小学五年级奥数精选汇总.docx
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小学五年级奥数精选汇总.docx
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小学五年级奥数精选汇总
第一讲分类数图形
[知识要点]
我们在数数的时候,遵循不重复、不遗漏的原则,就能使数出的结果准确。
但是在数图形的个数的时候,往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规律,从而有秩序、有条紊并且正确地数出图形的个数。
[范例解析]
例1下面图形中有多少个正方形?
[思路导航]
图中的正方形的个数中可以分类数,如□的正方形有6×3=18个,如?
的正方形有5×2=10个,如?
的正方形有4×1=4个。
因此图中共有18+10+4=32(个)正方形。
解:
6×3+5×2+4×1=32(个)
答:
图中有32个正方形。
例2下图中共有多少个三角形?
[思路导航]
为了保证不漏数又不重复,我们可以分类来数三角形,然后再把数出的各类三角形的个数相加。
(1)图中共有6个小三角形。
(2)由两个小三角形组合的三角形有3个。
(3)由三个小三角形组合的三角形有6个。
(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。
图中共有6+3+6+1=16(个)三角形
解:
6+3+6+1=16(个)三角形。
例3数出下图中所有三角形的个数。
[思路导航]
和三角形AFG一样形状的三角形有5个;和三角形ABF一样形状的三角形有10个;和三角形ABG一样形状的三角形有5个;和三角形ABE一样形状的三角形有5个;和三角形ACD一样形状的三角形有5个;和三角形AMD一样形状的三角形有5个;共有35个三角形。
解:
5+10+5+5+5+5=35(个)
答:
共有35个三角形。
例4如下图,平面上有12个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样的正方形有多少个?
[思路导航]
把相邻的两点连接起来可以得到下面的图形(图a),从图中可以看出:
(1)最小的正方形有6个。
(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个。
(3)中间还可围成2个正方形。
解:
6+2+2=10(个)
答:
共有10个。
例5数一数,下图中共有多少个三角形。
[思路导航]
我们可以分类来数。
(1)单一的小三角形有16个。
(2)两个小三角形组合的有10个。
(3)四个小三角形组合的有8个。
(4)八个小三角形组合的有2个。
所以,图中一共有16+10+8+2=36(个)三角形。
解:
16+10+8+2=36(个)
答:
图中共有36个三角形。
[习题精选]
1、下图中共有多少个正方形?
2、下图中共有多少个正方形?
3、下图中共有多少个正方形?
多少个三角形?
4、下图中共有多少个三角形?
5、数一数,图中共有多少个三角形。
6、数一数,图中共有多少个三角形。
7、数出下面图形中分别有多少个三角形。
8、下图中共有8个点,连接任意四点围成一个长方形。
一共能围成多少个长方形?
9、下图中共有6个点,连接其中的三个点围成一个三角形。
一共能围成多少个三角形?
10、下图中共有9个点,连接其中的四个点围成一个梯形。
一共能围成多少个梯形?
11、下图中共有多少个三角形?
12、图中共有多少个三角形?
13、下图中共有多少个正方形?
第二讲平均数问题
(一)
[知识要点]
把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等,求得的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢?
下面的数量关系必须牢记:
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
[范例解析]
例1有4箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42个,梨、橘子、桃平均每箱36个。
苹果和桃平均每箱37个。
求一箱苹果多少个?
一箱桃多少个?
[思路导航]
1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=126(个)
1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108(个)
1箱苹果+1箱桃=37×2=74(个)
由?
?
两个等式可知:
一箱苹果比一箱桃多126-108=18(个),再根据等式?
就可以算出,一箱桃有(74-18)÷2=28(个),一箱苹果有28+18=46(个)。
解:
一箱苹果和一箱桃共有的个数:
37×2=74(个)
一箱苹果比一箱桃多的个数:
42×3-36×3=18(个)
一箱桃的个数:
(74-18)÷2=28(个)
一箱苹果的个数:
28+18=46(个)
答:
一箱苹果46个,一箱桃28个。
例2一次数学测验,全班平均分是91分,已知女生有21人,平均每人93分,男生平均每人90分,求这个班男生有多少?
[思路导航]
女生每人比全班平均分高93-91=2(分),而男生每人比全班平均分低91-90=1(分)。
全体女生高出全班平均分2×21=42(分)。
应补给每个男生1分,42里包含有42个1,即全班有42个男生。
解:
(93-91)×21=42(分)
42÷(91-90)=42(人)
答:
这个班男生有42人。
例3五个数的平均数是18,把其中一个数改为6后,这五个数的平均数是16,这个改动的数原来是多少?
