倒序相加法.docx
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倒序相加法
倒序相加法
倒序相加法(对偶原理)
1.倒序相加法,对偶原理的来源
2.使用倒序相加的常用类型及常见对f禺最
3.常用构造对偶量的方法
4.双倒序相加法
说到对偶原理,首先我们想到的是伟大数学家在I•岁的时候
计算I+2+3+...+100:
1+2+3+...+100=(1+100)+...(50+51)=50x101=5050
Gm储通过配对的方法,把1,2,3…这些变化量的累加变成常量的和从而大大减小了运算量.
而这种配对的方法,我们把它称作对偶原理
事实上,在高中数学的数列部分,我们推导过等差数列的前n项和S”:
S”=4+a2...+an,an为等差数列:
a”+am=ap+q,(/?
+wi=p+g)我们把改写成a”
那么2S”=丈(畋+q+)f(6+%),S”=⑷詩)
i=1/
这种方法称为倒叙相加法.事实上倒序相加也为对偶原理其关键在
于通过合理的配对,使得某两项相加为定值,使得计算简化
我们把某两项和为定值的量称为对偶量,那自然就要问,冇哪些常见的对偶量,比如前面提到的a”+a”=勺,+褊,(幵+加=p+q)这里我们直接给出一些常见对偶量:
1Y兀21
/«=-—,l7^:
/⑴+/(-)=1
4’bx°,
心才吋:
/(小心円
sin2x+sin2(y-x)=1
等差数歹U:
an十am=a/f十陽,(加十”=p十g)
例1.求sin'1+sin'2+...sin'89
4'JLk
例2./(x)=—-,^SW=XA-)
2+4n
事实上,S”=./(—)+/(—)+•••/(—),我们可以验(x)+f(\—x)=1
nnn
那么2S„=$/($+/(□
nnnnn
贝02S,严S+1)・1,S”=¥
例3./G)=占,求s”,s,r=/(I)+/
(2)+,../(20⑷+/(》+/(9+•••/(扣例4・/(x)二亍和厶(心,旳)为函数上两点记陋中点腿⑴证明当斗+x2=1时,0的纵坐标为定值
(2)%=/(巴),求%前n项的和
m
例5.等差数列a”,前4项和为26,末4项和为10,所有项之和=187,渝
例7•求证:
C\+2C:
+…nC:
=门2心
例8己矢nf(x)+/(a-x)=b,6+an=a2+=a3+art_2=...=ap+an_p+}=a
S,严工/(%),求=+
Jt=!
/
事实上,该例总结了可用倒序相加法(对偶原埋)的一类问题我们特地给岀证明
证明:
s,严/a)+/a)+…/a)
则2:
=工f(ak)+/(①-阳),而q+J=a2+a^=a.+a^2=...=ap+aH^=at=i
得到2S”=£/(q)+/(a”),考虑至lj/(x)+f( A=1 那么2S“=nb,S产斗 其余例题的解答留给读者. 以上内容中,我们介绍了哪些问题可以使用倒序相加或对偶原理,或者说,哪些问题比较容易看出來用倒序相加法.但是往往有些问题,用倒序相加,对偶原理來解决比较容易,但是如何使用这种方法才是真正的难点.通常情况下,不知道对偶量,使得我们无法解题通俗的讲,不容易把那些和加为定值的量找出來.因此在下面的内容中,我们主要解决这个问题,其中很重要的方法就是构造对偶量. 我们先引入一个例子: 求siii210+cos'40+sin10cos40 此处我们将正弦与余弦对偶: 令M=sin210°+cos240°+sin10cos40 N=cos210+sin240+cos10siii40 那么得至I史M+TV=2+sinl0co$40+coslOsin40=2+sin50 M-N=-cos20+cosSO+sin10cos40>—cosiOsin40”=一一一sin502 因此 M+N=2+sm50 1 M—N=——sin504 2 下面我们介绍一些常见的构造对偶量的方法,使得我们可以使用倒序相加或 者对偶原理事实上,构造对偶量十分灵活的,因此我们不给出通性通解,只给出典型的类别: 利用三角函数构造对偶量;利用共轨与和差关系构造对偶量;直接倒序相加型;轮换变量构造对偶量. 1.三角函数对偶 主要利用: sm2x+cos2x=1,sinxcosx=—sui2x,(Insinx+Incosx=hi—sin2x) cosxcosy+sinxsilly=cos(x-y),cosxcosy-sinxsiiiy=cos(x+y) 例1・解方程: cos2x+cos22x+cos23x=I.xg0,—.2_ 令M=cos2x+cos22x+cos23x,N=siii2x+sin22x+siii23x 那么立即得到M+N=3,(l) M_N=cos2x+cos4x+cos6x=2cosxcos3x+2cos23x-l =2cos3x(cosx+cos3x)-1=4cosxcos2xcos3x-1, (2) (1)+ (2): cosxcos2xcos3x=—(2M-2),而M=1 4 