数学新学案同步必修5第二章习题课一.docx
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数学新学案同步必修5第二章习题课一
习题课
(一)求数列的通项公式
学习目标1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递
推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法.
知识点一
通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
思考
你能看出数列
(1)
:
-1,1,-1,1⋯与数列
(2):
0,2,0,2⋯的联系吗?
由此写出数列
(2)的一
个通项公式.
答案
数列
(1)每项加1
得到数列
(2).数列
(1)的通项公式是
an=(-1)n,故数列
(2)的通项公式
是an=(-1)n+1.
梳理通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式,关键是依托基本数列如等差数列、等
比数列,寻找an与n,an与an+1的联系.
知识点二利用递推公式求通项公式
思考还记得我们是如何用递推公式an+1-an=d求出等差数列的通项公式的吗?
答案累加法.
梳理已知递推公式求通项公式的主要思路,就是要通过对递推公式赋值、变形,构造出我
们熟悉的等差数列或等比数列,进而求出通项公式.赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待
定系数法、换元、迭代等.
知识点三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
思考如何用数列{an}的前n项和Sn表示an?
答案an=
S1,n=1,
Sn-Sn-1,n≥2.
梳理当已知Sn或已知Sn与an的关系式,可以借助上式求出通项公式,
或者得到递推公式,
再由递推公式求得通项公式
.在应用上式时,不要忘记对
n讨论.
1.数列可由其前四项完全确定.(×)
2.可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值.(√)
3.{Sn}也是一个数列.(√)
类型一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1由数列的前n项,写出通项公式:
(1)3,5,3,5,3,5,⋯
12345
(2),,,,,⋯
5133381
(3)2,2,4,8,16,⋯
11111
(4),,,,,⋯
考点
数列的通项公式
题点
根据数列的前几项写出通项公式
解
(1)这个数列前6项构成一个摆动数列,奇数项为
3,偶数项为
5.所以它的一个通项公式
为an=4+(-1)n.
(2)数列中的项以分数形式出现,分子为项数,分母比分子大1,所以它的一个通项公式为an
=n.
n+1
1111
(3)数列可化为1+1,2+2,3+4,4+8,5+16,⋯,
1
所以它的一个通项公式为an=n+2n-1.
(4)数列可化为
1
1
1
1
1
1×2,2×3,
3×4,
4×5,
5×6,⋯,
所以它的一个通项公式为
1
.
an=
nn+1
反思与感悟
这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到,故
解决这类问题可以根据所给数列的特点
(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列
)
联想基本数列,再考察它与基本数列的关系.
跟踪训练1
由数列的前几项,写出通项公式:
(1)1,-7,13,-19,25,⋯
(2)1,
3,
1,
7,
9,⋯
4
7
2
13
16
8,15,-24,⋯
(3)1,-579
考点
数列的通项公式
题点
根据数列的前几项写出通项公式
解
(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项,6为公差的等差数列,且奇数项为正,偶
数项为负,所以它的一个通项公式为
an=(-1)n+1(6n-5).
1
3
5
7
9
(2)数列化为4,
7,10
,13,
16,⋯,分子,分母分别构成等差数列,所以它的一个通项公式
2n-1
为an=.3n+1
2
2
-1
2
-1
2
-1
(3)数列化为
2-1
3
4
5
3
,-
5
,
7
,-
9
,⋯,
所以数列的一个通项公式为
n
1
n+12-1
an=(-1)+
.
2n+1
类型二
利用递推公式求通项公式
命题角度1
累加、累乘
例2
(1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,求通项公式;
(2)已知数列{an}满足a1=2,an+1=n
an,求an.
3
n+1
考点
递推数列通项公式求法
题点
一阶线性递推数列
解
(1)∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,
即a2-a1=2,a3-a2=3,⋯,an-an-1=n,等式两边同时相加得
an-a1=2+3+4+⋯+n,
即an=a1+2+3+4+⋯+n=1+2+3+4+⋯+n=
nn+1
.
2
(2)由条件知
an+1
n,分别令n=1,2,3,⋯,n-1,
=
an
n+1
代入上式得(n-1)个等式累乘之,
即
a2a3a4
⋯
an
1
2
3
n-1
··
=
×××⋯×
,
a1
a2a3
an-1
2
3
4
n
an
1
2
2
∴a1=n,又∵a1=3,∴an=
3n.
反思与感悟型如an+1=an+f(n)的递推公式求通项可以使用累加法,步骤如下:
第一步将递推公式写成an+1-an=f(n);
第二步依次写出an-an-1,⋯,a2-a1,并将它们累加起来;
第三步得到an-a1的值,解出an;
第四步
检验a1是否满足所求通项公式,
若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.累乘
法类似.
跟踪训练
2
(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),则数列{an}的通项公式为(
)
A.an=2n-1
B.an=2n
n(n
1)
n2
C.an
2
2
D.a
22
n
考点
递推数列通项公式求法
题点
一阶线性递推数列
答案
C
解析
n
an+1
n
a2a3
a4
an
1
23
n1
,即
an
12
3
⋯
由an+1=2an,得
=2
,即
··⋯
=2
×2×2×⋯×2
-
=2
+
+
+
an
a1a2
a3
an-1
a1
n(n1)
n(n1)
n(n1)
+(n-1)=22,故an=22a1=22.故选C.
(2)在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n-1(n=2,3,4⋯),求{an}的通项公式.
