2）当厶CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点C,当EC=CG时，求点G的坐标；

（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上.

MtV水

图①圉②图③

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3,0）,C（0,1）.将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°,得到矩形OA'B'C'.设直线BB'与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C'、M、N.解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将厶MON沿直线BB'翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并

请说明理由；

（3）

，使它恰好经过原点O，求出所有符合

将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向）要求的新抛物线的解析式.

5、在平面直角坐标系中点A（0,2）C（4,0）,AB//x轴，△ABC是直角三角形，/ACB=90°

（1）求出点B的坐标，并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式；

（2）将厶ABC直线AB翻折，得到△ABC!

，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△ABC•请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题

（1）所求的抛物线的图象上；

（3）将题

（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax-mx+2m,并使抛物线

的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围.

轴交于C,若抛物线过点E（-1,2）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?

若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；

（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0,1.5）,将厶CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？

请指出并证明你的结论.

B（5,0）,连接AB.

（1）现将△AOB绕点0按逆时针方向旋转90。

，得到厶COD,（点A落到点C处），请画出厶COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；

（2）将

（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物

线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF,当|PE-PF取得最大

值时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使厶EPF为直角

三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转a角，得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A（-9，0），C（0，6），如图甲.

（1）当a=60。

时，请猜测厶ABF的形状，并对你的猜测加以证明.

（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式.

（3）当a=90。

时，如图乙•请探究：

经过点F,且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形

ADEF的对称中心H，并说明理由.

上，且0A=1,0C=2.将矩形OABC绕点0顺时针旋转90°,得到矩形DEFG（如图1）.

（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式；

（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示.

1图2中，在OvtV1的条件下，连接BF,BF与

（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q,

设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化？

如果不变，求出其值；

2在Ovtv3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：

是否存在t值，使以PB为斜边的Rt

△PFB与Rt△AOC相似？

若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请

说明理由（利用图3分析探索）.

3

C

Hi

E

F

■

O

（D）

在X轴的负半轴上，边0C在y轴的正半轴上，且AB=1,OB「3，矩形ABOC绕点0按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD•点A的对应点为点E，点B的对应点为点F,点C的对应点为点D，抛物线y=ax•bx•c过点AE,D•

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点0,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

⑵将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）

设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q.问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1:

3两部分？

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由

答案

D.

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）

2

1已知抛物线y=x+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为

（1）求抛物线的解析式；

（2）将厶OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.

（3）设

（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足厶NBB1的面积是厶NDD1面积的2倍，求点N的坐标.

［解析］

（1）利用待定系数法，将点A,B的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据旋转的知识可得：

A（1,0）,B（0,2）,•••OA=1,OB=2,

可得旋转后C点的坐标为（3,1）,当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3,2）•••将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.•••平移后的抛物线解析式为：

y=x2-3x+1;

（3）

首先求得B1,D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想.

图①

2、如图，已知点A（-2,4）和点B（1,0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上.

（1）求m、n;

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，若四边

形AA'B'B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）试求出菱形AA'B'B的对称中心点M的坐标.

ax.F

A.{\

/,

KJA

11||

X

中，解出m、n的值即可.

（2）本题需先根据四边形AA'B'B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移|5个单位即可得到平移后抛物线的表达式.

（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A'、B'的坐标，再过点A'作A'H丄x轴，得出BH和A'H的值，再设菱形AA'B'B的中心点M,作MG丄x轴，根据中位线性质

得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标.

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标

（2）当厶CBD是等边三角形时，旋转角a的度数

是（a为锐角时）；

（3）

如图②，设EF与BC交于点C,当EC=CG

（2）已知/BCD=60。

，/BCF=30°，然后可得/a=60°.

（3）设CG=x，贝UEG=x,FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值.

（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2,把点A的坐标代入求出a值.当x=7

时代入函数解析式可得解.

