小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx

小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx

《小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小学奥数几何五大模型鸟头模型

三角形等高模型与鸟头模型

模型二鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图

⑴（或D在BA的延长线上，

E在AC上如图2），

则S△ABC:

S△ADE（AB

AC）:

（AD

AE）

A

D

A

D

E

E

B

C

B

C

图⑴

图⑵

【例

1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且

AD:

AB2:

5

，AE:

AC

4:

7，S△ADE

16平

方厘米，求△ABC的面积．

A

A

D

D

E

E

B

C

B

C

【解析】连接BE，S△ADE:

S△ABE

AD:

AB

2:

5

（2

4）:

（5

4），

S△ABE:

S△ABC

AE:

AC

4:

7（4

5）:

（7

5）

，所以

S△ADE:

S△ABC

（2

4）:

（7

5），设S△ADE

8份，

则S△ABC

35份，S△ADE

16平方厘米，所以

1份是

2平方厘米，

35份就是70

平方厘米，△ABC的

面积是70

平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，

共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角

（相

等角或互补角）两夹边的乘积之比

．

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那

page1of8

么三角形ABC的面积是多少？

AA

DEDE

BCBC

【解析】连接BE．

∵EC3AE

∴SABC3SABE

又∵AB5AD

∴SADESABE5SABC15，∴SABC15SADE15．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

AA

E

乙

甲

C

B

D

【解析】连接AD．

∵BE3，AE6

∴AB3BE，SABD3SBDE

又∵BD

DC4，

∴SABC

2SABD，∴SABC

6SBDE，S乙

E

乙

甲

B

C

D

5S甲．

【例

2】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，

E在AC上，且AB:

AD5:

2

，

AE:

EC3:

2，S△ADE

12平方厘米，求△ABC的面积．

D

D

A

A

E

E

B

C

B

C

【解析】连接BE，S△ADE:

S△ABE

AD:

AB

2:

5

（2

3）:

（5

3）

S△ABE:

S△ABCAE:

AC

3:

（3

2）

（3

5）:

（3

2）

5，

所以S△ADE:

S△ABC

（3

2）:

5

（3

2）

6:

25，设S△ADE

6份，则S△ABC

25份，S△ADE12平方厘

米，所以1份是2

平方厘米，

25份就是

50

平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到

一个重要的定理，共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角

（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE（图中阴影部分）的面

积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

DC

F

AEB

【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2

page2of8

倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积

的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32）6倍．因此，平行四边形的面积为

8648（平方厘米）．

【例

4】已知△DEF的面积为7

平方厘米，BE

CE,AD

2BD,CF

3AF，求△ABC的面积．

A

F

D

B

C

E

【解析】S△BDE:

S△ABC

（BD

BE）:

（BABC）（1

1）:

（2

3）

1:

6，

S△CEF:

S△ABC

（CE

CF）:

（CBCA）（1

3）:

（2

4）

3:

8

S△ADF:

S△ABC

（AD

AF）:

（AB

AC）

（21）:

（3

4）

1:

6

设S△ABC

24份，则S△BDE4份，S△ADF

4份，S△CEF

9份，S△DEF

24

4

497份，恰好是7

平方厘米，所以S△ABC

24平方厘米

【例

5】如图，三角形ABC的面积为

3平方厘米，其中

AB:

BE

2:

5，BC:

CD

3:

2

，三角形BDE的面积

是多少？

A

B

E

A

B

E

C

C

D

D

【解析】由于

ABC

DBE

180，所以可以用共角定理，设

AB

2份，BC

3份，则BE5份，

BD325份，由共角定理

S△ABC:

S△BDE（ABBC）:

（BEBD）（23）:

（5

5）6:

25，设

△

份，恰好是

平方厘米，所以

1

份是

平方厘米，

份就是

平方厘米，三角

6

3

0.5

25

25

0.5

12.5

SABC

形BDE的面积是

12.5平方厘米

【例

6】（2007

年”走美”五年级初赛试题

）如图所示，正方形

ABCD边长为

6

厘米，AE

1

AC，

3

CF

1

BC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．

A

3

D

E

B

F

C

【解析】由题意知AE

1

AC

、CF

1

CE

2

AC

．根据”共角定理”可得，

3

BC，可得

3

3

66

2

18；所以S△CEF4；

S△CEF:

S△ABC

（CF

CE）:

（CB

AC）

1

2:

（3

3）

2:

9；而S△ABC

同理得，S△CDE:

S△ACD

2:

3;，

S△CDE

183

2

12，S△CDF6

故S△DEF

S△CEF

S△DEC

S△DFC

412

610（平方厘米）．

【例

7】如图，已知三角形

ABC面积为1，延长AB至D，使BD

AB；延长BC至E，使CE

2BC；延

长CA至F，使AF

3AC，求三角形DEF的面积．

page3of8

FF

A

C

E

A

E

C

B

B

D

D

【解析】（法1）本题是性质的反复使用．

连接AE、CD．

SABC

1

SABC

1

，

∵

，

SDBC

1

∴SDBC

1．

同理可得其它，最后三角形

DEF的面积

18．

（法2）用共角定理∵在

ABC和CFE中，

ACB与

FCE互补，

∴SABC

AC

BC

1

1

1．

SFCE

FC

CE

4

2

8

又SABC

1，所以SFCE

8．

同理可得

SADF

6，SBDE

3．

所以SDEF

SABC

SFCE

SADFSBDE1

863

18．

【例

8】如图，平行四边形ABCD，BE

AB，CF

2CB，GD3DC，HA

4AD，平行四边形

ABCD的

面积是2，求平行四边形

ABCD与四边形

EFGH的面积比．

H

H

A

B

E

A

B

E

G

D

C

G

D

C

F

F

【解析】连接AC、BD．根据共角定理

∵在△ABC和△BFE中，

ABC与

FBE互补，

S△ABC

AB

BC

1

1

1

．

∴

S△FBE

BE

BF

1

3

3

又S△ABC1，所以S△FBE

3．

同理可得S△GCF

8，S△DHG

15，S△AEH

8．

所以SEFGH

S△AEH

S△CFG

S△DHG

S△BEF

SABCD

8815+3+236．

所以

SABCD

2

1

．

SEFGH

36

18

【例

9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA

AB，CB

BF，DC

CG，HD

DA，求四边形

ABCD的面积．

H

H

D

C

G

C

G

D

A

B

F

A

B

F

E

E

page4of8

【解析】连接BD．由共角定理得S△BCD:

S△CGF

（CDCB）:

（CG

CF）1:

2，即S△CGF

2S△CDB

同理S△ABD:

S△AHE

1:

2，即S△AHE2S△ABD

所以S△AHES△CGF

2（S△CBDS△ADB）

2S四边形ABCD

连接AC，同理可以得到

S△DHG

S△BEF

2

S四边形ABCD

S四边形EFGHS△AHE

S△CGF

S△HDG

S△BEF

S四边形ABCD

5S四边形ABCD

所以S四边形ABCD66

513.2平方米

【例

10】

如图，将四边形

ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点

E、F、G、H，若

四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是

．

F

F

E

BA

E

BA

C

G

C

G

D

D

H

H

【解析】连接

由于

于是

AC、BD．

BE

2AB，BF

2BC

，于是

SBEF4SABC，同理SHDG4SADC．

SBEF

SHDG4

SABC

4SADC

4SABCD．

再由于AE

3AB

，AH

3AD，于是

SAEH9SABD，同理SCFG

9SCBD．

于是SAEH

SCFG

9SABD

9SCBD

9

SABCD．

那么SEFGH

SBEF

SHDG

SAEH

SCFGSABCD

4SABCD9SABCD

SABCD12SABCD

60．

【例

11】

如图，在△ABC中，延长AB至

D，使BD

AB，延长BC至E，使CE

1

，F是AC的

BC

2

中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

A

F

BCE

D

【解析】∵在△ABC和△CFE中，

ACB与

FCE互补，

∴

S△ABC

AC

BC

2

2

4

．

S△FCE

FC

CE

1

1

1

又SABC2

，所以SFCE

0.5．

同理可得S△ADF

2，S△BDE

3．

所以S△DEF

S△ABC

S△CEF

S△DEB

S△ADF

2

0.53

2

3.5

【例

12】

如图，

S△ABC

1，BC

5BD，

AC

4EC

，DG

GS

SE，AFFG．求SFGS．

A

F

E

G

S

BC

D

【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有

page5of8

一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也

可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的

3

种情况．

最后求得S△FGS的面积为S△FGS

4

3

2

1

1

1．

5

4

3

2

2

10

【例

13】

如图所示，正方形

ABCD边长为

8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中

点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？

A

E

D

A

E

D

F

F

B

G

C

B

G

C

【解析】连接AF、EG．

因为S△BCFS△CDE

1

82

16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积

4

SAEF8，SEFG

8，再根据”当两个三角形有一个角相等

比等于夹这个角的两边长度的乘积比”

或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”

，得到SBFC16，SABFE

32，

SABF

24，所以SABG

12

平方厘米．

【例

14】

四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．

F

HA

E

B

GC

D

【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．

假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为

4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角

形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1，三角形DEF的面积为49．

66

由于FA

4a

，FB3a

，所以

AFB与三角形DEF的面积之比为

4

3

12．

7

7

49

同理可知

BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为

12，所以

ABC的面积占三角形

DEF面积

49

的1

12

3

13，所以

ABC的面积的面积为

49

13

13．

49

49

6

49

6

【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是

1，则图中虚线围成的五边形

ABCDE的面积是

．

E

A

D

BC

【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六

边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正

page6of8

六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边

形面积的

1，所以虚线外图形的面积等于

13

1

231

，所以五边形的面积是

1031

62

．

6

6

3

3

3

8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。

10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。

page7of8

page8of8