概念引入.docx

概念引入.docx

《概念引入.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概念引入.docx（37页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

概念引入

概念的教学一般要经历几个环节：

概念的引入、概念的形成、概念的明确、概念的表示、概念的巩固和应用．概念的引入与概念的形成实际上是需要给学生各种刺激，是需要学生辨别各种刺激的模式．这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的典型事例．但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括．但在学生对概念认识的初级阶段或起始阶段，给学生提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当．不然就会影响概念的形成．但在概念的巩固和应用中，可以通过适当的反例让学生辨析概念，达到对概念内涵和外延的掌握．本节课引入中的例子，似乎与函数的概念的内涵有些偏离，可能会对函数概念的形成产生不利的影响．

四、借鉴概念的发展历史引入概念

概念的引入在遵循结构性原则，参与性原则，激发性原则等的前提下，可以从数学知识发展的需要引入，也可以从实际应用的需要引入，还可以通过类比引入以及复习旧课引入等．众所周知，人的发展是在无数代前辈人的全部经验总和的基础上进行的．人在掌握前人的经验时要简略地重演前人获得相应经验的过程，“我们所赖以生活的一切和我们所占有的一切，本身都带有社会起源的痕迹”（巴索夫，1926）．因此当我们考察和研究学生的数学学习过程时，必须注意研究作为人类社会生活经验结晶之一的数学概念的发展过程．

函数的概念一次又一次的扩张，就是前人思维困难的一次又一次的突破，从中我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画．华东师大汪晓勤老师曾经做过对函数概念的调查，让学生根据自己的理解写出函数的定义，从调查中可以看出，即使在教材和教学的影响之下，也仍然有很多的被试给出不同于教材、却类似于历史上数学家的回答．这种函数概念理解中的历史相似性表明，函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍．因此，在函数概念教学中，如果能恰当地借鉴历史，根据函数历史途径，选择学生容易接受的典型情景，探究函数概念，使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法，这样有助于学生打破原有的思维定势，形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解．这种历史的方法是一个多层次逼近，反映了认识由远及近，由模糊至清晰，由粗略到精确的过程，是我们在教学中值得借鉴的．

通过以上的分析，我们根据学生的情况，借鉴函数的历史的发展，对函数概念围绕着一条明线和一条暗线展开探究．明线为两个变量，暗线为函数概念在历史上的几次演变过程．学生在探究函数概念的过程中，经历了三次函数概念的扩张，并最终归纳、总结、抽象、概括出现行初中课本中的函数概念．下面是这节课的教学设计：

高中数学不同版本新教材习题的比较研究

----以人教A版、北师大版、苏教版高中新教材“数学1”为例

习题是数学教材的重要组成部分：

一方面，习题可以起到复习、巩固知识，加深学生对知识理解和记忆的作用；另一方面，习题是培养学生能力的重要载体．高中数学新教材无一例外地配备了大量的例题和习题．蔡上鹤先生认为“教科书由正文、例题和习题三部分有机组成的”．余元庆先生认为“习题是中学数学课本的重要组成部分，习题配备得好不好，直接影响到学生学习质量的高低．”波利亚（G·Polya）先生也曾指出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”．可见，习题在数学学习中具有非常重要的作用．

当前，多种版本的高中数学新教材正在实验中．为了探悉高中数学新教材习题设置的一些特点，本文以人民教育出版社（A版）、北京师范大学出版社、江苏教育出版社等三个版本（以下简称人教A版、北师大版、苏教版）的高中数学课程标准实验教科书“数学1”中的练习题、习题、复习题为对象，从文本的角度对以上三个版本新教材的习题数量、习题类型、习题素材等方面进行比较，为更好地理解新教材提供一些参考．

1．习题数量的比较

图1：

三种版本教材习题数量比较

【统计方法说明】以教材中有题号的题目为准，明确指出小题号的以一题算．

现代认知心理学研究表明，要真正掌握、牢固记住4至20个组块（一个产生式）需要反复20次，才能贮存运用．前苏联玛什比茨的研究表明：

“在对一个典型问题的运算形成解法之前，无论在什么学科中，不同的学生需要1～22次练习不等．”可见，要掌握某个知识点离不开一定量的练习，而过量的练习，又有可能会加重学生的负担．所以，要让习题能起到巩固知识、技能，培养学生的能力方面发挥应有的作用，在习题的数量上应该给予保证，而且数量要恰当．

