全国各地中考数学真题分类汇编 全等三角形.docx
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全国各地中考数学真题分类汇编全等三角形
2012年全国各地中考数学真题分类汇编
全等三角形
一.选择题
1.(2012•柳州)如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( B )
A.PO B.PQ
C.MO D.MQ
【考点】全等三角形的应用.
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长,只需求得其对应边PQ的长,据此可以得到答案.
【解答】解:
要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长,只需求得线段PQ的长,
故选B.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起.
2.(2012中考)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是()
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EF D.∠A=∠EDF
3.(2012•聊城)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( )
A.DF=BE B.AF=CE C.CF=AE D.CF∥AE
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定。
分析:
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可.
解答:
解:
A、当DF=BE时,有平行四边形的性质可得:
AB=CD,∠B=∠D,利用SAS可判定△CDF≌△ABE;
B、当AF=CE时,有平行四边形的性质可得:
BE=DF,AB=CD,∠B=∠D,利用SAS可判定△CDF≌△ABE;
C、当CF=AE时,有平行四边形的性质可得:
AB=CD,∠B=∠D,利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE;
D、当CF∥AE时,有平行四边形的性质可得:
AB=CD,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,利用AAS可判定△CDF≌△ABE.
故选C.
点评:
本题考查了平行四边形的性质和重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.
4.(2012十堰)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC,若AD=4,AB=6,BC=8,则梯形ABCD的周长为( B )
A.22 B.24 C.26 D.28
【考点】梯形;全等三角形的判定与性质.
【专题】数形结合.
【分析】先判断△AMB≌△DMC,从而得出AB=DC,然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长.
【解答】解:
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB,
又∵MC=MB,
∴∠MBC=∠MCB,
∴∠AMB=∠DMC,
在△AMB和△DMC中,
∵AM=DM,MB=MC,∠AMB=∠DMC
∴△AMB≌△DMC,
∴AB=DC,
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24.
故选B.
【点评】此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质,属于基础题,解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC,得出AB=DC,难度一般.
二.填空题
5.(2012义乌市)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是 DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等) .(不添加辅助线).
考点:
全等三角形的判定。
解答:
解:
(1)添加的条件是:
DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等).
(2)证明:
在△BDF和△CDE中
∵
∴△BDF≌△CDE.
6.(2012临沂)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE=cm.
考点:
全等三角形的判定与性质。
解答:
解:
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF+∠BCD=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠BCD+∠B=90°,
∴∠ECF=∠B,
在△ABC和△FEC中,
,
∴△ABC≌△FEC(ASA),
∴AC=EF,
∵AE=AC﹣CE,BC=2cm,EF=5cm,
∴AE=5﹣2=3cm.
故答案为:
3.
三.解答题
7.(2012十堰)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证:
∠B=∠D.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】先连接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC,于是∠B=∠D.
【解答】证明:
连接AC,
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠B=∠D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是连接AC,构造全等三角形.
8.(2012•广州)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:
BE=CD.
考点:
全等三角形的判定与性质。
专题:
证明题。
分析:
已知图形∠A=∠A,根据ASA证△ABE≌△ACD,根据全等三角形的性质即可求出答案.
解答:
证明:
∵在△ABE和△ACD中
,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,全等三角形的判定方法有:
SAS,ASA,AAS,SSS,用ASA(还有∠A=∠A)即可证出△ABE≌△ACD.
9.(2012·哈尔滨)如图,点B在射线AE上,∠CAE=∠DAE,∠CBE=∠ADBE.
求证:
AC=AD.
【解析】本题考查三角形全等的判定及性质.
【答案】证明:
∵∠CBE=∠DBE,∠CAE=∠DAE,
∴∠C=∠D,
又∵AB=AB,∠CAE=∠DAE,
∴△ACB≌△ADB,
∴AC=AD.
【点评】探索线段关系,如可两线段在两个三角形中,一般考虑它们所在两个三角形是否全等,若在同一个三角形,可考虑所对应的角的关系.
