微积分复习资料 微积分公式运算法则.docx
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微积分复习资料微积分公式运算法则
《微积分》综合复习资料
一、填空题
边际成本为
3、设产量为Q时的成本为C=Q2+10,则产量Q=2时的平均成本
lx2+1—1吒1
设f(x),,则f
(1)=_f(0)=_f(2A
[X—1,1 6、 曲线y=xlnx在点(1,0)处的法线方程是: ff(x)dx=x3+C,则Jf(x)dx= 设需求函数为Q=50-5P,P=2时的边际收益为 A 10、设f(x)=+Jx-兀,则f(x)的定义域 1+x 11、曲线y=x4+1在点(1,2)处的切线方程是 12、设需求函数P=10-Q,则销售量Q=2时的边际收益为 2 (c)f(x)=XC0SX,X忘(-1,1) (d)f(X)=tan(1+x2),x忘(=,址)2、下列级数中绝对收敛的是( 处4 (吒(4)n =e2x 3、下列算式中不正确的是()(a)(xsinx)'=sinx中xcosx(b)(e2x) 2 (c)d(x+;i)=2xdx (d)—ln(1+x)dx1+x 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是() 22 (a)f(X)=x+sinx,x引—1,1](b)f(x)=x,x(-=c,+^c) (c)f(X)=xcosx,X气—1,1)(d) 2 f(x)=log4(1+x),X忘(Y,咼) 1 5、若J(4x3-k)dx=0,则k= 0 (a)-1(b)1(c)0(d)2 6下列算式中不正确的是( (a)(xInX)'=2xlnx+x (b)(sin2x)'=2cos2x 2 (c)d(x+兀)=xdx 7、下列函数对中是偶函数的是 (d)Aln(1+x2)=吕 dx1+x () (a)f(x)-Vx3 4丄2 X+X (b)f(X)=cosx 1+X (c)f(X)=X+sinx (d)f(X)=X+X2 8f(x)Hkx2 [kx—2 X<1 -,在X=1点连续,贝Uk=( X>1 (c)2(d)1 (a)4(b)3 9、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是( X+1 ⑻1g (c)limX~sinxx—cx+sinX (d)职 X-X e—e 址eX+e一 10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是( 22 (a)f(x)=x,x€[0,1](b)f(x)=x,xr=,址) 1 (汕……戸1)(d)fg—'X—r 13x—kX兰1 11、f(x)=«-,在x=1处连续,则k=() Ix+kx>1 (a)0(b)1(c)2(d)3 12、下列算式中不正确的是()唸Ee d (忖f(x)dx=f(x) 1 d22d (c)f——(sinx)dx=sinx+C(d)——fcostdt=cosx、dxdxx 三、判断题 1、 已知f(x-1)=X12+1,则f(X)=X2+2x+2() 2、 如果极限limf(x)存在,则函数f(x)在点a连续() xT 3、 已知边际收益函数为R'(P)=2p,则总收益函数为R(p)=p2() 4、 函数f(x)=sin(2x+1)是周期函数,也是有界函数() 5、 如果函数f(x)在点a的导数存在,则f(x)在点a连续。 反过来也成立() 6、 HzC1d 广义积分JEx是收敛的,无穷级数三乔子也是收敛的() 7、 设L(Q)=R(Q)-C(Q)是某种产品的利润函数,则保本产量是使得利润为零的产量水平 ) 设f(x)=x3,则对任意的实数a,f(a+h)-f(a)=3a2+o(h)() 9、 如果在区间(a,b)上函数f7t): >0,贝U函数f(t)在(a,b)上是下凸函数,但是导函数f‘⑴的单 调性不能确定() 10、曲线汁亠既有水平渐近线,也有垂直渐近线( 1-x 11、设f(x)=(x2-a2)g(x),并且g(x)在点a的连续,则 f(x)在点a可导() 1 12、设f'(ex)=1+e2x,f(0)=1,则f(x)=x+—e2x( 2 四、计算下列各题 y=x2-cos(x2+x)+ln兀,求dy,dy。 