高中新课标对“数学1”规定的课时数约为36课时（集合约4课时，函数概念与基本初等函数I约32课时），从图1可以算得，平均每课时习题量分别为：

人教A版12.5题，北师大版17.2题，苏教版14.8题．比较而言，北师大版的习题最多，人教A版的习题最少，最多与最少的相差4.7题/课时．

当然，在数学课中，究竟一个课时的练习量多少才是恰当的，这有待我们在实践中进一步摸索。

2．习题类型的比较

从表1中可以看出，三版教材的题型比传统教材更丰富，而在培养学生的能力方面各有千秋．以下通过统计数据、具体例子说明习题类型的特点：

表1：

三种版本教材习题类型统计

类型

版本 

选择

填空

计算

证明

简答

阅读

写作

作图

探究

举例

其他

小计

人教A版

12

26

159

15

185

－

－

42

7

4

－

450

百分比/％

2.6

5.8

35.3

3.3

41.1

－

－

9.3

1.6

0.9

－

100

北师大版

21

31

203

21

276

－

－

47

1

10

10

620

百分比/％

3.4

5.0

32.7

3.4

44.5

－

－

7.6

0.2

1.6

1.6

100

苏教版

5

22

247

12

185

5

4

44

5

1

4

534

百分比/％

0.9

4.1

46.3

2.2

34.6

0.9

0.7

8.2

0.9

0.2

0.7

100

【统计方法说明】按题号统计，其中明确指出小题号的按一题算，简答题包含的范围比较广：

判断，叙述，写函表达式等都归入这一类．

2.1传统题型（这里指的是计算、证明、简答题）在新教材中占主导地位．由表1可见，传统题型在三版教材中所占比例分别为：

79.7％（人教A版），80.6％（北师大版），83.1％（苏教版），都占了80％左右．但传统题型中的证明题所占的比例相对小一些，人教A版占3.3％，北师大版占3.4％，苏教版占2.2％，都不足4.0％，可见，新教材对学生证明能力的要求相对低一些．

2.2新教材增加了客观性题型．如选择题、填空题是各类考试常见的题型，而以往教材中这些题型比较少见，导致了学与考的不一致．新教材在一定程度上加大了选择、填空题的比例．在三版教材中，选择、填空题占总习题的比例分别为8.4％（人教A版）、8.4％（北师大版）、5.0％（苏教版）．事实上，选择、填空题在培养学生的思维敏锐性、严密性有其独特的作用，新教材中设置一定量的选择、填空题是必需的．

2.3三版教材均较重视作图题．作图题所占比例分别为：

人教A版9.3％，北师大版7.6％，苏教版8.2％．特别是在函数部分内容中，更是常常要求学生结合图像来说明问题．这有效地促进学生对数学中两大研究对象“数”和“形”的理解，沟通数“数”与“形”的联系．

2.4部分题目具有探究性．通过对问题的探究，让学生自己发现、总结有关规律．以探究性题目为例，人教A版占了1.6％，北师大版0.9％，苏教版0.2％．总的来说探究性问题占的比例较小．相比而言，人教A版对探究性题目更重视一些．例如，人教A版有如下的一些题目：

（I）已知函数f（x）=3x2+2x，

（1）求f

（2），f（－2），f

（2）+f（－2）的值；

（2）求f（a），f（－a），f（a）+f（－a）的值；（3）你从

（2）中发现了什么结论？

（◆第22页练习题3）

（II）

（1）判断函数f（x）=x（x>0）和g（x）=x2+2x是否具有奇偶性；

（2）从中你发现了什么？

（◆第46页习题1.3B组第1题）

（III）对于函数f（x）=a－（aÎR）,

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

（◆第97页复习参考题B组第3题）

2.5发挥学生的主动参与性，某些题目让学生自己举例．在举例说明问题的题目中，三个版本所占的比重分别为：

人教A版占了0.9％，北师大版1.6％，苏教版0.2％．通过让学生自己举例，学生对相关的问题有更深的体会．这种题型的设置反映了数学教育一个重要的观点：

学生“再创造”学习数学的过程实际上是一个“做数学”（doingmathematics）的过程．它强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性．

图2

以北师大版为例，该版教材分别在以下方面引导学生举例说明问题：

集合的分类（有限集、无限集、空集）（第45页第4题）、集合的包含、相等关系（第10页第1题）、函数关系（第28页第1题）、变量的依赖关系（第28页第2题）、函数的单调性（第42页第1题）、分段函数（第63页第6题）、指数爆炸（第120页第1题）、直线上升、指数爆炸、对数增长三种函数增长的差别（第120页第2题）等等，要求学生举生活中的例子，谈体会，谈认识，并提倡同学之间的相互交流．