考点递推数列通项公式求法
题点an+1=pan+f(n)型
解∵当n=1时,a1=1,
a2-a1=1,
a3-a2=2,
当n≥2时,
a4-a3=3,
这n-1个等式累加得,
⋯,
an-an-1=n-1,
an-a1=1+2+⋯+(n-1)=
nn-1
,
2
故an=
nn-1
+a1=
n2-n+2
2
2
且a1=1也满足该式,
n2-n+2
*
∴an=(n∈N).
命题角度2构造等差比数列
例3已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.
考点递推数列通项公式求法
题点一阶线性递推数列
解递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,则t=-3.
故递推公式为an+1+3=2(an+3).
bn+1an+1+3
令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且bn=an+3=2.
所以{bn}是以4为首项,2为公比的等比数列.
所以bn=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.
反思与感悟
型如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项
公式,步骤如下:
第一步
假设将递推公式改写为
an+1+t=p(an+t);
第二步
由待定系数法,解得
t=q;
p-1
第三步
写出数列an+q
的通项公式;
p-1
第四步
写出数列{an}通项公式.
跟踪训练3
已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n,a1=6,求数列{an}的通项公式.
考点
递推数列通项公式求法
题点
an+1=pan+f(n)型
解设an+1+x×5n+1=2(an+x×5n),①
将an+1=2an+3×5n代入①式,得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n,等式两边消去
2an,
得3×5n+x×5n+1=2x×5n,两边除以5n,得3+5x=2x,则x=-1,代入①式得an+1-5n+
1=2(an-5n).②
1
=6-5=1≠0
n
an+1-5n+1
=2,则数列{an-5
n
为首项,
由a1-5
及②式得an-5
≠0,则
}是以1
an-5n
2为公比的等比数列,则an-5n=2n-1,故an=2n-1+5n.
类型三
利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
例4
已知数列{an
n,若Sn=2an-4,n∈N*
,则an等于()
}的前n
项和为S
A.2
n+1
B.2
n
C.2
n-1
D.2
n-2
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
答案
A
解析
因为Sn=2an-4,所以Sn-1=2an-1-4,两式相减可得
Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an
=2an-2an-1,整理得an=2an-1,即an=2,因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}
an-1
是首项为
4,公比为
2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.
反思与感悟
已知Sn=f(an
n=f(n)解题步骤:
)或S
第一步
利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;
第二步
利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;
第三步
若求出n≥2时的{an
1=S1求出a1,并代入{an
}的通项公式,则根据a
}的通项公式进
行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式
.如果求出的是{an
}的递推公式,则问
题化归为类型二.
跟踪训练
4
在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+⋯+nan=n+1
an+1(n∈N*),求数列{an}
2
的通项an.
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
n+1
解由a1+2a2+3a3+⋯+nan=2an+1,得
n
当n≥2时,a1+2a2+3a3+⋯+(n-1)an-1=2an,
n+1
an,
两式作差得nan=
an+1-n
2
2
得(n+1)an+1=3nan(n≥2),
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2
时,nan=2·3n-2.
1,n=1,
于是an=2n·3n-2,n≥2.
1.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+
1
,则通项公式
an=________.
nn+1
1
答案
4-n
解析
原递推公式可化为
an+1=an+1-
1,
n
n+1
1
1
1
1
则a2=a1+1-
2,a3=a2+2-
3,
a4=a3+1-1,⋯,an-1=an-2+1-
1,an=an-1+
1-1,逐项相加得an=a1+1-1,
3
4
n-2n-1
n-1
n
n
故an=4-
1.
n
2.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
答案
1121
解析
a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,
再由an+1=2Sn+1,即an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an
(n≥2)
2=
,又a
3a1,所以an+1=3an(n≥1),S5=
1-35
=121.
1-3
3.如果数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则此数列的通项公式
an=________.
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
答案
2n-1
解析
当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),
∴an=2an-1,∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴an=2n-1,n∈N*.
4.已知数列{an}的前n项和Sn
=1+λa,其中
λ≠0.证明{a
n}是等比数列,并求其通项公式.
n
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
解
由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=
1,a1≠0.
1-λ
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,
得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,
an+1
λ
所以
=
.
an
λ-1
所以{an}是首项为
1,公比为
λ的等比数列,
1-λ
λ-1
所以an=1
λ
n-1.
1-λλ-1
1.不论哪种类型求通项公式,都是以等差数列、等比数列为基础.
2.利用数列前若干项归纳通项公式,对无穷数列来说只能算是一种猜想,是否对所有项都适
用还需论证.
3.待定系数法求通项,其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列,只
是其系数还不知道,一旦求出系数,即意味着猜想成立,从而可以借助等差数列或等比数列
求得通项.
4.使用递推公式或前n项和求通项时,要注意n的取值范围.
一、选择题
1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n(n∈N*),则a100的值是()
A.9900
B.9902
C.9904
D.11000
考点
递推数列通项公式求法
题点
an+1=pan+f(n)型
答案
B
解析
a100=(a100-a99)+(a99-a98)+⋯+(a2-a1)+a1
=2(99+98+⋯+2+1)+2
=2×
99×99+1
2
+2=9902.
2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=
an
,则这个数列的第
n项为()
1+2an
A.2n-1
B.2n+1
1
1
C.2n-1
D.2n+1
考点
递推数列通项公式求法
题点
一阶线性递推数列
答案
C
解析∵an+1=
an
,∴
1=
1+2.
1+2an
an+1
an
1
1
∴an
为等差数列,公差为
2,首项a1
=1.
1
∴an=1+(n-1)
·2=2n-1,
∴an=
1
.
2n-1
3.在数列
n
1=2,an+1=an+ln
1+1,则an等于(
)
{a}中,a
n
A.2+lnn
B.2+(n-1)lnn
C.2+nlnn
D.1+n+ln
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