第一章 行列式试题及答案.docx
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第一章行列式试题及答案
第一章行列式试题及答案
第一章行列式试题及答案
一选择题(每小题3分,共30分)
⑴n元排列i1i2„in经过相邻对换,变为in„i2i1,则相邻对换的次数为()
(A)n(B)n/2(C)2n
(D)n(n-1)/2
2x1-1⑵在函数f(x)=-2x-x4x中,x3的系数是()
1
2
x
(A)-2(B)2(C)-4(D)4
⑶若Dn=det(aij)=1,则det(-aij)=()
(A)1(B)-1(C)(-1)n
(D)(-1)
n(n-1)/2
λ1
λ1
⑷设
λ2
λ2
=
,则n不可取下面的值是()
λnλn
(A)7(B)2k
+1(k≥2)(C)2k
(k≥2)(D)17
⑸下列行列式等于零的是()
3210030-10
3-16
(A)-321(B)0-10(C)300(D)2
240
01
1
3
01
1
6
2
⑹行列式D非零的充分条件是()(A)D的所有元素非零(B)D至少有n个元素非零(C)D的任何两行元素不成比例
(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解a2+1
ab
ac
⑺
abb2+1bc=()ac
bcc2+1
a2
abac
100
a2abac1abac
(A)abb2bc+010(B)abb2+1bc+abb2+1bcacbcc2001
acbcc2+1acbcc2+1a2abac1abaca2
abac1abac
(C)abb2+1bc+0b2
+1bc(D)abb2bc+ab1bc
acbcc2+10bcc2+1acbcc2acbc1
b+cc+aa+b
⑻设a,b,c两两不同,则a
bc=0的充要条件是()
a2
b
2
c
2
(A)abc=0(B)a+b+c=0(C)a=1,b=-1,c=0(D)a2
=b2
c=0a1
b1
⑼四阶行列式
a2b2b()
3a=3
b4
a4
(A)(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)(B)(a1a4-b1b4)(a2a3-b2b3)(C)(a1b2-a2b1)(a3b4-a4b3)(D)(a1b4-a4b1)(a2b3-a3b2)
⎧x1+2x2-2x3=⑽齐次线性方程组⎪
⎨2x1-x2+λx3=0只有零解,则λ应满足的条
⎪⎩3x1+x2-x3
=0件是()
(A)λ=0(B)λ=2(C)λ=1(D)λ≠1
二填空(每小题3分,共15分)
⑴在五阶行列式中,a12a53a41a24a35的符号是_________。
00013
00032
⑵五阶行列式00183=___________。
0207530026-15
7
-8
⑶设D=
1
111
20-9
6,则5A14+A24+A44=_______。
-34
3
7
ab0⑷若a,b是实数,则当a=___且b=___时,有-ba
0=0。
-10-x1
x2x3
⑸设x1,x2,x3是方程x3+px+q=0的根,则行列式x3
x1x2=__。
x2
x3
x1
三计算行列式(每小题6分,共30分)
11231
3
-1-1
2
2a2
(a+1)2(a+2)2(a+3)2⑴2
310⑵b2
-1-(b+1)2(b+2)2(b+3)21
2301
c
2
(c+1)2(c+2)2(c+3)2
-22
10
d2
1(d+1)2
(d+2)2(d+3)2
+x
1
1
1ab
cab
⑶
1
1-x11111+y1⑷cab
1
1
1
1-y
cab
ca
xaaa
b
xaa
⑸Dn=
(a≠b)
bbxabbbx
四证明题(每小题10分,共20分)
⑴用归纳法证明:
任意一个由自然数1,2,„,n构成的n元排列,一定可以经过不超过n次对换变成标准排列12„n
ax+by+c=0
⑵设平面上三条不同的直线为bx+cy+a=0,
cx+ay+b=0证明:
三条直线交于一点的充分必要条件是a+b+c=0
五解答题(5分)
⎧λx1+x2+x3=0λ和μ取何值时,⎪
⎨x1+μx2+x3=0有非零解?