2.6部分题目答案不唯一（如可能、估计、预测等），有助于学生自己发挥．

例如人教A版有如下题目：

（I）函数r=f（x）的图像如右图所示（图2）．

（1）函数r=f（x）的定义域可能是什么？

（2）函数r=f（x）的值域可能是什么？

（3）…（◆第30页习题1.2B组第2题）

图3明确需用计算机（器）完成的题目数

（II）整个上午（8：

00～12：

00）天气越来越暖，中午时分（12：

00～13：

00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：

00）才又开始转凉．画出这一天8：

00～20：

00期间气温作为时间函数的一个可能图像，并说出所画函数的单调区间．（◆第38页练习题2）．

（III）画出定义域为｛x|-3≤x≤8,x≠5｝，值域为｛y|-1≤y≤2,y≠0｝的一个函数的图像．

（1）如果平面直角坐标系中的点P（x,y）的坐标满足-3≤x≤8，-1≤y≤2,那么其中哪些点不能在图像上？

（2）将你的图像和其他同学的相比较，有什么差别吗？

（◆第30页习题1.2B组第3题）

象（I）、（II）这类型题目，要求学生写出一个可能的答案，有利于发挥学生自己的主观能动性．类似的题目还有第45页第5题、第127页第5题等．象（III）这类题目，具有更大的开放性，不同的学生可以写出不同的答案，并与其他同学的交流，体现了新的学习方式．

又如，北师大版第120页习题3－6第1题：

“估计一粒米的质量，再通过科学计算器计算264粒米的质量，比较其与地球质量的大小．”苏教版第88页习题2.6第5题：

“估计施肥量为40kg时水稻的产量”，第6题“请你预测今年7，8两个月的月利润”等．要求学生自己“估计”、“预测”来解决问题，也是新教材的一大亮点．

2.7部分题目明确要求借助计算机（计算器）来完成，体现信息技术与数学课程内容整合的思想．据统计，“数学1”中明确要求用计算机（器）完成的题目数量如图3所示．从此类题目占总题量的百分比来看：

人教A版占4.0％，北师大版3.2％，苏教版4.5％．无论是从绝对数量，还是所占题目总题量的百分比来看，都是苏教版的多一些．而借助计算机（器），更有利于学生探索问题，减少繁琐计算，特别是一些实际问题，为方便笔算，以往都是经过人为的简化，现在借助信息技术可以较容易解决．

2.8苏教版增加了阅读题、写作题、操作题，颇有新意．

阅读题如第14页第11题：

“我们知道，如果集合AÍS，那么S的子集A的补集CSA＝｛x|xÎS，且xÏA｝．类似地，对于集合A，B，我们把集合x|xÎA，且xÏB｝叫做集合A与B的差集，记作A－B．例如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛4．5，6，7，8｝，则有A－B＝｛1，2，3｝，B－A＝｛6，7，8｝，据此，试回答下列问题：

（1）……”．此类题目主要培养学生的阅读理解能力和知识的迁移能力，为培养学生的创新意识打好基础．

写作题如第17页第10题：

“用集合的语言介绍你自己”；第89页第8题：

“到学校附近的农村、工厂、商店、机关作调查，了解函数模型在生产、生活中的应用，收集一些生活中的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）实例，并作出分析，写成调查报告．”写作题有效地培养学生运用所学的知识解决实际生活、生产中的问题，让学生感到所学的知识并非莫不可测，在现实生活中处处有它的身影．

操作题如第29页第10题：

“将一枚骰子投掷10次，并将每次骰子向上的点数记录在下表中．规定对应法则f：

对每一投掷序号n（n＝1，2，…，10）对应到该骰子的向上的点数．试判断对应f是否为函数．若是，该函数值域一定是集合｛1，2，3，4，5，6｝吗？

”通过学生自己动手操作，探究数学对象的性质．

投掷序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

向上点数

可见，苏教版教材中，将做习题的过程融入在阅读、写作、动手操作等过程中，为学生实现新的学习方式提供了可能的平台．

3．习题素材的比较

高中数学新课标明确要求学生能“初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题”（新课标，第13页），而且将“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断（新课标，第11页）”作为数学课程的一个重要目标．以下主要考察习题中的应用问题，大体上可将其分为两大类：

以学生生活为背景的和以社会生活为背景的，具体情况如表2所示：

表2 应用题的背景素材比较

项目

版本

学生生活

占应用问题

社会问题

占应用问题

应用问

题小计

习题

总数

应用题所占百分比

人教A版

20

20.6％

77

79.4％

97

450

21.6％

北师大版

19

28.8％

47

71.2％

66

620

10.6％

苏教版

9

21.4％

33

78.6％

42

534

7.9％

从表2可以看出，北师大版中“学生生活类”与“社会问题类”题材所占的比例分别约占30％和70％；而人教A版和苏教版这两类所占的比例相当，约占20％和80％．从应用题在习题总数中所占的比重看，三版教材有较大的差别，比例最大的人教A版（21.6％）与比例最少的苏教版（7.9％）相差13.7个百分点．相比而言，人教A版应用题的背景素材选取更注重与学生实际、社会生活等联系．

