全国通用版高中数学第一章三角函数学业质量标准检测新人教A版必修4.docx
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全国通用版高中数学第一章三角函数学业质量标准检测新人教A版必修4
第一章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.给出下列四种说法,其中正确的有( D )
①-75°是第四象限角 ②225°是第三角限角 ③475°是第二象限角 ④-315°是第一象限角
A.1个B.2个
C.3个D.4个
2.设α是第三象限角,且|cos|=-cos,则的终边所在的象限是( B )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
[解析] 因为α是第三象限角,所以π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,
所以+kπ<<+kπ,k∈Z,
所以的终边在第二象限或第四象限.
又|cos|=-cos,所以cos<0,
所以的终边所在的象限是第二象限.
3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( C )
A.2B.sin2
C.D.2sin1
[解析] 由题设,圆弧的半径r=,∴圆心角所对的弧长l=2r=.
4.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=x,则tanα=( D )
A.B.
C.-D.-
[解析] x<0,r=,∴cosα==x,∴x2=9,∴x=-3,∴tanα=-.
5.如果=-5,那么tanα的值为( D )
A.-2B.2
C.D.-
[解析] ∵sinα-2cosα=-5(3sinα+5cosα),
∴16sinα=-23cosα,∴tanα=-.
6.设α为第二象限角,则·=( D )
A.1B.tan2α
C.-tan2αD.-1
[解析] ·=·=·||,
又∵α为第二象限角,∴cosα<0,sinα>0.
∴原式=·||=·=-1.
7.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( D )
[解析] 本题用排除法,对于D选项,由振幅|a|>1,而周期T=应小于2π,与图中T>2π矛盾.
8.若sinα是5x2-7x-6=0的根,
则=( B )
A.B.
C.D.
[解析] 方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,
x2=2.则sinα=-
原式==-=.
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( A )
A.f
(2) (2) C.f(-2) (2)D.f (2) [解析] ∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为π,且x=是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴,∴x=-=是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴. ∵|2-|=,|(π-2)-|=,|0-|=,∴|2-|>|(π-2)-|>|0-|,且-<2<,-<π-2<,-<0<,∴f (2) (2) 10.(2017全国卷Ⅰ)已知曲线C1: y=cosx,C2: y=sin(2x+),则下面结论正确的是( D ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 [解析] 因为y=sin(2x+)=cos(2x+-)=cos(2x+),所以曲线C1: y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线y=cos2x,再把得到的曲线y=cos2x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos2(x+)=cos(2x+). 11.(2018·天津理,6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( A ) A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减 C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减 [解析] 函数y=sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y=sin=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调增区间为,一个单调减区间为.由此可判断选项A正确. 故选A. 12.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24,单位: 小时)的函数,记作y=f(t),经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b,下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 2 1 2 0.99 2 则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( B ) A.y=cost+1B.y=cost+ C.y=2cost+D.y=cos6πt+ [解析] ∵T=12-0=12,∴ω===. 又最大值为2,最小值为1, 则解得A=,b=, ∴y=cost+. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2018·北京理,11)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 . [解析] ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,∴当x=时,f(x)取得最大值,即f=cos=1,∴ω-=2kπ,k∈Z, ∴ω=8k+,k∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 14.已知sinθcosθ=,且<θ<,则cosθ-sinθ的值为 - . [解析] 因为<θ<,所以cosθ-sinθ<0,所以cosθ-sinθ=-=-=-=-. 15.设a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数f(x)=cos2x+2asinx-1的最大值为__2a-1__. [解析] f(x)=cos2x+2asinx-1=1-sin2x+2asinx-1=-(sinx-a)2+a2, ∵0≤x≤2π,∴-1≤sinx≤1, 又a>1,∴当ainx=1时,f(x)max=-1(1-a)2+a2=2a-1. 16.函数f(x)=sin(ωx+φ)(w>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则f(2018)= . [解析] 由题图可知,=2,所以T=8,所以ω=. 由点(1,1)在函数图象上,可得f (1)=sin(+φ)=1,故+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π),所以φ=.故f(x)=sin(x+),所以f(2018)=sin(+)=sin(504π+π)=sinπ=. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分) (1)已知角α的终边经过点P(4,-3),求2sinα+cosα的值; (2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值; (3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为34,求2sinα+cosα的值. [解析] (1)∵r==5,∴sinα==-,cosα==,∴2sinα+cosα=-+=-. (2)∵r==5|a|,∴当a>0时,r=5a,∴sinα==-,cosα=,∴2sinα+cosα=-; 当a<0时,r=-5a,∴sinα==,cosα=-, ∴2sinα+cosα=. (3)当点P在第一象限时,sinα=,cosα=, 2sinα+cosα=2;当点P在第二象限时,sinα=, cosα=-,2sinα+cosα=;当点P在第三象限时,sinα=-,cosα=-,2sinα+cosα=-2; 当点P在第四象限时,sinα=-,cosα=,2sinα+cosα=-. 18.(本题满分12分)已知f(x)=2sin(2x+)+a+1(a为常数). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值; (3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合. [解析] (1)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)当x∈[0,]时,2x+∈[,π],故当2x+=,即x=时,f(x)有最大值a+3=4,所以a=1. (3)当sin(2x+)=1时f(x)取得最大值,此时2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}. 19.(本题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)若f()=(<α<),求cos(α-)的值. [解析] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2. 又f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.由-≤φ<得φ=-. (2)由 (1)得f()=sin(2·-)=, 所以sin(α-)=.由<α<得0<α-<, 所以cos(α-)===. 20.(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心. [解析] (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-,数据补全如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin(2x-). (2)由 (1)知f(x)=5sin(2x-),因此g(x)=5sin[2(x+)-]=5sin(2x+) 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z. 即y=g(x)图象的对称中心为(-,0),k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为(-,0). 21.(本题满分12分)如图为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式; (2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t间关系的函数解析式. [解析] (1)由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于M点. 当θ>时,∠BOM=θ-. h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(θ-); 当0≤θ≤时,上述解析式也适合. (2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是, ∴t秒转过的弧度数为t, ∴h=4.8sin(t-)+5.6,t∈[0,+∞). 22.(本题满分12分)已知函数f(x)=Asin
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