[思路导航]
原来五个数的和是,18×5=90,改动以后五人数的和是16×5=80,80比90少10,这10是把那个数改为6后少掉的,因此,这个改动的数原来是6+10=16。
解:
18×5-16×5=10
6+10=16
答:
这个改动的数原来是16。
例4一位同学在期中测验中,除了数学外,其它几门功课的平均成绩是94分,如果数学算在内,平均每门95分。
已知他数学得了100分。
问这位同学一共考了多少门功课?
[思路导航]
100分比95分多5分,这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去,使其它平均分94分变成95分。
每门填补95-94=1(分),5里面有5个1,所以其它有5门功课,连数学在内一共考了5+1=6(门)功课。
解:
(100-95)÷(95-94)=5(门)
5+1=6(门)
答:
这位同学一共考了6门功课。
例5把五个数从小到大排列,其平均数是38,前三个数的平均数是27,后三个数的平均数是48,中间一个数是多少?
[思路导航]
先求出五个数的和:
38×5=190。
再求出前三个数的和:
27×3=81,后三个数的和:
48×3=144。
用前三个数的和加上后三个数的和,这样,中间的那个数就算了两次,必须比190多,而多出的部分就是所求的中间一个数。
解:
27×3+48×3-38×5=35
答:
中间一个数是35。
[习题精选]
1、一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分。
乙、丙、丁三人平均分89分。
甲、丁二人平均分95分,问甲、丁各得多少分?
2、甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克?
3、甲、乙、丙三个小组的同学去植树,甲、乙两组平均每组植18棵,甲、丙两组平均每组植17棵,乙、丙两组平均每组植19棵。
三个小组各植树多少棵?
4、两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。
甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳160下,乙组有多少人?
5、有两块棉田,平均每公亩产量是92.5千克,已知一块地是5公亩,平均每公亩产量是是101.5千克,另一块田平均每公亩产量是85千克。
这块田是多少公亩?
6、把甲级和乙级糖混在一起,平均每千克卖7元。
已知甲级糖有4千克,平均每千克8元,乙级糖有2千克,平均每千克多少元?
7、某3个数的平均数是2,如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3。
被改的数原来是多少?
8、甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人的平均分是90分。
可是,甲在抄分数时,把自己的分错抄成87分,因此算得的四人平均分为88分。
求甲在这次考试中得了多少分?
9、小明前几天数学测验的平均成绩是84分,这次要考100分,才能把平均成绩提高到86分,问这是他第几次测验?
10、老师带着几个同学在做花,老师做了21朵,同学平均每人做了35朵。
如果师生合起来算,正好平均每人做37朵,求有多少同学在做花?
11、小明前五次数学测验的平均成绩是88分。
为了使平均成线达到92.5分,小时要连续考多少次满分?
12、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁,如果甲、乙的平均年龄是18岁,乙、丙的平均年龄是25岁,那么乙的年龄是多少岁?
13、十名参赛者的平均分是82分,前6人的平均分是83分,后6人的平均分是80分,那么第5人和第6人的平均分是多少分?
14、下图中的○内有五个数A、B、C、D、E,□内的数表示与它相连的所有○中的平均数,求C是多少?
第三讲平均数问题
(二)
[知识要点]
解答平均数应用题的关键是找准问题与条件,条件与条件之间相对应的关系。
通过变形、综合后的平均数应用题,数量关系比较复杂,也比较隐藏。
只要同学们始终记住,平均数是由“总数量”除以与“总数量”相对应的“总份数”而得到的这一关系,采用作图、假设等方法,开动脑筋,认真审题,就能找出正确的解题方法。
[范例解析]
例1小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分,政治、数学两科平均分91.5分,语文、英语两科平均分84分。
政治、英语两科平均86分,英语比语文多10分。
小亮的各科成绩是多少?
[思路导航]
因为语文、英语两科平均分84分,即语文+英语=168分,而英语比语文多10分,即英语-语文=10分,所以,语文是(168-10)÷2=79(分),英语是79+10=89(分)。
又因为政治、英语两科平均86分,所以政治是86×2-89=83(分);而政治、数学两科平均分91.5分,数学是91.5×2-83=100(分);最后根据五科的平均成绩是89分可知自然分是89×5-(79+89+83+100)=94(分)
解:
语文:
(84×2-10)÷2=79(分)
英语:
79+10=89(分)
政治:
86×2-89=83(分)
数学:
91.5×2-83=100(分)
自然:
89×5-(79+89+83+100)=94(分)
答:
小亮的语文97分,英语89分,政治83分,数学100分,自然94分。
例2创新路小学五年级有三个班,其中一、二班学生平均50人,二、三年级平均43人,一、三两班学生平均45人,这三个班学生平均有多少人?
