中点模型及应用第二讲.docx
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中点模型及应用第二讲
中点模型及应用第二讲
1、倍长中线法
当已知条件中出现中线时,常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题;如图1:
辅助线作法:
AD为△ABC的中线,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,利用三角形全等解题.
2、倍长类中线法(与中点有关的线段)
图1
当已知条件中出现类中线时,常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题;如图2:
辅助线作法:
ED为△ABC的类中线,延长ED到F,使ED=DF,
连接BF,利用三角形全等解题.
3、直角三角形斜边中线法
当已知条件中同时出现直角三角形和中点时,常常考虑构造直角三角形斜边中线,然后再利用直角三角形斜边上的中线性质解决问题;如图3:
图4
图3
图2
辅助线作法:
△ABC是直角三角形,点D为AB的中点;连接CD,利用直角三角形斜边上的中线性质解题.(注意:
等腰三角形中底边的中点也是一个易考点)
4、中位线法
当已知条件中同时出现两个及以上中点时,常常考虑构造中位线;或出现一个中点,要求证明平行或线段倍分关系时也常考虑构造中位线.如图4:
辅助线作法:
点D、E是△ABC边AB,AC上的中点;连接DE,利用中位线的性质解题.
5、三线合一中隐含的中点
二、“中点模型”的应用
例1:
如图,AD为△ABC的中线.
(1)求证:
AB+AC>2AD.
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
变式:
如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,
BE=AC,BE的延长线交AC于点F.求证:
∠AEF=∠EAF.
例2:
如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点.求证:
AE⊥BE.
变式:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F
是CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.
例3:
如图,BD、CE是三角形ABC的两条高,M、N分别是BC、DE的中点.求证:
MN⊥DE
变式:
如图所示,过矩形ABCD的顶点A作一直线,交BC的延
长线于点E,F是AE的中点,连接FC、FD.求证:
∠FDA=∠FCB
例4:
如图,在菱形ABCD中,CO⊥BD,垂足为点O,E为BC上
一点,F为AD延长线上一点,EF交CD于点G,EG=FG=DG,
连接OE、OF.求证:
变式:
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的
中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、
N.求证:
∠BME=∠CNE
三、强化练习
(1)
1.如图,AB=CD,E为BC的中点,∠BAC=∠BCA,求证:
AD=2AE.
2.如图,AB=AC,AD=AE,M为BE中点,∠BAC=∠DAE=90°.
求证:
AM⊥DC.
3.已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图5-2,求证EF=2AD.
4.已知:
如图AD为△ABC的中线,AE=EF,求证:
BF=AC
四、强化练习
(2)
1、如图,AD、BE为△ABC的两条中线,且交点为O,OF∥BC交AC于点F.
①求OF:
CD的值.
②若AC=10,求EF的长.
2、如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,过点A分别作BD,CE的垂线,垂足分别为点M,N,连接MN.
求证:
MN=
(AB+AC-BC).
3、如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,AF、CE分别交BD于M、N.求证:
BM=MN=DN.
4、如图,AD与BC相交于点E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于点H,CH交AD于点F.求证:
若O为AB的中点,则OF=
BE .
5、如图,B、C、D三点在同一直线上,分别以BC、CD为边在同侧作两个正三角形△ABC和△ECD,P为BD边中点,M、N分别为AB、ED的中点,连接PM、PN,探求PM与PN的数量关系及∠MPN的度数,并证明.
6、如图,在正方形ABCD中,以AB为边在正方形内作正△ABE,
以AE为斜边在正△ABE内作等腰Rt△AEF.连结BF、DF.
(1)若AB=2,求BF的长;
(2)设DF与AE的交点为M,求证:
DM=FM.
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