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3,0）,C（0,1）.将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°,得到矩形OA'B'C'.设直线BB'与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C'、M、N.解答下列问题：

（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；

（2）将厶MON沿直线BB'翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；

（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向）要求的新抛物线的解析式.

【解析】

（1）根据四边形OABC是矩形，A（3,0）,C（0,1）求出B'的坐标，设直线

BB'的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N

两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求

出二次函数的解析式；

（2）设P点坐标为（x,y），连接OP,PM，由对称的性质可得出OP丄MN,OE=PE,PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；

（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论.

【解答】（3）①在上下方向上平移日时根据开

口大小不变，对称轴不变，

所以，二次项系数和一次项系数不变，

根据它过原点，把（0,0）这个点代入得常数项为0，

新解析式就为：

y=-12x2+2x;

②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，

这时根据已经求出的C'（-1，0）,M（5,0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6,

所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6,0）,

代入解出解析式为y=-12x2-3x;

③当它向右移时要移一个单位C'与原点重合，此时另一点过（6,0）,

所以解出解析式为y=-12x2+3x.

5、在平面直角坐标系中点A（0,2）C（4,0）,AB//x轴，△ABC是直角三角形，/ACB=90°.

（1）求出点B的坐标，并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式；

（2）将厶ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2.请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题

（1）所求的抛物线的图象上；

（3）将题

（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物

线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围.

【解析】

（1）过C作CD丄AB于D,根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△

ACB中，CD丄AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；

（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1丄AB1，根据△ACD◎△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；

（3）在

（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出■后的抛物线顶点坐标，

得（m,4m-m22），由于此顶点在厶ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在OWm<5的范

围内，然后分三种情况考虑：

①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标.

2求出直线AC和直线x=m

3求出直线BC和直线x=m结合上面四个不等关系式，即可得到

6、如图抛物线y=ax2+ax+c（0）与x轴的交点为

B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C,若抛物线E（-1,2）.

求抛物线的解析式；

在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?

若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；

（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0,

【解析】

（1）抛物线y=ax2+ax+c（a*0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；

（2）因为SAABC=3,△PBC的面积是3,说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，

且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；

（3）连接DC、BC,证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题.

7、如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0,3）和B（5,

0），连接AB•

（1）现将△AOB绕点0按逆时针方向旋转90。

，得到厶COD,（点A落到点C处），请画出厶COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；

（2）将

（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物

线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF,当|PE-PF取得最大

值时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使厶EPF为直角

三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【解析】

（1）根据旋转的性质知△COD◎△AOB，贝UOC=OA、OD=OB，由此可求出的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）将

（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取

于平■抛物线对称轴的对称点E',那么直线E'F与此对称轴的交点即为所求的

可先求出直线E'F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；

（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角

顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：

①/EPF=90°,②/PEF=90°,③/PFE=90°:

可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，

求出P点的坐标.

8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转a角，得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A（-9，0），C（0，6），如图甲.

（1）当a=60。

时，请猜测厶ABF的形状，并对你的猜测加以证明.

（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式.

（3）

当a=90。

时，如图乙•请探究：

经过点F,且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由.

【解析】

（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据/BAF=60。

可得•••△ABF为等边三角形；

（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，禾U用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；

（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F,且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标,把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可.

9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1,OC=2.将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG（如图1）.

（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式；

（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移］t秒时，所成图形如图2所示.

1图2中，在OvtV1的条件下，连接BF,BF与

（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化？

如果不变，求出其值；

2在Ovtv3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：

是否存在t值，使以PB为斜边的Rt

△PFB与Rt△AOC相似？

若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请

说明理由（利用图3分析探索）.

【解析】

（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；

（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得.

②利用相似三角形的性质即可求得：

过点F作FP丄FB,FP交x同于点P,延长FE交AB

于点M,

要使Rt△PFBsRt△AOC，只要FB:

FP=2:

1即可，而Rt△BMFsRt△PGF,所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标.

第10、11题答案省略