那么cosxcos2xcos3x=0,cosx=0或cos2x=0或cos3x=0 例2•求cos210+cos'50-siii40sin80 =sin240+siii280-siii40sin80 构造对偶量: 令M=cos210+cos250-siii40sin80 N=cos240+cos'80+cos40cos80 3那么M+N=2—cosl20=— 2 N_M=cos80+cos160+cos40=2cos120cos40+cos40=0 3 M+N—j3 2,得M=- 4N—M=0 7t 2tt 3龙 ^7t 5龙 COS—cos ——cos ——cos ——COS 11 11 11 11 11 7t 3龙 4龙 5龙■■ .7t・ 2龙. 3龙. 4龙. 5龙 COS—cos ;——COS ;——COS——COS——•N =sin—sm ——Sill ——sm ——Sill — 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1・17t ・4龙 .6兀 .8龙 10龙 1„ 例3•求 令M MN=——sin——sin——sin——sin——sin=—— 32111111111132 该例子表面上是倒序相乘,但原理和倒序相加一样,都是先构造对偶量再配对. 例4•求sin210+cos240+sin10cos40 例5.(/MO.1963)证明]cos—-cos—+cos—=- 7772 zxq—人a7T27t3龙厂it2兀3龙、 (捉不: 令A=cos—-COS——+COS——,D=Sill—-SU1——+SU1——)777777 解答留给读者 2.利用共轨与和差关系构造对偶 对于/(X)+g(X),可以构造对偶式/'(X)-g(X) 对于z=a+bi,(a,bwR),可以构造共轨.Z=a-bi 将构造出的对偶式与原来的关系联立 例1.一个比较容易的例子 xg(0,彳),3sinx+4cosx=5,求tanx 令M=3sinx+4cosx,N=3sinx-4cosx smx= ,得到< cosx= sm2x+cos‘x=1、7V=——,tanx=- 54 一般的.asinx+bcosx=M,求tanx asmx+bcosx=M“士、u <.f»解出smx’cosx关十N的表达式 asmx-bcosx=N 最后利用sufx+cos2x=1,求出sin.赢cos兀tan.y 例2.JF+&Y+21+y/x2-Sx+21=10 利用和差构造对偶: \jx2+Sx+21-\/x2-8x+21=a &+8X+21+JF-8x+21=10 < \/x2+8x4-21->/^2-8x4-21=a 得到 yjx2+8X+21=1°;", (1) y/x2-8X4-21=~~~~,⑵ (l)2+ (2)「2x2+42=*(100+巧 (l)2- (2)2: 16x=10« 得到x=±- 3 一般的,求解形如Jax'+Zzx+c+yjdx2+fx+g=M,设Jor^+bx+c-yjdx2+fx+g=N y]ax2+bx+c+y]dx2+fx+g=M y/ax2+bx+c-yjdx2+fx+g=N 例3.zgC,解方程zz-3iz=l+3i 构造对偶式及+3々=1-引 二―1+3[解得: z=_]或]_3, zz+3k=1—3/ 例4.zGC,|z|=1,且ZH±1,证明i二三为纯虚数z+l M=—.N=二,则M+N=—+i^=0z+lz+lz+lz+l X—0,所以㈡为纯虚数z+lz+l 相比我们设z=0+bi,计算量要少 以上三个例子我们可以发现,利用和差或者共轨对偶入手比较容易,并且在上面几个例子,过程也不太复杂,下面我们给出几个过程稍微困难的例子,但思路还是很自然,仍为构造对偶量. 例5.(1+松『=? 当然可以直接计算,但是运算量会比较大 构造对偶量一设A=(1+妇)6,B-1)6, 那么很容易算出A+3=416 事实上,计算A+耐运算量直接减少一半,读者可自行验证 同时注意到: 0<>/3-1<1,那么: A=415 例6见=(斗丐)",〃为正整数,讨论©的奇偶性 同样我们构造对偶量d=土色上二上血,并且我们注意到 22 。 和b为为二次方程: 亍-3兀-2=0的两根 我们写出对偶量之和: 兀=a”+b”,同时也要找出兀的性质 xn+2=an+2+bn+2=(严+b,,+l)(a+b)-ab(an+b")=3xn+l+2xn xL=a+b=3,x2=a2+b2=13为奇数 那么根据递推我们可得出: £为奇数. 注意到: -1? <0, (1加为偶数时「0Vb"V1,X”=G”+b”=0]+1捡为奇数,则[d”]为偶数 ⑵〃为奇数时: -l 综上所述4的奇偶性与〃相同 例7.4beN\a+b42=(l+VI)100,贝hZ的个位数为多少(提示: 利用对偶立即可以得出: a-bj2=(l-V2)100比=寺((3+2>/2)100-(3-2忑)之后类似于上例) 解答留给读者 这一类主耍应用在证明不等式上,我们特地把它总结于此主要是考虑不等式的结构,然后轮换字母构造对偶式例1.