专题二次函数应用docx.docx
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专题二次函数应用docx
专题:
二次函数应用
题型一:
二次函数模型
例1如图4,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm,抛物线顶点处到边MN的距离是4dm,要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在边MN上,A、D落在抛物线上,问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm?
例2一自动喷灌设备的喷流情况如图所示,设水管AB在高出地面
米的B处有一自动旋转的喷水头,一瞬间流出的水流是抛物线状,喷头B与水流最高点C连线成
角,水流最高点C比喷头高
米,求水流落点D到A点的距离。
例3如上图,一单杆高2.2m,两立柱之间的距离为1.6m,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线状。
(1)一身高0.7m的小孩站在离立柱0.4m处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到地面的距离,
(2)为供孩子们打秋千,把绳子剪断后,中间系上一块长为0.4米的木板,除掉系木板用去的绳子后,两边的绳子正好各为2米,木板与地面平行,求这时木板到地面的距离。
(供选用数据:
,
,
)
练习
1.如图所示,是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1、点B和B1分别关于
轴对称,隧道拱部分BCB1为一条抛物线,最高点C离路面AA1的距离为
米,点B离路面为
米,隧道的宽度AA1为
米;
(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式;
(2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽度为
米,车载大型设备的顶部与路面的距离均为
米,他能否通过这个隧道?
请说明理由。
2.路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一,全线共有隧道37座,共计长达742421.2米。
下图是正在修建的庙垭隧道的截面,截面是由一抛物线和一矩形构成,其行车道CD总宽度为8米,隧道为单行线2车道.
(1).建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;
(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯,在
(1)的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;
(3)为了保证行车安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米。
现有一辆汽车,装载货物后,其宽度为
米,车载货物的顶部与路面的距离为2.5米,该车能否通过这个隧道?
请说明理由。
题型二:
表格问题
例1某厂从2001年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:
(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)按照这种变化规律,若2005年已投人技改资金5万元.①预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元(结果精确到0.01万元)?
年度
2001
2002
2003
2004
投入技改资金z(万元)
2.5
3
4
4.5
产品成本,(万元/件)
7.2
6
4.5
4
例2小明代表班级参加校运会的铅球项目,他想:
“怎样才能将铅球推得更远呢?
”于是找来小刚做了如下的探索:
小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下,分别沿与水平线成300、450、600方向推了三次。
铅球推出后沿抛物线形运动。
如图,小明推铅球时的出手点距地面2m,以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系,分别得到的有关数据如下表:
⑴请你求出表格中两横线上的数据,写出计算过程,并将结果填入表格中的横线上;
⑵请根据以上数据,对如何将铅球推得更远提出你的建议。
推铅球的方向与水平线的夹角
300
450
600
铅球运行所得到的抛物线解析式
y1=-0.06(x-3)2+2.5
y2=______(x-4)2+3.6
y3=-0.22(x-3)2+4
估测铅球在最高点的坐标
P1(3,2.5)
P2 (4,3.6)
P3(3,4)
铅球落点到小明站立处的水平距离
9.5m
___________m
7.3m
练习
1.东海体育用品商场为了推销某一运动服,先做了市场调查,得到数据如下表:
(1)以x作为点的横坐标,p作为纵坐标,把表中的数据,在图8中的直角坐标系中描出相应的点,观察连结各点所得的图形,判断p与x的函数关系式;
(1)如果这种运动服的买入件为每件40元,试求销售利润y(元)与卖出价格x(元/件)的函数关系式(销售利润=销售收入-买入支出);
(2)在
(2)的条件下,当卖出价为多少时,能获得最大利润?
每件销售价(元)
50
60
70
75
80
85
…
每天售出件数
300
240
180
150
120
90
…
2.某水果店有200个菠萝,原计划以2.6元/千克的价格出售,现在为了满足市场需要
水果店决定将所有的菠萝去皮后出售。
以下是随机抽取的5个菠萝去皮前后相应的质量统计表:
(单位:
千克)
去皮前各菠萝的质量
1.0
1.1
1.4
1.2
1.3
去皮后各菠萝的质量
0.6
0.7
0.9
0.8
0.9
(1)计算所抽取的5个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平均质量,并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量。
根据
(1)的结果,要使去皮后这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同,那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元?
题型三:
有关等腰三角形问题
例1如图.已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
例2如图,已知二次函数y=x2+bx+c(c≠0)的图象经过点A(-2,m)(m<0),与y轴交于点B,AB∥x轴,且3AB=2OB.
(1)求m的值;
(2)求二次函数的解析式;
(3)如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点(点C在左恻).问线段BC上是否存在点P,使△POC为等腰三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
例3如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A(−
,0),且△AOB∽△BOC.
(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式;
(2)在线段AC上是否存在点M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
例4如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.
(1)求出二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,求线段PC的最大值;
(3)当m>0时,探索是否存在点P,使得△PCO为等腰三角形,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.
练习
1.如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点C(0,-5).
(1)求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标.
(2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P(2,-2),连接OP,找出x轴上所有点M的坐标,使得△OPM是等腰三角形.
2.已知抛物线
与x轴交于不同的两点
和
,与y轴交于点C,且
是方程
的两个根(
).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A作AD∥CB交抛物线于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合),过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?
若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
3.已知抛物线
:
的顶点为A,抛物线
的对称轴是y轴,顶点为点B,且抛物线
和
关于P(1,3)成中心对称.
(1)用m的代数式表示抛物线
的顶点坐标;
(2)求m的值和抛物线
的解析式;
(3)设抛物线
与x轴正半轴的交点是C,当
为等腰三角形时,求a的值.
4.已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(-3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K,如图所示.
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
(2)抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?
请说明理由;
(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标:
题型四:
与相似三角形有关
例1如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?
若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.
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