dx 1、 2、 把函数f(X)=x2e/展开成x的幕级数。 2、 e 计算fxlnxdx。 1 5、 5、 函数z=1+eXT+x2y2,求空,@z 7、 X21d y=xln(1+x2)+X~+兀,求丄,dy。 1+xdx 求函数x2cos2x的幕级数展开式。 9、 X 设g(x)=x2-Jtddt,求g(x)的极值。 0 1兀、dy 10、y=xsinx+ex+cos—,求——,dy。 3dx 01 11、求幕级数送一(x+1)n的收敛区间。 心n 22 12、设g(x)=e2x—Jg(x)dx,求fg(x)dx. 00 五、解下列各题 1、已知曲线y=f(x)上任意一点的切线的斜率为eX+2008X2007,且曲线过点(0,1),求这条曲线的方程。 2、求由曲线y=厶,直线x=1和X轴所围成的在x31的范围内的平面图形的面积和该平面图 X 形绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 3、 知曲线y=f(x)上任意一点的切线的斜率为4x3+sinX,且曲线过点(0,1),求这条曲线的方程。 4、 5、 求由直线y=x2,y=x,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 已知某公司生产某种产品的总利润L(单位: 元)与每天产量Q(单位: t)的函数关系为 L=250Q-5Q2,求每天生产多少才能使利润最大? 最大利润是多少? 在最大利润生产规模生 产量基础上再多生产一个单位,利润改变多少? 6求由直线y=0和曲线y=sinx,x引0,2兀]所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 参考答案: 一、填空题 +1nx,x》0, I1 1、设f(X)=<1,则f(x)的定义域(_oc,0).(0,Xc),f (一)=_0. LX,x<0- 2、曲线y=x2+ex在点(0,1)处的切线方程是y=x+1. 3、设产量为Q时的成本为C=q2+10,则产量Q=2时的平均成本 —dC C=7边际成本为—=4 dQ lx2+1—1 设fg^x—J1,;;3;,则f(1T.f(0)=1f (2)=」 曲线y=xlnX在点(1,0)处的法线方程是: y=1-x• 6、 32 Jf(x)dx=x+C,则Jf(x)dx=3x+C 设f(x)+Jx+1,则f(x)的定义域[―1,12(1,畑),f(x+1)=丄+j2+x. X—1 8、 曲线y=亠的水平渐近线为y=1,铅直渐近线为X=-1。 1+x 设需求函数为Q=50-5P,P=2时的边际收益为篇一20 10、设f(X)+Jx-兀,则f(x)的定义域[兀,,f(X2+兀)= 1+x 1+(X2+兀)2 11、曲线y=x4+1在点(1,2)处的切线方程是y=4x-2。 12、设需求函数P=10-Q,则销售量 2 =2时的边际收益为 斧8. 二、选择题 1、c2、a3、b4、a5、b 12、d 三、判断题 1>V;2、X;3>V;4、“;5、 X。 四、 &c7、b8、b9、b10、d11、b ;6」;7」;8」;9、X;10」;11」;12、 计算下列各题 1、 解: 22dy y=x-cos(x+x)+ln兀,求一,dy。 dx y,=(x2—cos(x2+x)+ln吟,=2x+(2x+1)sin^x2+x); 2 dy=[2X+(2X+1)sin(x+x)]dx 2、把函数f(x)=x2e'展开成x的幕级数。 解: f(X)=x2e」=x 2d2)n n=0 n! )=Z士八(亠严)ndn! e 3、计算Jxlnxdx。 1 解: 2 xfxlnxdx=Jlnxd (一)112 2 x. =——Inx 2 ee2 「x,e丄1 -f-dx=—+11244 4、 y=2x3+x2+3x,求。 dx 解: 5、 y=(2x3+x2+3x),=6x2+2x+3川卅2,y”=(6x2+2x+3)'=12x+2川山4'y%12川IU5' 把函数f(x)=丄展开成(x-1)的幕级数。 