10.(2012宜宾)如图,点A.B.D.E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:
AC=EF.
考点:
全等三角形的判定与性质。
解答:
证明:
∵AD=EB
∴AD﹣BD=EB﹣BD,即AB=ED…(1分)
又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB…(2分)
∴∠ABC=∠EDF…(3分)
又∵∠C=∠F,
∴△ABC≌△EDF…(5分)
∴AC=EF…(6分)
11.(2012北京)已知:
如图,点
在同一条直线上,
,
.
求证:
.
【解析】证ΔABC≌ΔCED(SAS)∴BC=ED
1【点评】本题是一道很简单的全等证明,纵观近几年北京市中考数学试卷,每一年都有一道比较简单的几何证明题:
只需证一次全等,无需添加辅助线,且全等的条件都很明显。
本题是解答题中几何的第1道题,难度较小是为了让所有的考生在进入解答题后都有一个顺利的开端,避免产生畏惧心理,这样考试才有信心做后面较难的题目。
本题考点:
全等三角形的判定(SAS)和性质.
难度系数:
0.9
12.(2012宜宾)如图,点A、B、D、E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F,求证:
AC=EF.
【解析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB,利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF,然后根据AD=EB得到AB=CD,利用AAS证明两三角形全等即可.
【答案】证明:
∵AD=EB
∴AD-BD=EB-BD,即AB=ED
又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB
∴∠ABC=∠EDF
又∵∠C=∠F,
∴△ABC≌△EDF
∴AF=EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是选择最合适的方法证明两三角形全等
13.(2012宜昌)如图,已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点,连接DE.
(1)在∠ABC的内部,作射线BM交线段CD于点F,使∠CBF=∠ADE;
(要求:
用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)在
(1)的条件下,求证:
△ADE≌△CBF.
考点:
作图—复杂作图;全等三角形的判定;平行四边形的性质。
分析:
(1)作∠CBM=∠ADE,其中BM交CD于F;
(2)根据平行四边形的性质可得∠A=∠C,AD=BC,由ASA可证△ADE≌△CBF.
解答:
(1)解:
作图基本正确即可评3分.
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C,AD=BC…5分
∵∠ADE=∠CBF…6分
∴△ADE≌△CBF(ASA).
点评:
综合考查了角的作图,平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识,三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
14.(2012武汉)如图CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB,求证:
DE=AB.
考点:
全等三角形的判定与性质。
解答:
证明:
∵∠DCA=∠ECB,
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB,
∵在△DCE和△ACB中
,
∴△DCE≌△ACB,
∴DE=AB.
15.(2012随州)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上。
求证:
(1)△ABD≌△ACD;
(2)BE=CE
解析:
(1)由点D是BC的中点,得BD=CD。
则△ABD和△ACD中三条对应边分别相等,利用SSS即可判定两三角形全等。
(2)利用等腰三角形“三线合一”或全等可得∠BAD=∠CAD,从而易证⊿ABE≌⊿ACE,得到BE=CE。
答案:
证明:
(1)在⊿ABD和⊿ACD中
∵D是BC的中点,
∵
⊿ABC≌⊿ACD.(SSS)
(2)由
(1)知⊿ABD≌⊿ACD
∠BAD=∠CAD
即:
∠BAE=∠CAE
在⊿ABE和⊿ACE中,
⊿ABE≌⊿ACE(SAS)
BE=CE
(其他正确证法同样给分)
点评:
本题考查了三角形全等的性质及判定及等腰三角形的性质。
等腰三角形的“三线合一”性质的灵活应用,可以为全等三角形判定中条件的确定提供便利。
而要证明两三角形中线段的相等关系,一般可以通过证明两三角形全等,从而利用对应边相等得证。
16.(2012•广安)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:
△AEF≌△DFC.