[思路导航]
由题意可知:
一班、二班共有学生50×2=100(人),二、三班共有学生43×2=86(人),一、三班共有学生45×2=90(人),由于每个班的学生人数都加了两次,所以不难算出一、二、三班的学生一共的人数是(100+86+90)÷2=138(人),即是此题的总分量。
再用此总数量除以总份数3便可解答此题。
解:
(50×2+43×2+45×2)÷2÷3=276÷6=46(人)
答:
这三个班学生平均有46人。
例3已知八个连续自然数的和是204,求这八个连续自然数。
[思路导航]
想一想,连续自然数的特点是什么?
八个连续自然数中,第一、八两个数,第二、七两个数,第三、六两个数,第四、五两个数各自的和均等于204÷4=51。
知道第四、五两个连续自然数的和是51,由此便可以求出来第四、五这两个数,从而求出其他各个数。
解:
(1)八个连续自然数中,第四、五两个数的和是:
204÷4=51
(2)第四、五两个数分别是:
第四个数(50-1)÷2=25;第四五个数25+1=26。
(3)其余六个数分别是:
第三个数:
25-1=24第二个数24-1=23
第一个数:
23-1=22第六个数25+2=27
第七个数:
27+1=28第八个数28+1=29
答:
这八个连续自然数是22、23、24、25、26、27、28、29。
例4下面一串数是一个等差数列:
2,5,8,……,212。
这串数的平均数是多少?
[思路导航]
等差数列的平均数等于这一串数的总和除以项数(这串数的个数),而等差数列的求和公式为(首项+末项)×项数÷2,所以,等差数列的平均数为(首项+末项)÷2,即头、尾两数的平均数。
解:
(2+212)÷2=107
答:
这串数的平均数是107。
例5王强从A地到B地,先骑自行车行完全程的一半,每小时行12千米,剩下的步行,每小时走4千米。
王强行完全程的平均速度是每小时多少千米?
[思路导航]
求行全程的平均速度,应该用全程除以行全程所用的时间。
由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程,我们可以设全程为24千米(也可以设其他数),这样,就可以算出行全程所用的时间是12÷12+12÷4=4(小时),再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时行6千米。
解:
24÷(12÷12+12÷4)=6(千米)
答:
王强行完全程的平均速度是每小时6千米。
例6在暑假中,圆圆看一本故事书,第一天读83页,第二天读64页,第三天读74页,第四天读了71页,第五天读的页数比五天中平均读的页数还多12页,圆圆在第五天读了多少页?
[思路导航]
由题知前四天每天平均读(83+64+74+71)÷4=73(页)。
很明显,第五天读的页数比73页多,由此平均数就增加了。
为了便于思考。
我们可画出下面的示意图。
图中“73页”后面的虚线,表示第五天后增加的平均数,应用12去补足,则每份是12÷4=3。
由此从图上很直观的看出第五天读的页数。
解:
(83+64+74+71)÷4+12÷4+12
=73+3+12
=88(页)
答:
圆圆在第五天读了88页。
[习题精选]
1、甲、乙、丙、丁4人的平均年龄是84岁,已知甲与乙的平均年龄是72岁,乙与丙的平均年龄是76岁,乙与丁的平均年龄是80岁,那么丁是多少岁?
2、甲、乙、丙三个数的平均数是82,甲、乙两数的平均数是86,乙、丙两数的平均数是77。
乙数是多少?
甲、丙两个数的平均数是多少?
3、五个数排一排,平均数是9。
如果前四个数的平均数是7,后四个数的平均数是10,那么,第一个数和第三个数的平均数是多少?
4、某班学生女同学人数恰好是男同学人数的一半,男同学的平均体重是41千克,女同学的平均体重是35千克,全体同学的平均体重是多少?
5、35千克奶糖和65千克水果糖配成售价为每千克9元的多元糖,水果糖每千克比奶糖便宜2元。
那么用奶糖80千克、水果糖120千克配成多元糖后,每千克售价多少钱?
6、某次语文测试,甲、乙、丙、丁、戊5人的平均分比丙、丁、戊3人的平均分少4分,甲、乙两人的平均分数是75分,求5个人的平均分数。
7、求等差数列3,7,11,……,643的平均数。
8、以2为首的连续52个自然数的平均数是多少?
