中考数学压轴专题强化卷 等腰三角形的存在性无答案.docx
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中考数学压轴专题强化卷等腰三角形的存在性无答案
等腰三角形的存在性专题
例题讲解
例1、已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2,
且与x轴只有一个交点.
(1)求m,n的值;
(2)把抛物线沿x轴翻折,再向右平移2个单位,向下平移1个单位,得到新的抛物线C,求新抛物线C的解析式;
(3)已知P是y轴上的一个动点,定点B的坐标为(0,1),问:
在抛物线C上是否存在点D,使△BPD为等边三角形?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
例2、如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD=
.
(1)求直线AC的解析式;
(2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得△DMC为等腰三角形?
若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
例3、如图,正方形ABCD的边长是16,点E在AB边上,AE=3,F是BC边上不与B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′=.
例4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4),
例5、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x2-3x-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E(3,-4),连结CE,若P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:
当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
进阶训练
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动,M,N分别是AD,CD的中点,连结MN,设点D运动的时间为t,若△DMN是等腰三角形,求t的值.
2、设二次函数y=x2+2ax+
(a<0)的图象顶点为A,与x轴的交点为B,C.
(1)当△ABC为等边三角形时,求a的值,
(2)当△ABC为等腰直角三角形时,求a的值.
3、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2),E为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合),以E为顶点作∠OFT=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB.抛物线y=
x2+mx+n经过A,C两点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求证:
∠BEF=∠AOE;
(3)
当△EOF为等腰三
角形时,求此时点E的坐标.
4、如图,抛物线y=ax2-6x+c与x轴交于点A(-5,0),B(-1,0),与y轴交于点C,P是抛物线上的一个动点,连结PA,过点P作y轴的平行线交直线AC于点D,请问:
△APD能否为等腰三角形?
若能,求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.
5、如图,抛物线y=ax2+2x-3与x轴交于A,B两点,且点B的坐标为(1,0).直线y=
x-
分别与x轴,y轴交于C,F两点.Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作y轴的平行线,交直线CF干点D.点E在线段CD的延长线上,连结QE,问:
以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
破解策略
线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示:
等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上,或以A,B为圆心、AB长为半径的圆上(不与线段AB共线).
解等腰三角形的存在性问题时,若没有明确指出等腰三角形的底或腰,就需要进行分类讨论.通常这类问题的解题策略有:
(1)几何法:
先分类讨论,再画出等腰三角形,后计算.
如图2,若AB=AC,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则BD=CD,∠BAD=∠CAD,从而利用锐
角三角函数、相似三角形等知识解决问题.
(2)代数法:
先罗列三边长,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.
有时候将几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好.
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