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定。
专题:
证明题。
分析:
由四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质,即可得AB=CD,AB∥CD,又由平行线的性质,即可得∠D=∠EAF,然后由BE=AD,AF=AB,求得AF=CD,DF=AE,继而利用SAS证得:
△AEF≌△DFC.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠D=∠EAF,
∵AF=AB,BE=AD,
∴AF=CD,AD﹣AF=BE﹣AB,
即DF=AE,
在△AEF和△DFC中,
,
∴△AEF≌△DFC(SAS).
点评:
此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.
17.(2012广元)如图,在△AEC和△DFB中,∠E=∠F,点A,B,C,D在同一直线上,有如下三个关系式:
①AE∥DF,②AB=CD,③CE=BF。
(1)请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式:
“如果
,
,那么
”);
(2)选择
(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由。
【答案】解:
(1)命题1:
如果①,②,那么③;命题2:
如果①,③,那么②。
(2)命题1的证明:
∵①AE∥DF,∴∠A=∠D。
∵②AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=DB。
在△AEC和△DFB中,
∵∠E=∠F,∠A=∠D,AC=DB,∴△AEC≌△DFB(AAS)。
∴CE=BF③(全等三角形对应边相等)。
【考点】全等三角形的判定和性质,平行的性质,真假命题。
【分析】
(1)如果①②作为条件,③作为结论,得到的命题为真命题;如果①③作为条件,②作为结论,得到的命题为真命题,写成题中要求的形式即可。
(2)若选择
(1)中的如果①②,那么③,由AE与DF平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由AB=DC,等式左右两边都加上BC,得到AC=DB,又∠E=∠F,利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等,根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF,得证。
若选择如果①③,那么②,证明如下:
∵①AE∥DF,∴∠A=∠D。
∵②AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=DB,
在△AEC和△DFB中,∵∠E=∠F,∠A=∠D,③CE=BF,∴△AEC≌△DFB(AAS)。
∴AC=DB(全等三角形对应边相等),则AC-BC=DB-BC,即AB=CD②。
注:
命题“如果②,③,那么①”是假命题。
18.(2012•衢州)如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF.请你猜想:
AE与CF有怎样的数量关系?
并对你的猜想加以证明.
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质。
专题:
探究型。
分析:
由四边形ABCD是平行四边形,即可得AB∥CD,AB=CD,然后利用平行线的性质,求得∠ABE=∠CDF,又由BE=DF,即可证得△ABE≌△CDF,继而可得AE=CF.
解答:
解:
猜想:
AE=CF.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF.
点评:
此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质.此题比较简单,注意掌握平行四边形的对边平行且相等,注意数形结合思想的应用.
19.(2012•济南)
(1)如图1,在▱ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF.求证:
DE=BF.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度数.
【考点】平行四边形的性质;全等三 角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
【专题】证明题.
【分析】
(1)根据四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等,在加上已知的一对边的相等,利用“SAS”,证得△ADE≌△CBF,最后根据全等三角形的对应边相等即可得证;
(2)首先根据AB=AC,利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数,再根据已知的BD是∠ABC的平分线,利用角平分线的定义求出∠DBC的度数,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,
AD=CB,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴DE=BF;
(2)解:
∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=
(180°-40°)=70°,
又BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=
∠ABC=35°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°.
【点评】此题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定,熟练掌握定理与性质是解本题的关键.
20.(2012武汉)如图,CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB.求证:
DE=AB
解析:
欲证DE=AB,可考虑证明它们所在的三角形全等,已有CE=CB,CD=CA两个条件,可考虑找夹角相等,而∠DCA=∠ECB,刚好有∠DCE=∠ACB.得证
解:
证明:
∵∠DCA=∠ECB∴∠DCE=∠ACB
又∵CE=CB,CD=CA∴△DEC≌△ABC(SAS)
∴DE=AB
点评:
本题在于考察全等三角形的判定与性质,判定三角形全等,关键在于找到三组对应相等条件。
题目难度低
21.(2012淮安)已知:
如图,在□ABCD中,延长AB到点E.使BE=AB,连接DE交BC于点F.求证:
△BEF≌△CDF.
