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数学建模的一道题
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
随着科技的发展,人口的剧增,许多国家都在寻找宇宙中除地球以外的可居住星球,而月球是离我们最近的星球,对月球的研究极为重要,各个国家不断的发射火箭卫星等等,而现在人们的技术已经可以在月球上实现软着陆,但是卫星的飞行轨道和燃料的消耗,以及宇航员的安全更加受重视,本文采用哈密尔顿的极小值方法,采用定性与定量的结合,牛顿万有引力与圆周运动的结合,对问题进行分析,本文给出了它的原理,思想,评价步骤,并且从经济性,宇航员的安全性,以及能否安全到达月球表面。
本文计算了卫星在轨道上的近月点速度以及远月点速度,以及卫星在降落的六个阶段的最优控制策略,及模型的误差分析,已经敏感性分析。
从实际应用中,得到的结论与我们设计的模型大致相符,并且数学模型简单,是切实可行,便于推广的。
关键词:
嫦娥三号软着陆控制策略低能量消耗平抛
一、问题的重述
1.1背景
嫦娥三号卫星是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器,嫦娥三号将进行首次月球软着陆和自动巡视勘察,获取月球内部的物质成分并进行分析。
“嫦娥三号”任务发控台操作手人选已定,是刚满30岁的白春波。
这个岗位要求对飞行控制原理充分掌握、冷静果敢,一旦出现故障,能够在上百条预案中选择最优方案。
嫦娥三号的三项任务一是月表形貌与地质构造调查;二是月表物质成分和可利用资源调查;三是地球等离子体层探测和月基光学天文观测。
下面是嫦娥三号携“玉兔”升空瞬间
嫦娥三号降落月球图片
1.2需要解决的问题
根据附件所示的内容,要求满足每个阶段在关键点所处的状态,尽量减少软着陆过程的燃料消耗,研究以下的问题:
(1)根据附件1以及当中的视频,求解着陆准备轨道近月点和远月点的位置,以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
(2)根据附件2再结合问题1的结论,分析确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
(3)针对问题2我们设计的数学模型做相应的误差分析和敏感分析。
二、问题的分析
这是关于嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的相关问题,需要分析嫦娥三号软着陆过程的6个阶段每一个阶段的情况,考虑到每个阶段在关键点所处的状态,并且要尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
问题的特点在于不仅要运用数学知识,还要灵活的结合物理知识来分析思考问题,并且要考虑实际情况下的各种因素。
解决问题的关键在于如何从两个附件两张图中以及相关网站视频文件获得有用信息,找出之间的关系,得到确切的数学表达式。
2.1问题一的分析:
要确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置,需要结合附件2中的资料,知道着陆准备轨道的近月点和远月点的高度。
由近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定着陆点的位置。
再利用卫星的变轨结合经纬度建立模型计算出具体位置。
再运用高中物理知识万有引力定律和圆周运动列出数学表达式来求解嫦娥三号相应速度的大小与方向。
2.2问题二的分析
第二个问题要求确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
结合附件1和2中的相关资料和图片,分析嫦娥三号的6个阶段要求,能够在出现故障时,从上百条预案中选择最优控制策略方案,确保嫦娥三号的安全。
并且结合平抛运动以及自由落体的知识来建立构建数学模型,来确立出最优控制策略。
2.3问题三的分析