⎪⎩x1+2μx2+x3=0
参考答案
一、选择题
⑴(D)⑵(A)⑶(C)⑷(A)⑸(D)⑹(D)⑺(C)⑻(B)⑼(B);⑽(D)二、填空题⑴“-”
调换乘积中元素的位置,使行标成标准排列a12a24a35a41a53,此时列标排列的逆序数为t(24513)=5,故该项带负号。
⑵42
00013
100183=(-1)2⨯3⨯
13⨯2=4202075
32
330026⑶-150
用5,1,0,1替代原行列式中的第四列,按第四列展开,有-15755A1111
14+A24+A44=
20-90
=-150-34
3
1
⑷a=0,b=0
ab0-ba
0=-
ab
2+b2)=0a=0,b=0
-10-1-ba
=-(a⑸0
由题意知k(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,其中x3
的系数为k,x2
的系数为-k(x1+x2+x3),与原方程比较,得k=1,x1+x2+x3=0。
将行列式的第2,3行加至第1行,并对第1行提取公因子,得x1x2x3111x3x1x2=(x1+x2+x3)x3
x1x2=0x2
x3
x1
x2
x3
x1
三、计算题
11
2
3
1
0-1
-1
3
3-1-122
1-5-720⑴2
3-1-10
r1-r4
23-1-1012301r2-2r4
12301-22110
-2
2
1
1
-1-130-1-13按第5列展开
(-1)4+5
1-5-72r4+r31-523-1-1--72
23-1-1
-2
2
1
1
5
按第4行展开
0-13-5⨯1-7
2
r3-2r0-132
-5⨯1-7
2
2-1-1013-5
按第1列展开5⨯-13
13-5
=-170a2(a+1)2(a+2)2(a+3)22a+12a+32a+5⑵b2
(b+1)2(b+2)2(b+3)2c4-c3a2b2
2b+12b+32b+5
c
2
(c+1)2(c+2)2(c+3)2c3-c22
d2
(d+1)2(d+2)2
(d+3)2
cc2c+12c+32c+52-c1d
2
2d+12d+32d+5
a2
2a+122c4-c3b22b+122
c3-c2c2
2c+122=0d22d+122
+x
1
1
1
xx
00⑶
11-x11r1-r211-x11111+y1ry
y
3-r400
1
111-y
1111-y
110
0第1,3行提取公因子xy
11-x1
1001
1
1
111-y
110
r4-r1xy11-x1
1001
1
=x2y2
11-y
abcab⑷对n阶行列式
c
a
按第一行展开,得递推公式
b
caDn=aDn-1-bcDn-1
于是有D3=aD2-bcD1=a(a2-bc)-abc=a3
-2abc
D4=aD3-bcD2=a(a3-2abc)-bc(a2-bc)=a4-3a2bc+b2c2D5=aD4-bcD3=a5-4a3bc+3ab2c2
xaaa
xaaa+0b
xaabxa
a+0⑸Dn=
=
bbxabbxa+0bbbxbbba+(x-a)
xaaaxaa0bxaab
xa0=
+
bbxabbx0bbbabbb(x-a)
xaa1bxa1
=a
+(x-a)Dn-1
bbx1bbb1
x-ba-ba-b1
cx-ba-b1
i-bcn(i=1,2,,n-1)
a
+(x-a)Dn-1
x-b1
1
得递推公式Dn=a(x-b)n-1+(x-a)Dn-1①Dn的转置行列式相当于将a,b互换,于是有
Dn=b(x-a)n-1+(x-b)Dn-1②
因为a≠b,①⨯(x-b)-②⨯(x-a),得
Dan=
(x-b)n-b(x-a)n
a-b
⑴设n元排列为i1i2„in。
当n=2时,最多只需1次对换即可得标准排列12,结论成立。
假设结论对n-1元排列成立,下面证明对n元排列也成立①若元素in=n。
根据归纳法假设,i1i2„in-1可经过不超过n-1次对换变成12„(n-1),亦即i1i2„in-1in可经过不超过n-1次对换(
不妨设ik=n,只需对换元素ik和in,即得第①种情形,故i1i2„in可经过不超过n次对换变成12„n⑵必要性
设三条直线交于一点(x0,y0),则x=x0,y=y0,z=1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解,
⎧⎪
ax+by+cz=0⎨bx+cy+az=0⎪⎩cx+ay+bz=0abc
故系数行列式D=bc
a=0即
cab
D=-(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=-1
2
(a+b+c)⋅[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]
=0
由于三条直线不同,因此,a,b,c不能全部相等,故a+b+c=0。
充分性
已知a+b+c=0,要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。
⎧⎪
ax+by=-c⎨bx+cy=-a①⎪⎩
cx+ay=-b将前两个方程相加,有
(a+b)x+(b+c)y=-(c+a)
由于a+b+c=0,得-cx-ay=-b,即第三个方程。
因此,满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程),去掉第三个方程,方程组①变为
⎧⎨
ax+by=-c
②⎩
bx+cy=-a其系数行列式D=
ab
bc
=ac-b2=ac-(a+c)2=-(a2+c2-ac)=-1
[a2+c22
+(a-c)2]
显然D≠0[否则,a=c=0,并由此得b=-(a+c)=0,这与ax+by+c=0
是直线方程矛盾]
因此,方程组②亦即方程组①有唯一解,三条直线交于一点。
五、解答题
齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零,即
λ
11
11
D=1
μ1
r3-rλ
2
1
μ1=-μλ1
=-μ(λ-1)=012μ1
0μ0
11
故λ=1或μ=0时,方程组有非零解。
四、证明题
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