9、小明去爬山,上山时每小时行3千米,原路返回时每小时行5千米。
求小明往返的平均速度。
10、运动员进行长跑训练,他在前一半路程中每分钟跑150米,后一半路程中每分钟跑100米。
求他在整个长跑过程中的平均速度。
11、把一份书稿平均分给甲、乙两人去打,甲每分钟打30个字,乙每分钟打20个字。
打这份书稿平均每分钟打多少个字?
12、梨子的箱数是苹果的箱数的一半,苹果平均每箱重28千克,梨子每箱重22千克,两种水果平均每箱重多少千克?
13、某校六年级一班52人,二班48人,数学测评中,两个班全体同学的平均成绩是82分,二班的全体成绩比一班平均成绩高5分,两个班的平均成绩分别是多少?
14、一笔奖金分别奖给金、银、铜牌奖,其中金奖一个的奖金是每个银奖的2倍,每个银奖的奖金是每个铜奖的2倍,如果评金、银、铜奖各两个,那么,每个金奖可得奖金308元,如果评一个金奖,两个银奖,三个铜奖,那么金奖的奖金是多少元?
第四讲倍数问题
(一)
[知识要点]
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一,它是指已知几个数的和或差以及这个数之间的倍数关系,求这几个数的应用题。
解答倍数问题,必须先确定一个数(通常选用较小的数作为标准数,即1倍数),再根据其他几个数与这个1倍数的关系,确定“和”或“差”相当于这样的几倍,最后用除法求出1倍数)。
[范例解析]
例1两根同样长的铁丝,第一根剪去18厘米,第二根剪去26厘米,余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米?
[思路导航]
第一根:
第二根:
图中虚线部分表示剪去的部分。
由于第二根比第一根多剪去26-18=8(厘米),所以剩下的铁丝第一根就比第二根多(3-1)倍。
因比8÷(3-1)=4(厘米),就是现在第二根铁丝的长度,它原来长4+26=30(厘米)。
解:
(26-18)÷(3-1)=4(厘米)
4+26=30(厘米)
答:
原来两根铁丝各长30厘米。
例2甲组有图书是乙组的3倍,若乙组给甲组6本,则甲的图书是乙组的5倍,原来甲组有图书多少本?
[思路导航]
甲组的图书是乙组的3倍,若乙组拿出6本,甲组相应的也拿出6×3=18(本),则甲组仍是乙组的3倍。
事实上甲组不但没有拿出18本,反而接受了乙组的6本,18+6就正好对应着后来乙组的(5-3)倍。
因此,后来乙组有图书(18+6)÷(5-3)=12(本),乙组原来有12+6=18(本),甲组原来有18×3=54(本)。
解:
(6×3+6)÷(5-3)=12(本)
(12+6)×3=54(本)
答:
原来甲组有图书54本。
例3幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。
如果每组领3个梨和4个苹果,结果梨正好分完,苹果还剩16个。
两种水果原来各有多少个?
[思路导航]
因为苹果的个数是梨的2倍,如果每组领梨3个,领苹果3×2=6(个),两种水果最后一起分完。
可实际每组分4个苹果,少分6-4=2(个),16里面有8个2,所以有8组同学,因此,苹果有8×4+16=48(个),梨有8×3=24(个)。
解:
16÷(3×2-4)=8(组)
8×4+16=48(个)
8×3=24(个)
答:
苹果有48个,梨有24个。
例4有两筐桔子,如果从甲筐拿出8个放进乙筐,两筐的桔子就同样多;如果从乙筐拿出13个放到甲筐,甲筐里的桔子是乙筐的2倍。
甲、乙两筐原来各有多少个桔子?
[思路导航]
根据“从甲筐拿出8个放进乙筐,两筐的桔子就同样多”可知,原来甲筐比乙筐多8×2=16(个)桔子。
如果从乙筐拿出13个放到甲筐,这时,甲筐就比乙筐多16+13×2=42(个)。
因此,乙筐里还42÷(2-1)=42(个),原来乙筐里有42+13=55(个),甲筐里有55+16=71(个)。
解:
(8×2+13×2)÷(2-1)=42(个)
42+13=55(个)
55+8×2=71(个)
答:
原来甲筐有71个,乙筐有55个桔子。
例5养鸡场买来100只小鸡,其中,母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。
买来母鸡、公鸡各多少只?
[思路导航]
题中已知母鸡只数和公鸡只数一共100只,就可推出,母鸡只数的4倍速和公鸡只数的4倍的和100×4=400(只),又因为母鸡只数的4倍比公鸡比公鸡只数的3倍多120只,从400只去掉120只,就是公鸡只数的7倍,则公鸡只数为280÷(4+3)=40(只),母鸡只数为100-40=60(只)。
解:
(100×4-120)÷(4+3)=40(只)
100-40=60(只)
答:
母鸡有60只,公鸡有40只。
[习题精选]
1、两个数的和是682,其中一个加数的个位是0,如是把这上0去掉,就得到另一个加数。
这两个加数各是多少?