证明】对任意实数。 >L、b>1,等一+>8 b-\a-1 人a2b2b2cr b-1a-1b-lb-1 则M—N=+唤_»20,即M汕 b-1a-\(b_l)(a-1) >8 N=b+l++a+1+—^—=4+(b-l)+—^—+(a-1)+—^— b-1a-lb-1a-l 所以M2TV2&M2&当且仅当d=b=2时成立 2122 例2qb,cw/T,求证: +—^―+——>ci+bb+cc+a双倒序相加,顾名思义就是两次倒叙,我们最终要得出两个结论 /*xra2+b2b2+c2c2+cra+bb+cc+a 那么M+N=++>++ a+bb+cc+a222 M_N=O、M=心'"+° 2 例3.证明: 对于和为啲正数04,6,・・心有如下不等式 (提示: 构造对偶量"='二+出一+...」一) a2+qa,+a2q+an 例4•设a,+b2+c2+d2<1,求证: (a+b)4+(a+c)4+(a++(b+c)4+(b++(c+d)4<6 (提示: 考虑对偶式3=(d-b)4+...(c-d)4.) 最后我们介绍双倒序和加法. 等差数列%的前〃项和组成的数列求和可以用双倒序和加法 0”为等差数列,则叫的前〃项和可以用双倒序相加 我们从一个例子引入: 求数列丄1+2,1+2+3,...,1+2+...+“的和 S”=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n), (1) 我们对S“做如下的恒等变换 S”=1+(2+1)+(3+2+1)+...+(〃+(〃一1)+...1), (2) S”=〃+((〃—1)+(/? —1))+((/? —2)+(〃—2)+(/? —2))+...+(1+1+...+1),(3) (1)+ (2)+(3)得到 3S”=(/? +2)+2(/? +2)+3(/? +2)+...〃(〃+2) =(n+2)(1+2+3+...+〃)=丄n(n+1)(//+2) 那么s“=〃(〃+l)(〃+2) 6 我们再尝试用此方法解决另一个经典的求和: s“=甘="("+U0+1)k=L6 S“=F+2'+3'+...+"2 注意到",=1+3+5+...+(2〃一1) S”=1+(1+3)+(1+3+5)+...+(1+3+5+...2.11—1) Sn=1+(3+1)+(5+3+1)+...4-((2〃一1)+⑵7-3)+...1) S”—(2〃—1)4-((2〃—3)+(2〃—3))+...(1+1+1+...+1) 相加得到 3S”=(2/? +1)+2(2〃+1)+3(2〃+1)+...〃⑵7+1)•S”=+ f6 现在我们要得出一般的结论I 对于等差数列arl=a+bn,他的前〃项和组成的数列»片…工 前〃和为0则7>7>切+1)(3: +(〃+幼) 证明: Tn=(ci+b)+((a+b)+(a+2b))+@+b)+(a+2b)+(a+3b))+…((a+b)+…(a+nb))两次倒序: Tn=(ci+b)+((a+2b)+(a+b))+((a+3b)+(a+2b)+(a+b))+...((a+nb)+…(a+b)) Tn=(ci+bn)+2(d+(/? -l)b)+...n(ci+b) 相力口得3佥=(3a+(”+2)b)+2(3a+(“+2)b)+...n(3a+(n+2)b)=(1+2+...”)(3a+(/? +2)b)rrn(n++(77+2)b) 为了证明我们的第二个结论,我们还是从例子引入 求和: lx4+2x7+3xl0+...+〃(3〃+l) S”=4+(7+7)+(10+10+10)+...(⑶7+1)+...+⑶7+1)) S”=(3〃+1)+((3/? +1)+(3〃—2))+…+((3〃+1)+(3〃—2)+...+7+4)) S”=(3/7+1)+(⑶? 一2)+(3/? +1))+...+(4+7+...+(3/? -2)+(3/? +1))么3S〃=(6n+6)(1+2+3+•…+n)=3n(n+1)2 则S”="("+1)2 和上面的情形几乎一样,都是采用的双倒序相加法 接着我们给出一般的结论: 对于等差数列: ciH=a+bn,数歹ij: lq,2冬,,…的前”项和Tn (3a+b+2伽)(1+2+3+...77) 证明: 人=(d+b)+((a+2b)+(d+2b))+・・・((a+b〃)+・・・(a+b〃)) Tn=(ci+bn)+((a+bn)+(a+b(n-1)))+・・.((a+bn)+・…+(a+b)) Tn=(ci+bn)+((a+b(n-1))+(a+bn))+・・・((a+b)+・•・+(a+bn)) 贝|〕3人=(3a+b+2bn)(l+2+3+…〃) (3a+b+2伽)(1+2+3+…〃)"3
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