通过以上比较，本人认为我校采用人教版较合适，理由如下：

新教材重视学生的认知规律， 新课标的理念特别强调知识的现实背景，重视理论发展的背景，重视知识的发生过程，从而有利于培养学生的学习方法、学习能力以及数学意识；有利于改变学生的数学观，让他们认识到学数学是有用的，数学是有趣的，数学在实际生活中无处不在。

1、新教材重视内容的编排，体现了让学生学习“有用的数学”的教学思想

新教材的编排体系较老教材发生了一些变化，在内容的安排和处理方面更加合乎逻辑，更加科学，更加符合学生的认知规律。

在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，对传统的高中数学删减了一些次要的、用处不大的而且学生接受起来有一定困难的内容，如指数方程、对数方程、反函数等。

从这一变化可以看出，新教材考虑到了知识的主次和轻重，在不影响学生认知发展的基础上，尽量减轻学生的学习负担。

新教材设有引言、正文、思考与探究、练习、习题、实习作业、本章小结、阅读与思考等内容，而且新教材的每一章的引言都从大家熟悉，感兴趣的实际问题或典故入手，引出本章所要解决的问题，而要解决这些问题就得学习本章的知识。

这样的设计具有很大的亲和力，容易激发学生的学习兴趣，使学生很容易进入状态，积极主动的投入到新一章的学习中去。

 比如必修1第三章引言中给出的澳大利亚兔子问题，通过这个故事，激发学生的学习兴趣，加深学生对指数函数知识的认识。

同时，我们可以看到，新教材加大了应用数学的力度，在教给学生“有用的数学”上迈出了坚实的一步。

新教材中很多问题来源于生活，所学知识更贴近生活，体现了“数学中的生活”和“生活中的数学”。

例如必修5第63页，《购房中的数学》，就是有趣且实用的素材，可以采取分组形式，组长负责，发动学生到售楼中心，银行调查、搜集购房的相关信息，分别就商业贷款、公积金贷款、一次性购房等不同支付方式，写出报告，并以小论文形式论述购房的最佳方案，并进行论文评奖，组织答辩，充分调动学生参与的积极性，让学生充分感受数学的实用性，品尝成功的喜悦。

2、新教材充分注意到了学生的参与性

学生是学习的主体，教材设计了“观察”、“探究”、“思考”等栏目，给出问题，展开讨论，旨在培养学生的参与意识，鼓励和引导学生发现问题、提出问题，并分析问题、解决问题。

教材通过设置“探究与发现”、“实习作业”等栏目，补充探究相关问题，适当拓展教学内容，为学有余力的学生提供延伸学习的机会，从而使学生在学习知识技能的同时，经历知识形成的过程，掌握学习方法，领悟数学思想，提高数学能力，促进学生创造性思维的发展，培养学生自主探究性学习的能力。

3、新教材注重信息技术与数学课程的整合

教材注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术来呈现课程内容，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。

教材不仅在新课传授中提倡运用计算机、计算器，如函数的图象变化规律、函数应用及计算等，专门设置了“用二分法求方程的近似解”一节等，而且每章都有“信息技术应用”内容，供学有余力及有条件的学生进一步学习，并且渗透了算法思想，为后继学习打下基础。

4、新教材渗透了数学文化，体现了人文精神

《新课标》中明确提出，学生要具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯。

新教材更加重视数学文化价值观的渗透，在许多地方安排了“阅读与思考”、“探究与发现”等辅助材料，如果我们在进行教学的同时采取多种形式利用好这些辅助材料，就能极大地开阔学生视野、训练数学技能，更深刻地挖掘数学的文化内涵，从而有效培养学生的个性品质。

如“探究与发现”：

《互为反函数的两个函数图象之间的关系》、《解三角形进一步讨论》等内容可结合课堂教学内容，采取穿插渗透式，作为课堂的拓展与引申，进一步促进学生对所学知识的理解，完善认知结构；而“阅读与思考材料”《函数概念的发展历程》、《三角与天文学》、《对数的发明》等则可以在课外活动中，以讲座形式，由教师或学生讲述，让学生了解数学史中的重大发现，培养学生不懈追求真理的志向。