针对问题二所建立的模型确立的最优控制策略,再查阅相关资料和数据对其进行检验,并且根据数据的检验和函数的检验,来对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
三、模型假设
1.假设嫦娥三号软着陆过程中不存在任何形式的干扰;
2.假设嫦娥三号着陆时速度刚好减小到零;
3.假设忽略除月球外其他力或因素对卫星的影响
4.假设月球是个规则的球形
5.假设六个阶段的组合为一个平抛曲线。
6.假设近月点在着陆点的正上方
7.假设月球上的经纬度与地球一致
8.假设所发出的命令卫星全部能执行
四、符号说明
M:
月球的质量。
V1:
近月点的速度。
V2:
远月点的速度
m:
卫星的质量
R:
月球的半径
h1:
近月点离月球表面的高度
h2:
远月点离地球表面的高度
五、问题一的建模与求解
5.1.1问题分析
嫦娥三号在月球表面做的是椭圆轨道的类圆周运动,根据开普勒第二定律,近月点的速度最大,远月点的速度最小,我们不妨用近月点或远月点在月球上投影点的坐标与点距离月球的距离来表示他们的位置。
而他们的速度方向则是该点的切线方向。
5.1.2公式推导
在近月点或者远月点月球对卫星的引力等于该点绕月球做圆周运动的向心力则:
近月点:
带入数据求的
=
远月点:
带入数据求得
=
据题意分析得到,由于嫦娥三号做如图所示的运动,近月点近似在着陆点的正上方,所以,近月点的位置应该为(19.51W,44.12N),距离月球表面15Km处。
又根据地球经纬网与月球类似性,近月点与远月点关于月球中心对称,如下图:
则远月点的坐标为(44.12S,109.51E)距离月球表面100Km处,该点的速度方向也为该点的切线方向。
5.2.1问题分析
嫦娥三号通过控制速度发动机与姿态调整发动机,来控制卫星的飞行轨道,我们看图可以知道,它在这六个阶段中类似于做的平抛运动,在第三个阶段以前,发动机主要降低水平速度,而推理的方向决定了。
怎样能实现而且又所消耗的燃料最少。
5.2.2模型建立
第一、二阶段,卫星从近月点变到水平方向速度为零素质方向速度为57m/s则是说,既要水平方向减速又要竖直方向加速,则发动机的推力方向必然与水平方向有一个夹角,要求这个夹角要求使得进肯呢个使得燃料耗用小。
而第三四阶段主要是要求避开障碍物,则推力的方向大小随时在变化
,图上为陨石坑的位置,那么要避开陨石坑正上方的位置,该变推力的大小与方向。
最后对于五阶段,卫星主要是要将竖直方向速度降为0,而且要保证速度降为0的位置点离月球高度为4m,那么发动机的推力方向应该竖直向上,并且姿态发动机的功率为0,则水平方向的力为0。
对于最后一阶段,所有发动机关闭,因为月球的引力非常的小是地球引力的1/9,所以4米的高空卫星自由落体,不至于将卫星损坏。
5.3.1误差分析
在卫星的运行过程中必然要受到地球对其的引力,所以该因素产生的影响,应该考虑进去,否则预期的运行轨道一定会发生变化,对发动机推力的方向的改变不能百分之百的控制,因为发动机在卫星中的位置决定了它可以做怎样的推力变化,本文假设的最后几个阶段组合起来是平抛,实际则不然,它是有很多个椭圆轨道的组合,所以我们的计算并不精确。
5.3.2敏感性分析
该方案所用燃料相对较小,因为在近月点卫星的能量最高,所用的燃料相对远月点稍大,但是对于近月点的位置就相对较小。
六、模型的检验
6.1模型的检验
对于问题一,我们首先运用了万有引力定律与向心力的关系,由关系式计算得出来的速度与实际值的关系可以看出,理论计算与实际很吻和,说明我们建立的模型的正确性,可靠性。
对于问题二,我们首先建立了平抛运动关系式,对着陆点和最优策略进行分析、检验,确立了模型的可靠性。
同时,在嫦娥三号中,在燃料最低情况下,对结果分析,误差相对较大,说明模型不够完善,有待改进。
该控制策略,虽然是在理想的状况下做出的方法,但是在卫星的实际运行过程中的步骤一致,选择非线性变结构控制与状态反馈结合的办法设计控制方案,设定关于系统高度,速度以及加速度等状态变量的性能指标,通过对相应的哈密尔顿汗数采用极小值原理来得到变结构控制的相关输入。
经检验模型符合题意要求。
6.2模型的修正:
该模型在理想的状态下进行的,不能非常精确的反应卫星控制的策略,所以建议考虑地球的引力后以及发动机推力的方向以及运行的轨道在进行预算。
6.3科学性分析
1、思维的合理性
首先,我们对问题进行了确定的分析,建立了理论模型,对理论计算值与实际值进行比较和分析,得出建立模型的合理性,同时考虑到嫦娥三号在消耗燃料最低情况与不在此基础上的求解进行对比,得出模型合理。
然后又对模型进行了一步讨论和分析,发现我们的思路是可行的。
2、方法的科学性
本模型对不同的问题,使用了几种解法,进行讨论,期间我们运用了万有引力定律等于向心力,自由落体运动,平抛运动。
还使用了MATLAB软件进行分析,与实际数据进行比较发现。
模型一和模型二的求解是合理的。
七、模型评价
7.1问题一模型的优缺点
模型一
1、优点
(1)通过处理数据、分析图形,巧妙地运用了万有引力定力等于向心力,求出实际值。
对理论计算值与实际值比较后,进行了修正,使模型更合理;
(2)运用了MATLAB软件建立模型,准确确定了近月点与远月点的位置;
(3)运用了圆周运动的函数,对问题一进行了求解。
可以推广到其他卫星的计算;
2、缺点
(1)基于人工计算数据,误差相对较大;
(2)对于问题一,建立的万有引力定律等于向心力的函数关系式未作矫正,使确定的值有误差;
7.2问题二模型的优缺点
模型二
1、优点
(1)运用了角动量守恒定律确定了着陆轨道;
(2)巧妙地运用了平抛运动,自由落体运动,确定了嫦娥三号的着陆点,最优控制策略;
(3)通过采用哈密尔顿函数采用极小值原理得到结果,建立模型;
2、缺点
(1)该模型的建立有一定的可行性,但是基本上只有理论层次分析,没有具体的详细的原理可以解释,还需要更多的实际的原理来求解;
(2)该模型有待进一步改进与完善;
7.3模型的优缺点
模型三
1、优点
(1)该模型是在消耗燃料最低情况下建立;
(2)该模型对着陆轨道和控制策略进行了明确的分析;
2、缺点
(1)模型建的不够完善,思想不够成熟,有待改进;
(2)没有足够的试验数据对模型进行检验,无法评估模型的准确性;
(3)没有具体考虑额外的因素对模型结果的影响;
八、模型推广与改进
8.1推广
(1)该模型是在消耗燃料最低的情况下建立的,可以推广到其他卫星的建立,结合创新,使卫星更进一步的改善。
(2)卫星登月,意味着更进一步的发展,可以结合该模型,推广到人类登月,并且在月球上生活。
(3)具有实用性,可以推广到其他卫星的发射。
8.2改进
本模型仍然存在着一些不足之处,比如针对第一问,带入数据过少,检验不足。
而第二问最优控制策略的问题,感觉思考不全面不充分,由于数据本身和算法实现都可能对结果产生一定的误差,不足以使人信服。
最重要的一点就是,假设过于理想化,现实没有那么理想。
所以我认为应该多搜集些数据,对模型检验,考虑点现实情况,多比较分析,从而尽可能减少误差。
九、参考文献
(1)维基百科,轨道根数。
http:
//en.wikipedia.org/wiki/Orbital-elements.2014.1.17
(2)维基百科,比冲.http:
//en.wikipedia.org/wiki/Specific-impu冷色014.1.17
(3)XX文库,嫦娥一号发射主要过程及其中的物理学原理
(4)中国新闻网,嫦娥三号“落月”在即,解密如何实现月球软着陆
(5)中国新华网:
(6)XX文库网
(7)XX图片,哈密比顿函数图片
(8)XX文献
十、附录
附录一:
轨道根数
又称轨道要素或轨道参数。
是对选定的两个质点,在牛顿运动定律和平方反比定律的重力吸引下,确认特定轨道所必须要的参数。
由于运动的方式有许多种的参数表示法,依照你所选定的测量装置不同,有几种不同的方式来定义轨道根数,但都是描述相同的轨道。
这个问题包含三个自由度(轨道上的三个笛卡尔座标),所以每个独立的开普勒轨道(未受到摄动)经过解析后,可以由原始的笛卡尔数值以六个参数明确地定义天体的姿态和速度。
因此,所有的轨道元素组合都明确的含有这六个元素。
在数学上的明确解释和讨论可以参考以下的论述(参见:
轨道状态向量)。
开普勒的元素可以使用软件VEC2TLE从轨道状态向量或是一些计算直接得到。
