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离散数学B剖析
北京科技大学2006—2007学年度第1学期
离散数学试题(B卷)(时间120分钟)
学院班级学号姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
卷面实际评分
卷面分占总分%
平时成绩占总分%
成绩
总分
得分
一、判断正误(共36分,答错不扣分)
1.集合的∩、∪运算满足结合律,吸收率。
2.命题具有确定的真假值。
3.量词的约束顺序对公式真假值无影响。
4.p→q和⌝p∨q命题等价。
5.⌝∃xθ(x)与∃x⌝θ(x)等价。
6.任何质数阶群不可能有非平凡群。
7.质数阶群必是循环群。
8.自然数集是无限集中最小的集合。
9.有理数集是可数集。
10.若r(R)=R,则R一定是自反的。
11.有限半群必有幂等元。
12.群中有幺元,零元。
13.若f为函数,则(f-1)-1=f。
14.若f,q为函数,则(f◦g)-1=f-1◦g-1。
15.若f,g为入射,则f◦g也是入射。
16.无向连通图的所有结点度数之和等于边数的2倍。
17.有向图中结点入度之和等于出度之和。
18.若无向图中有两对结点的度数为奇数,则存在欧拉路。
19.无向图中有哈密尔顿路的必要条件是任意两对结点度数之和
大于n-1。
20.任何一个循环群必定是阿贝尔群。
21.设是一个代数系统,若∨、∧都是满足交换律,结合律和吸收率,则A上存在偏序关系≤,使是一个格。
23.任意一棵树至少有两片树叶。
24.树是无环连通图。
二、填空(每题2分,共20分)
1.n元集合上共有_____________个关系,____________个自反关系。
2.
左图中,极大元素是____________,极小元素为____________,{a,b,c}的最小上界____________,{f,g,h}的所有下界____________。
3.在平面图中,若v=6,e=10,则r=____________。
4.树中边数和结点的关系是____________。
5.任意一个正整数n,必存在含有____________个元素的布尔代数。
6.设
三、证明(12分)
(1)前提∀x(P(x)→A(x)∨B(x))
∀x(A(x)→Q(x))
⌝∀x(P(x)→Q(x))
结论∃x(P(x)∧B(x))
(2)⌝(P∨(⌝P∧Q))⇔⌝P∧⌝Q
四、设x={1,2,…,10},定义x上一个关系R,∀a,b∈x,∈R当且仅当a-b被3整除。
(8分)
(1)证明R为等价关系.
(2)求由R确定的等价类。
五、设是一个格,那么对于任意的a,b∈A,有a≤b⇔a∨b=b。
(8分)
六、设G是一个有v个结点,e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6。
(6分)
七、设f,g都是群
其中C={x|x∈G1,且f(x)=g(x)}。
(6分)
八、设P1,P2均为某集合的划分,如果在划分P1中的每个集合都是划分P2中每个集合的子集,则P1叫做P2的加细。
证明:
整数集上由模6同余类构成的划分是模3同余类构成划分的加细。
。
(4分)
B卷
北京科技大学200—200学年度第学期
离散数学试题答案及评分标准
九、判断正误(共36分,答错不扣分)
a)√2.√3.
4.√5.
6.√7.√8.√9.√10.√11.√12.
13.
14.
15.√16.√17.√18.
19.
20.√21.√22.√23.√24.√
评分:
每错一个扣1.5。
一十、填空(每题2分,共20分)
1.2nn;2nn2.l,m;a,b,c;k;k,l,m3.64.65.e=v-16.b=c
一十一、证明(12分)
(1)证明:
⌝∀x(P(x)→Q(x))
∃x(P(x)∧⌝Q(x))………………………得1分
P(a)∧Q(a)………………………得1分
∀x(A(x)→Q(x))
∀x(⌝A(x)∨Q(x))
⌝A(a)∨Q(a)………………………得1分
Q(a)
⌝A(a)
∀x(P(x)→A(x)∨B(x))
∀x(⌝P(x)∨A(x)∨B(x))
⌝P(a)∨A(a)∨B(a)………………………得1分
P(a),⌝A(a)………………………得1分
B(a)
P(a)∧B(a)………………………得1分
∃x(P(x)∧B(x))
(2)证明:
⌝(P∨(⌝P∧Q))
⇔⌝P∧⌝(⌝P∧Q)………………………得1分
⇔⌝P∧(P∨⌝Q)………………………得1分
⇔(⌝P∧P)∨(⌝P∧⌝Q)………………………得2分
⇔0∨(⌝P∧⌝Q)………………………得2分
⌝P∧⌝Q
一十二、
(1)证明:
1)R是自反的………………………得1分
2)R是对称的………………………得1分
3)R是传递的………………………得1分
所以,R为等价关系。
………………………得1分
(2)[1]=[4]=[7]=[10]={1,4,7,10}………………………得2分
[2]=[5]=[8]={2,5,8}………………………得1分
[3]=[6]=[9]={3,6,9}………………………得1分
一十三、证明:
(1)∵a≤b,又∵b≤b
∴b≥a∨b………………………得1分
∵b≤a∨b………………………得1分
∴b=a∨b………………………得2分
(2)∵b=a∨b
∴b=a∨b≥a………………………得2分
∴a≤b………………………得2分
一十四、证明:
设连通平面图G的面数为r,当v=3,e=2时,上式显然成立。
………………………得1分
若e≥3,则每一面的次数不小于3,面的次数之和为2e,因此
2e≥3r,r≤2/3e………………………得2分
带入欧拉定理:
2=v-e+r≤v-e+2/3e………………………得2分
2≤v-e/3
6≤3v-e
即e≤3v-6.………………………得1分
一十五、证明:
(1)∀a,b∈C,∴a,b∈G1
有f(a☆b)=f(a)*f(b)
g(a☆b)=g(a)*g(b)
∵f(a)=g(a),f(b)=g(b)
∴a☆b∈C
则,
………………………得1分
(2)设
显然有∀a∈C,a∈G1
f(a☆e)=f(a)*f(e)=f(a)
g(a☆e)=g(a)*g(e)=g(a)
∵f(a)=g(a)
∴f(e)=g(e)
∴e∈C………………………得1分
(3)∀a∈C,显然a∈G1
f(a☆a-1)=f(a)*f(a-1)=f(e)
g(a☆a-1)=g(a)*g(a-1)=g(e)
∵f(a)=g(a),又∵f(e)=g(e)
∴f(a-1)=g(a-1)
∴a-1∈C………………………得1分
∴
∴
………………………得1分
一十六、证明:
只要证
(1)显然,模6和模3同余关系是等价关系。
………………得1分
(2)列出模6同余类和模3同余类。
………………得1分
(3)证明下列之一,其它类以此类推。
………………得2分
[0]6⊆[0]3,[1]6⊆[1]3,[2]6⊆[2]3,[3]6⊆[0]3,[4]6⊆[1]3,[5]6⊆[2]3
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