5、例习题的选择上更趋科学化和合理化

新教材在例习题的选择上与老教材相比有很大的不同，既考虑到了与当今的高考相衔接，又突出了一些研究性、开放性的问题，这些变化，不仅给我们的数学教学带来了丰富的内涵，更重要的是可以改变学生的学习观念，把“要我学数学”转变为“我要学数学”，把学生的被动学习转化为主动学习，从而更好地发挥学生的主观能动性，有利于我们教学任务的顺利完成和教学目标的充分实现。

例如：

必修4第108页习题2.4 B组第5题等。

6、教材以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习热情。

在“主编寄语”中，编者以与朋友聊天的形式谈“为什么要学数学”——数学是有用的，学数学能提高能力，数学是自然的，数学是清楚的，学数学要摸索自己的学习方法，学数学趋年轻。

在章头导言中，分别以“神舟”五号载人航天飞机、生物体内碳14的衰减、种群数量的增长等生动活泼的现实事例引入，以期激发学生的学习兴趣和求知欲望。

在旁白中，除了用不少篇幅介绍相关知识外，还以“请你…”、“你能…吗？

”的语气呈现知识的拓展问题，亲切自然。

教材还编排了相当数量的“阅读与思考”，展示相关内容的发展历程，有利于提高学生学习兴趣。

当然，人教版的若干内容也有较多质疑，如：

1、“思考”与“探究”的区别在哪里？

翻开课本，发现里面有很多“思考”与“探究”，这样有助于学生带着问题去学习，也达到了一个“我要学数学”的目的。

但是我在这里有个疑问：

“思考”与“探究”的区别在哪里？

为什么这个问题需要“思考”，那个问题需要“探究”？

我翻遍必修1，发现第一章有18个“思考”，只有1个“探究”，后面两章总共才6个“思考”，11个“探究”，比例严重失调。

而且我发现“思考”的问题和“探究”的问题从难度上讲，也没太大的区别，甚至存在着交叉的感觉。

所以我想，新教材中的“思考”与“探究”是否有“滥用”的嫌疑，想到什么就用什么？

如果是有用意的，那么用意在哪里？

2、一切知识需要探究吗？

新课改的思想，是要以学生为主体，主动地去获取知识，所以教材中增添了很多探究性的问题，用意是好的，但是在实际教学过程中，发现了两个问题：

一是与教学进程的矛盾。

一节课才四十分钟，每一分钟对我们老师和学生来说，都是极其宝贵的。

让学生去探究这么多的问题，必然花去不少时间，这样必定放慢了教学进程，耽误了学生学习其他的知识要点。

二是“探究”的问题在难度上参差不齐。

有的“探究”很简单，或者“探究”的下面马上给出答案的，例如：

必修1第100页的“探究”：

借助图象（上面已给出）比较两个函数的增长情况。

图象都有了，而且如此明显，马上就可以看出来了，还“探究”什么？

相比这个，必修4第124页的探究：

如何用角的正弦、余弦值来表示呢？

这就难多了。

有的探究我还认为是没有必要的，比如必修1第58页的“探究”：

（1）如果人口年平均增长率提高1个百分点，利用计算器分别计算20年、33年后我国的人口数。

（2）如果年均增长率保持在2%，利用计算器计算2020～2100年，每隔5年相应的人口数。

（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？

（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？

这四个问题是对上面一个例题的进一步提问，虽然贴近生活，具有教育意义，但是用得着“探究”吗？

我认为“探究”应该是探索数学中的一些具有普遍性意义的结论，这里只是一个具体的例子，而且都用计算器了，还探究什么呢？

3、“二分法”中的取值问题

必修1有一节新增内容：

“用二分法求方程的近似解”，它是采用“取中点”的方法，把零点逼进一个满足一定精确度的区间里，然后，“将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值。

”（必修1第89页）然后教材给出了两个例子，用二分法“选”出了两个答案。

那么在这里，我有这样一个疑问：

为什么教材“例”中将左端点作为函数零点的近似值，而不取右端点呢？

而“例”中将右端点作为方程的近似解，而不取左端点呢？

这就给教师和学生在最终选择其近似解（近似值）以随意的感觉，但事实上，这两个题目的结果的选择是有科学依据的。

因为我觉得数学是要讲究严谨性的，既然有两个答案可供选择，那应该要找个更佳的答案。

下面我就以“例”的解答给出两种解释，而“例”的解答也可以此类推。

解释1：

事实上，我们只要再进一步计算：

，，有，则，所以比更接近零点。

所以取作为函数的零点更合理。

解释：

我们也可以计算：

，，得，所以比更接近零。

所以取作为函数的零点更合理。

鉴于以上的分析，我认为，在新教材给出的“利