2、一筐苹果和一筐梨的个数相同,卖掉40个苹果和15个梨后,剩下的梨是苹果的6倍,原来两筐水果一共有多少个?
3、原来小明的画片是小红的3倍,后来二人各买了5张,这样,小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片?
4、一个书架分上、下两层,上层的书的本数是下层的4倍。
从下层拿5本放入上层后,上层的本数正好是下层的5倍。
原来下层有几本书?
5、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍,吃掉10个梨和6个苹果后,还有苹果正好是梨的5倍。
原来买来苹果和梨共多少个?
6、同学们带着水是去看敬老院的6人,带的苹果是桔子的3倍。
如果每位老人拿2个桔子和4个苹果,那么,桔子正好分完,苹果还多14个。
问同学们把苹果发给了几位老人?
7、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍,甲粮库每天运出粮食40吨,乙粮库每天运出30吨。
若干天后,乙粮库的粮食全部运完,而甲粮库还有80吨。
甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨?
8、高年级同学分7人一组植树,已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。
如果每小组分到杉树6棵,杨树8棵,那么,杉树正好分完,杨树还剩20棵。
参加植树的一共有多少人?
9、甲、乙仓库存有货物,若从甲仓库取31吨放入乙仓,则两仓所存货物同样多;若乙仓库取14吨入甲仓,则甲仓的货物是乙仓的4倍,原来两仓各存货物多少吨?
10、学校组织夏令营活动,如果参加的女生名额给5个男生,则男、女人数同样多;如果参加的男生名额给4个女生,则男生是女生人数的一半。
原定夏令营中男、生各多少人?
11、有两块地共80公顷,第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。
这两块地各有多少公顷?
12、体育室有排球和篮球共65个,已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个,排球和篮球各有多少个?
13、甲、乙两人共存款550元,当甲取出自己存款的一半,乙取出自己的70元时,两人余下的钱正好相等。
求甲、乙原来各存有多少钱?
第五讲倍数问题
(二)
[知识要点]
解决倍数问题的关键是,必须确定一个数作为标准数,并根据题中的已知条件,找出其他几个数与这个标准数的倍数关系,再用除法求出这个标准数。
由于倍数应用题中数量关系的变化,要求同学们在解题过程中注意解题技巧、灵活解题。
和倍问题的数量关系是:
和数÷(倍数+1)=较小数
较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是:
差数÷(倍数-1)=较小数
较小数×倍数=较大数
[范例解析]
例1有两堆水果糖,第一堆有82颗,第二堆有46颗,从第一堆拿多少颗水果糖到第二堆,就能使第二堆水果糖是第一堆的3倍?
[思路导航]
两堆水果糖共有(82+46)颗,为了要使第二堆水果糖是第一堆的3倍,就要把总颗数分成(3+1)份,即可求出每份水果,也就是第一堆的现在的个数,其余的都被拿到第二堆去了,进而可求拿走了多少颗。
解:
(82+46)÷(3+1)=32(颗)82-32=50(颗)
答:
从第一堆拿50颗到第二堆,才能使第二堆水果糖是第一堆的3倍。
例2养鸡场的母鸡的只数是公鸡的6倍,后来公鸡和母鸡各增加60只,母鸡增加60×6=360(只),那么,后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。
可实际母鸡只增加了60只,比360只少300只。
因此,现在母鸡的只数只有公鸡的4倍,少了2倍。
所以,现在公鸡的只数是300÷2=150(只),原来有公鸡150-60=90(只),一共养了90×(1+6)=630(只)鸡。
解:
(60×6-60)÷(6-4)=150(只)
(150-60)×(1+6)=630(只)
答:
原来养鸡场一共养了630只鸡。
例3有1800千克的货物,分装在甲、乙、丙三辆车上。
乙知甲车装的千克数正好是乙车的2倍,乙车比丙车多装200千克。
甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克?
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甲车:
乙车:
丙车:
从图中中以看出:
如果丙车多装200千克,就知乙车装的货物同样多,这样,三辆车装的总重量就是1800+200=2000(千克)。
再把2000千克平均分成4份,就得到乙车上装货是500千克,甲车上装500×2=1000(千克),丙车上装有500-200=300(千克)。
解:
(1800+200)÷(1+1+2)=500(千克)
500×2=1000(千克)
500-200=300(千克)
答:
甲车上装有1000千克货物,乙车上装500千克货物,丙车上装300千克货
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