2—X 解: f(x)=—1_(x_1) -1 (x-1)nMII⑸ nT 6、 函数z=1+eX为+x2y2,求竺,2~2. dyby 解、 空二ex*+2x2yi|川3 列 2 g=exJ2x2川川5' 7、 y=xln(1+x2)+xT+兀,求d^,dy。 dx 1+x 解: 2 1+x2 22X2 dy=(ln(1+x2)+^^+1)dxiHIH6' 1+x y=ln(1+x2)+壬+1川11)5’ 8、 求函数x2cos2x的幕级数展开式。 解: x2cos2x=xWink€^^川川5 - x 9、设g(x)=x-Jtddt,求g(x)的极值。 0 3’ 解: g(x)=x(2-ex)=0,得Xi=0,X2=ln2 X巳一比,0),g'(x)<0,g(x)是递减函数,x^(0,ln2),g(x^0,g(x)是递增函数, X亡(In2,+处),g'(x)c0,g(x)是递减函数。 所以,x=0是函数的极小值点,极小值为 2ln2t2tt 极大值为g(ln2)=ln22-0tddt=ln22-(tet-et) 1, -兀、dy 10、y=xsinx+eX+cos—,求——,dy。 3dx 1-, /=sinx+xcosx-pexHHH5'解: x1 11 dy=(sinx+xcosx--e%)川卄|6' x 处1 11、求幕级数送一(x+1)n的收敛区间。 n吕n 处1 解: 令t=x+1,考察级数s-12tn的收敛区间。 心n 1 I=lim(nB=lim―-一2=1,R=1HHIi3,F丄r(n+1)2 —2 n t=T,t=1处级数分别是收敛的级数2^丄川1卄4 心n心n 处1 因此,级数2-1rtn的收敛区间为[-1,1],原级数S三(x+1)n的收敛区间为[-2,0川11116’ 心n 22222 解: 对等式g(x)=e2x一Jg(x)dx两边积分得fg(x)d^=fe2xd^f[fg(x)dx]dx, 00000 2Q4_12 即Jg(x)dx_2Jg(x)dx川川4’ 020 2e4_1 0g(X)d“〒川川6' 五、解下列各题 1、已知曲线y=f(x)上任意一点的切线的斜率为ex+2008X2007,且曲线过点(0,1),求这条曲线的方程。 解: f(X)=ex+2OO8x2007川11W =f(X)=J(ex+2008x2007)dx=ex+x2008+4川|13' 1=f(0)=1+C=C=0川IM4' 二f(x)=eX+x2008川川5' X31的范围内的平面图形的面积和该平面图 1 2、求由曲线y=—,直线x=1和X轴所围成的在 X 形绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 比1_1 解: 面积A=f—dx=— 1XX PC “I川3 1 □c ■TT --1111(15' 13 f'(X)=4x3+sinx|l川|1' =f(x)=J(4x3+sinx)dxHil||2' 解、 =x4-cosx+Cll川14 1=f(0)=C=2,f(x)=x4-cosx+2卅山6* 体积。 解、体积V=仏(X2-x4)dx=至|1川|5'‘015 5、已知某公司生产某种产品的总利润L(单位: 元)与每天产量Q(单位: t)的函数关系为 L=250Q-5Q2,求每天生产多少才能使利润最大? 最大利润是多少? 在最大利润生产规模生 产量基础上再多生产一个单位,利润改变多少? 解: L'=250-10Q=0=Q=25,L”=—10cOHIlia 因此,产量规模为每天生产Q=25(t)时获利最大,最大利润为L(25)=3125(元)。 在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位,利润改变 iL=L26卜L(2乌|卅|‘5 6、求由直线y=0和曲线y=sinx,x引0,2兀]所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积。 2开 sinxdx 体积V“r(sinx)2dx“『1-COS2XdxR2—沢泌 2兀 "2川1116’ 1 把函数f(x)展开成(X-1)的幕级数。 2—X
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