我们可以看见前三个轨道元素可以简单的由其他基本座标系统的欧拉角定义,接下来的两个元素则是描述轨道的形状,最后一个则是指出在特定的时间上天体所在的位置。
所有的这些轨道根数都是在未受扰动情况下的一条圆锥轨道,二体问题—椭圆、抛物、或双曲。
在更实际的设置下,一条受到扰动的弹道轨道,可以利用瞬时的焦点来规范圆锥曲线,这时的参数所定义出来的一系列的轨道总是正切于实际的弹道轨道,这种轨道称为密切轨道。
注意被列出的最后一项是指定暦元的平近点角,暦元单纯的只是被指定的时刻,因为卫星的平近点角经常会改变,因此我们必须指出测量出这个角度的时刻。
如果我们选择不同的时刻做测量,我们将得到不同数值的角度。
进一步,当应用在真实的卫星上时,有许多种的力量作用于卫星上,都会导致轨道元素的微量改变。
因为所有的元素都可能改变,暦元就显得格外重要了。
附录二:
月球车参数
嫦娥三号的这辆月球车,高达1.5米,重120公斤,负载重量是20公斤。
早在2010年5月就完成程式指令集。
具有自动导航设施,装有避开障碍物、防止和其他物体碰撞的智能传感器。
能源将由太阳能电池板和放射性同位素热电机提供,前者负责提供月球车各种仪器的工作能源和驱动月球车行驶,而后者负责在夜晚期间给月球车的仪器保温。
开普勒三大定律:
绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方(
)跟它的公转周期的二次方(
)的比值都相等,即
,
(其中M为中心天体质量,k为开普勒常数,这是一个只与被绕星体有关的常量[2] ,G为引力常量,其2006年国际推荐数值为
)不确定度为
附录三:
平抛运动
物体以一定的初速度水平方向抛出,如果物体仅受重力作用,这样的运动叫做平抛运动。
平抛运动可看作水平方向的匀速直线运动以及竖直方向的自由落体运动的合运动。
平抛运动的物体,由于所受的合外力为恒力,所以平抛运动是匀变速曲线运动,平抛物体的运动轨迹为一抛物线。
平抛运动是曲线运动平抛运动的时间仅与抛出点的竖直高度有关;物体落地的水平位移与时间(竖直高度)及水平初速度有关。
,其速度变化的方向始终是竖直向下的。
平抛运动可视为以下两个运动的合运动:
(1)物体在水平方向上不受外力,由于惯性而做初速度不变的匀速直线运动
(2)物体在竖直方向上初速度为零,只受重力作用而做的自由落体运动。
这两个分运动各自独立,又是同时进行,具有分运动的独立性和等时性。
(3)平抛运动的运动轨迹:
∵S=v0t,H=1/2gt^2
∴H'=½gt²
∴其运动轨迹是被称为抛物线的曲线。
附录四:
自由落体
常规物体只在重力的作用下,初速度为零的运动,叫做自由落体运动。
自由落体运动是一种理想状态
下的物理模型。
(free-fall)是任何物体在重力的作用下,至少在最初,只有重力为唯一力量条件下产生惯性轨迹,是初速度为0的匀加速运动。
由于此定义未明确初速度的方向,它也适用于对象最初向上移动。
由于自由下落的情况下大气层以外重力产生失重,有时任何失重的状态由于惯性运动称为自由落体。
这可能也适用
于失重产生是因为身体远离引力体。
虽然严格的技术应用的定义不包括运动的物体受到其他阻力,如空气阻力,在非技术用法,会通过气氛没有部署的降落伞,或起重装置,也常被称为自由落体。
阻力在这种情况下,防止他们产生完全失重状态,从而跳伞的“自由落体”后到达终端速度产生感觉身体的重量是支持在一个气垫
自由落体的展示图
。
自由落体运动源于地心引力,物体在只受重力作用下从相对静止开始下落的运动叫做自由落体运动(其初速度为Vo=0m/s)譬如用手握住某种物体,不施加任何外力的理想条件下轻轻松开手后发生的物理现象。
自由落体运动的规律:
vt2=2gh(g是重力加速度,在地球上g≈9.8m/s2;)。
附录五:
敏感性分析
1、找出影响项目经济效益变动的敏感性因素,分析敏感性因素变动的原因,并为进一步进行不确定性分析(如概率分析)提供依据;
2、研究不确定性因素变动如引起项目经济效益值变动的范围或极限值,分析判断项目承担风险的能力;
3、比较多方案的敏感性大小,以便在经济效益值相似的情况下,从中选出不敏感的投资方案。
