精品教案 312 用二分法求方程的近似解.docx
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精品教案312用二分法求方程的近似解
3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学设计
(一)
本教学设计获“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动一等奖.
学习准备
教师需要明了:
1.新教材为什么增加求方程的近似解?
2.为什么用“二分法”求方程的近似解?
3.本节内容在教材中的地位和作用.
4.明确学生现有的水平和可能的发展水平.
学生需要复习:
方程的根与函数的零点的相关知识.
在此基础上,根据学生“最近发展区”确定本课时教学和学习目标.
教学目标
1.了解二分法是求方程近似解的一种方法.
2.会用二分法求给定精确度的方程的近似解.
3.在具体问题情境中感受逐步逼近的过程.
4.培养学生观察、分析数据的能力.
5.培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神.
教学重点与难点
重点:
二分法原理及其探究过程,用二分法求方程的近似解.
难点:
对二分法原理的探究,对精确度、近似值的理解.
教学方法与教学手段
教学方法:
“问题驱动”,启发、探究
学法:
自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解
教辅工具:
计算机、投影仪、计算器
教学过程
1.设置情境,提出问题
问题1:
你会求哪些类型方程的解?
写一写你不会求解的方程.
设计意图
让学生感受有大量的方程不能求解,引起学生的认知冲突,激发学生的求知欲.
问题2:
能不能求方程的近似解?
2.自主探究,获得新知
以求方程x3+3x-1=0的近似解(精确度0.1)为例进行探究.
探究1:
怎样确定解所在的区间?
(1)图象法(数形结合):
(2)试值法:
设f(x)=x3+3x-1,f(0)=-1<0,f
(1)=3>0.
复习:
(1)方程的根与函数零点的关系;
(2)根的存在性定理.
探究2:
怎样缩小解所在的区间?
幸运52中猜商品价格环节,让学生思考:
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用?
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格?
设计意图
在学生“最近发展区”设置问题,搭建平台,拉近数学与现实的距离,不仅激发学生学习兴趣,学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想.
问题3:
为什么要取中点,好处是什么?
设计意图
体会二分法优于其他如“三分法”,“四分法”,华罗庚的“优选法”等.
探究3:
区间缩小到什么程度满足要求?
设计意图
利用计算器进行了多次计算,逐步缩小实数解所在范围,精确度的确定就显得非常自然,突破了教学上的难点,提高了探究活动的有效性.
问题4:
精确度0.1指的是什么?
与精确到0.1一样吗?
通过对以上问题的探究,给出二分法的定义就水到渠成了.
二分法的定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求零点近似值的步骤:
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
(2)求区间(a,b)的中点c;
(3)计算f(c);
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤
(2)~(4).
3.例题剖析,巩固新知
【例】借助计算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解(精确度0.01).
两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果;学生讲解缩小区间的方法和过程,教师点评.同时演示用Excel程序求方程的近似解.
设计意图
(1)演示Excel程序求方程的近似解,界画活泼,充分体现了信息技术与数学课程有机整合.进一步明确为什么用“二分法”求方程的近似解.
(2)算法流程比较简洁,便于编写计算机程序,利用计算器和多媒体辅助教学,直观明了.
4.知识迁移,生活应用
(1)猜商品价格;
(2)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查接点的个数为__________.
5.检验成果,巩固提升
(1)下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是( )
思维升华:
在零点的附近连续且f(a)·f(b)<0.
(2)方程4x+2x-11=0的解在下列哪个区间内?
你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗?
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
说明:
二分法不仅能求方程的近似解,有时也能求方程的精确解.
6.回顾反思
本节课你学到了哪些知识?
有哪些收获?
还有什么疑问?
(1)预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑,若没有就作为课下拓展留给学生思考).
如图所示,区间[a,b]上有多个零点,还能否用二分法求方程的近似解?
如果能,该怎样做?
(2)学生课堂生成新问题(不同的班级可能会有不同的问题,具体问题具体解决).
课外作业
1.书面作业
(1)习题3.1A组3,4,5;
(2)求2x+3x=7的近似解(精确度0.1).
2.知识链接 阅读与思考“中外历史上的方程求解”.
板书设计
课题:
(投影显示)
1.提出问题:
2.自主探究:
3.抽象概括:
4.巩固练习:
5.归纳总结:
教学反思
1.注重学生参与知识的形成过程;
2.注重培养学生的应用意识;
3.恰当地利用现代信息技术.