【解析】根据平行四边形的对边平行且相等,结合已知条件可推出所证三角形全等的条件.
【答案】解:
证明:
因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB,AB∥CD.
因为BE=AB,所以CD=BE.
因为AB∥CD,所以∠EBF=∠DCB.
在△BEF和△CDF中,
,所以△BEF≌△CDF(AAS).
【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定,全等三角形的判定常见的判断方法有5中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.。
22.(2012云南省)(本小题5分)如用.在
中,
,点D是AB边上一点,
且
过点
作
交AB于点E.求证:
.
【解析】此题主要是要找到三角形全等的三个条件,角角边来证明,即找到
,
就可以证明了。
【答案】
解:
在
和
中
【点评】此题考查考生会不会证明三角形全等,能否找到证明全等的条件是关键。
即对角角边定理的理解运用。
23.(2012南京)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=900,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:
△ABC≌△BDE;
(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法)
解析:
由两线垂直,利用余角的性质,推出∠DBE=∠A,证出△ABC≌△BDE;利用旋转的性质,旋转中心是对应点中垂线的交点做出旋转中心O.
证明:
(1)∵BE⊥AC,
∴∠A+∠ABE=900,
∵∠ABC=900,
∴∠DBE+∠ABE=900,
∴∠A=∠DBE
∵∠ABC=∠BDE=900,BD=AB
∴△AOF≌△DOC
(2)分别作对应点B、D连线的中垂线、A、B连线的垂直平分线,两线的交点即为旋转中心O.
点评:
本题考查余角的性质、三角形全等的判定及旋转的性质与作图,考察了学生简单的推理能力.
24.(2012泰安)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?
若相等给予证明,若不相等请说明理由;
(2)求证:
BG2﹣GE2=EA2.
考点:
全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理。
解答:
证明:
(1)∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,
∵在△DBH和△DCA中
∵∠DBH=∠DCA,∠BDH=∠CDA,BD=CD,
∴△DBH≌△DCA,
∴BH=AC.
(2)连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠CEB,
在△ABE和△CBE中
∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,
∴△ABE≌△CBE,
∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得:
BG2﹣GE2=EA2.
25.(2012铜仁)如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.求证:
△ADE≌△CBF.
考点:
全等三角形的判定。
解答:
证明:
∵AE∥CF
∴∠AED=∠CFB,…(3分)
∵DF=BE,
∴DF+EF=BE+EF,
即DE=BF,…(6分)
在△ADE和△CBF中,
,…(9分)
∴△ADE≌△CBF(SAS)…(10分).
26.(2012广东)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于点O,BO=DO.
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
考点:
平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质。
解答:
证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,
在△ABO与△CDO中,
∵
,
∴△ABO≌△CDO,
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
27.(2012湛江)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
解:
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB=CD,
在△ABE和△CDF中,
∵
,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=CF,
∴AD﹣AE=BC﹣CF,
即DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
28.(2012•杭州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分别以AB,CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF,连接AF,DE.
(1)求证:
AF=DE;
(2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积,求BC的长.
考点:
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。
专题:
探究型。
分析:
(1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可;
(2)如图作BH⊥AD,CK⊥AD,利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长.
解答:
(1)证明:
在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,
∴∠BAD=∠CDA,
而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中,
AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60°,
∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA,
∴△AED≌△DFA(SAS),
∴AF=DE;
(2)解:
如图作BH⊥AD,CK⊥AD,则有BC=HK,
∵∠BAD=45°,
∴∠HAB=∠KDC=45°,
∴AB=
BH=
AH,
同理:
CD=
CK=
KD,
∵S梯形ABCD=
,AB=a,
∴S梯形ABCD=
=
,
而S△ABE=S△DCF=
a2,
∴
=2×
a2,
∴BC=
a.
点评:
本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式,属于中档题目.
29.(2012•黄石)(本小题满分7分)如图(8),已知在平行四边形
中,
.
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