附录六:
单因素敏感性分析法
每次只变动一个因素而其他因素保持不变时所做的敏感性分析法,称为单因素敏感性分析法。
例:
(计算题)某公司规划项目的投资收益率为21.15%,财务基准收益率为12%。
试对价格、投资在±20%,成本、产量在±10%范围进行敏感性分析。
规划方案
价格变动
投资变动
成本变动
产量变动
-20%
20%
-20%
20%
-10%
10%
-10%
10%
投资收益(%)
21.15
7.72
33.62
25.26
18.19
25.90
16.41
17.95
24.24
和规划方案比较
-13.43
12.37
4.11
-2.96
4.75
-4.74
-3.2
3.09
相对变化率
-0.67
0.62
0.21
-0.15
0.48
-0.47
-0.32
0.31
解:
价格变化±1%,投资收益率变化-0.67%~0.62%。
其他如上。
单因素敏感性分析在计算特定不确定因素对项目经济效益影响时,须假定其它因素不变,实际上这种假定很难成立。
可能会有两个或两个以上的不确定因素在同时变动,此时单因素敏感性分析就很难准确反映项目承担风险的状况,因此尚必须进行多因素敏感性分析。
多因素敏感性分析法
多因素敏感性分析法是指在假定其它不确定性因素不变条件下,计算分析两种或两种以上不确定性因素同时发生变动,对项目经济效益值的影响程度,确定敏感性因素及其极限值。
多因素敏感性分析一般是在单因素敏感性分析基础进行,且分析的基本原理与单因素敏感性分析大体相同,但需要注意的是,多因素敏感性分析须进一步假定同时变动的几个因素都是相互独立的,且各因素发生变化的概率相同。
例:
某项目投资170000元,寿命10年,残值20000元,基准利率为13%,预计现金流入和流出分别为35000元和3000元。
试对现金流入和流出作双因素敏感性分析。
解:
设x和y分别为年现金流入和流出的变化率,则净现值为:
NPV=-170000(A/P,13%,10)3500(1x)-3000(1y)20000(A/F,13%,10)
=-170000*0.18435000(1x)-3000(1y)-20000*0.054
=175735000x-3000y
敏感性分析法
只要NPV>0,即y>0.58611.67x方案就可行。
敏感性分析法是一种动态不确定性分析,是项目评估中不可或缺的组成部分。
它用以分析项目经济效益指标对各不确定性因素的敏感程度,找出敏感性因素及其最大变动幅度,据此判断项目承担风险的能力。
但是,这种分析尚不能确定各种不确定性因素发生一定幅度的概率,因而其分析结论的准确性就会受到一定的影响。
实际生活中,可能会出现这样的情形:
敏感性分析找出的某个敏感性因素在未来发生不利变动的可能性很小,引起的项目风险不大;而另一因素在敏感性分析时表现出不太敏感,但其在未来发生不利变动的可能性却很大,进而会引起较大的项目风险。
为了弥补敏感性分析的不足,在进行项目评估和决策时,尚须进一步作概率分析。
误差分析
物理化学以测量物理量为基本内容,并对所测得数据加以合理的处理,得出某些重要的规律,从而研究体系的物理化学性质与化学反应间的关系。
然而在物理量的实际测量中,无论是直接测量的量,还是间接测量的量(由直接测量的量通过公式计算而得出的量),由于测量仪器、方法以及外界条件的影响等因素的限制,使得测量值与真值(或实验平均值)之间存在着一个差值,这称之为测量误差。
研究误差的目的,不是要消除它,因为这是不可能的;也不是使它小到不能再小,这不一定必要,因为这要花费大量的人力和物力。
研究误差的目的是:
在一定的条件下得到更接进于真实值的最佳测量结果;确定结果的不确定程度;据预先所需结果,选择合理的实验仪器、实验条件和方法,以降低成本和缩短实验时间。
因此我们除了认真仔细地作实验外,还要有正确表达实验结果的能力。
这二者是等同重要的。
仅报告结果,而不同时指出结果的不确定程度的实验是无价值的,所以我们要有正确的误差概念。
[
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