教学设计
(二)
本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖.
整体设计
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三章第一节第二课,主要是分析函数与方程的关系.教材分三步来进行:
第一步,从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手,由具体到一般,建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系.然后推广为一般方程与相应函数的情形;第二步,在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图象和性质来研究方程的解,体现方程和函数的关系;第三步,在函数模型的应用过程中,通过函数模型以及模型的求解,更全面地体现函数与方程的关系,逐步建立起函数与方程的联系.
本节课是这一小节的第二节课,即用二分法求方程的近似解.它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据,从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”;而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想,为学生后续学习算法的内容埋下伏笔;充分体现新课程“渗透算学方法,关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念.求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想,并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法,其关键是逼近的依据.
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识;而二分法来自生活,是由生活中抽象而来的,只要我们选材得当,能够激发学生的学习兴趣,达到渗透数学思想关注数学文化的目的,学生也能够很容易理解这种方法.其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际,是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”.
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式,应用从生活实际——理论——实际应用的过程,应用数形结合、图表、信息技术,采用教师引导——学生探索相结合的教学方法,注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力,让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程.
教学目标
1.理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法;利用信息技术辅助教学,让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程;
2.体会二分法的思想和方法,使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法;让学生能够了解近似逼近思想,培养学生探究问题的能力和创新能力,以及严谨的科学态度;
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法;感受正面解决问题困难时,通过迂回的方法使问题得到解决的快乐.
教学重点与难点
教学重点:
能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解,根所在区间的确定及逼近的思想.
教学难点:
对二分法的理论支撑的理解,区间长度的缩小.
教学过程
教学基本流程图
教学情境设计
教学设计
学情预设
设计意图 知识链接
创
设
情
境
·
引
出
课
题
1.大家都看过《幸运52》吧,今天咱也试一回(出示游戏).
2.竞猜中,“高了”、“低了”的含义是什么?
如何确定价格的最可能的范围?
3.如何才能更快地猜中商品的预定价格?
4.“二分”的思路是什么?
1.教师从学生熟悉的电视节目,引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法.
2.学生能够主动参与游戏,并且参与游戏的同学可以比较并总结经验.学生会有很多种方案.
3.对于“问题2”学生能够顺利地得出“主持人的“高了,低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论.
4.此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好.从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.
1.利用视屏与游戏的形式,学生会踊跃参与;商品价格竞猜也是学生熟悉的,竞猜的方法会很多样,可以进行竞赛.
2.通过问题2,启发学生寻找确定区间的依据,为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔.
3.通过游戏,让学生经历游戏过程,感受数学来自生活,激发学生的学习兴趣;引导学生善于发现身边的数学,培养学生的归纳演绎的能力;学会将实际情境转化为数学模型.
4.通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法.
师
生
探
究
·
构
建
新
知
1.上节课我们学了什么定理,它的作用是什么?
还有什么问题没有解决?
2.已知函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点;如何求出方程lnx+2x-6=0在区间(2,3)的近似解(精确度为0.01)?
与刚才的游戏是否有类似之处?
3.精确度的含义是什么?
怎样的区间才算满足设定的精确度?
4.区间(2,3)的精确度为多少?
5.如何将零点所在的范围缩小(即
如何将精确度缩小)?
缩小的依据是什么?
6.如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间?
7.近似解是多少?
1.教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入,点出今天的课题.并且有前面游戏作为伏笔,学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据.
2.通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考.学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起,运用刚才的游戏的经验,得到缩小区间的想法.
3.学生对精确度的概念可能有所遗忘.教师可以借助数轴解释说明精确度的含义,引导学生思考什么时候停止操作.
4.教师通过“问题4~6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间.并确定结束的时间.
5.学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路,不断缩小零点存在的区间,进行具体操作,填出(附录1)中的表格.表格刚开始的前几行学生可能会比较慢,也有可能会出错;通过多次的重复以及经验的总结,后面的表格可以正确地、快速地回答出来;使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利.
6.对于“问题7”学生不太容易得到比较简洁的结论.教师可以进行解释说明:
“由于整个区间内的数均满足精确度的条件,因此区间内的所有数均可以作为近似解,但区间端点a,b是已知的值,所以可以取a或b作为近似解.”,最后得到方程的近似解(附录1的表格后面的内容).
[设计意图]
1.开门见山,延续上一节课的
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