小学数学《最大与最小》练习题含答案.docx
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小学数学《最大与最小》练习题含答案
小学数学《最大与最小》练习题(含答案)
例题精讲
【例1】当A+B+C=10时(A、B、C是非零自然数).A×B×C的最大值是____,最小值是____.
分析:
当为3+3+4时有A×B×C的最大值,即为3×3×4=36;
当为1+1+8时有A×B×C的最小值,即为1×1×8=8。
【前铺】两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?
分析:
将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情况:
15=1+14,1×14=14;
15=2+13,2×13=26;
15=3+12,3×12=36;
15=4+11,4×11=44;
15=5+10,5×10=50;
15=6+9,6×9=54;
15=7+8,7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。
结论:
如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。
特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大.
【前铺】1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少?
分析:
8531和7642。
高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是8,7,百位分别是6,5。
两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。
同理可确定十位和个位数.
【巩固】比较下面两个乘积的大小:
a=57128463×87596512,b=57128460×87596515.
分析:
对于a,b两个积,它们都是8位数乘以8位数,尽管两组对应因数很相似,但并不完全相同。
直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。
仔细观察两组对应因数的大小发现,因为57128463比57128460多3,87596512比87596515少3,所以它们的两因数之和相等,即57128463+87596512=57128460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差,根据上题结论,可得a>b
【例2】两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?
分析:
48的约数从小到大依次是1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。
所以,两个自然数的乘积是48,共有以下5种情况:
48=1×48,1+48=49;
48=2×24,2+24=26;
48=3×16,3+16=19;
48=4×12,4+12=16;
48=6×8,6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14.
结论:
两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。
【巩固】要砌一个面积为72米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?
分析:
将72分解成两个自然数的乘积,这两个自然数的差最小的是9-8=1。
,猪圈围墙长9米、宽8米时,围墙总长最少,为(8+9)×2=34(米).
【例3】有一类自然数,它的各个数位上的数字之和为2003,那么这类自然数中最小的是几?
分析:
一个自然数的值要最小,首先要求它的数位最小,其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003,要想数位最少,各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003÷9=222……5,所以满足条件的最小自然数为:
【巩固】有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数中最大的自然数是多少?
分析:
要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故10112358满足条件.如果最前面的两个数字越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取1与0.
【例4】99个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一个苹果.问:
这群小朋友最多有几位?
分析:
1+2+3+…+13=91<99,1+2+3+…+14=105>99,说明若13位各分得1,2,3,…,13个苹果,未分完99个,若14位各分得1,2,3,…,14个苹果,则超出99个.因91+8=99,在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上,就可得合题意的一个分法:
13人依次分1,2,3,4,5,7,8,9,lO,11,12,13,14个.所以最多有13位小朋友.(注:
13人的分法不唯一)
【巩固】公园里有一排彩旗,按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列,小红看到这排旗的尽头是一面粉旗.已知这排旗不超过200面,这排旗子最多有多少面?
分析:
旗子排列是9面一循环,关键在于最后几面旗子,如果最后四面都能是粉旗那就好了.200÷9=22…2,所以最多可以出现200-2=198面旗子,共22个循环.
【例5】(第四届希望杯1试)一位工人要将一批货物运上山,假定运了5次,每次的搬运量相同,运到的货物比这批货物的
多一些,比
少一些。
按这样的运法,他运完这批货物最少共要运次,最多共要运次。
分析:
这道题目用到了极值判断法。
我们首先向学生介绍下题,体会极值判断法:
【前铺】(第一届希望杯1试)一艘轮船往返于A、B码头之间,它在静水中船速不变,当河水流速增加时,该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______(填“多”或“少”)
分析:
极限判断,当水速为10,船速是20时,我们可以往来A,B两地,当河水速度增加时,比如增加到20,这样逆水时,船速=水速,永远到不了B地,所以时间变多了。
怎么样,现在你能解决例题么?
假定5次运的恰好等于
,则每一次最少运
÷5=
,所以最多运1÷
=
≈9次;
假定5次运的恰好等于
,则每一次最多运
÷5=
,所以最少运1÷
=
≈7次.
【例6】有一筐苹果,把它们三等分后还剩两个苹果;取出其中两份,将它们三等分后还剩两个;然后再取出其中两份,又将这两份三等分后还剩2个。
问:
这筐苹果至少有几个?
分析:
因为要求至少多少个,所以我们可以先假设最后的每一份只有1个苹果。
那么,第三次没有操作前的两份就有1×3+2=5个,2汾是5个显然不对。
我们再假设最后的每一份有2个苹果。
还原:
第三次取出的两份有2×3+2=8个,每份8÷2=4个;第二次取出的两份有4×3+2=14个,每份14÷2=7个;原有7×3+2=23个.
【例7】149位议员中选举一位议长,每人可投一票.候选人是A,B,C三人.开票中途,A已得45票,B已得20票,C已得35票.如果票数最多者当选,那么A至少再有多少票才能一定当选?
分析:
45+20+35=100,还有149-100=49(票).45-35=10,如果49票中有10票都给C,49-10=39,那么A至少还要有20票才能当选.
【巩固】冬季运动会共有58面金牌,至今A队已得lO面,B队已得11面,C队已得13面.如果A队要想金牌数居第一位,A队至少还要得多少面金牌?
分析:
10+ll+13=34.还有58-34=24(面)可争夺.A队要再得4面,才超过C队.在余下的奖牌中不能少于一半,即再得4+(24-4)÷2=14(面),才能确保金牌数居第一位.
【例8】某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?
分析:
(法1):
只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下:
由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。
本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。
(法2):
因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此:
车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数=站号×(15-站号)。
因此只要比较下列数的大小:
1×14,2×13,3×12,4×11,5×10,6×9,7×8,8×7,9×6,10×5,11×4,12×3,13×2,14×1.由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位.
此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
【例9】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:
123456789101112……9899100
从中划去100个数字,那么剩下的92位数最大是多少?
最小是多少?
分析:
要得到最大的数,左边应尽量多地保留9。
因为1~59中有109个数码,其中有6个9,要想左边保留6个9,必须划掉1~59中的109-6=103(个)数码,剩下的数码只有192-103=89(个),不合题意,所以左边只能保留5个9,即保留1~49中的5个9,划掉1~49中其余的84个数码。
然后,在后面再划掉16个数码,尽量保留大数(见下图):
所求最大数是9999978596061…99100。
同理,要得到最小的数,左边第一个数是1,之后应尽量保留0。
2~50中有90个数码,其中有5个0,划掉其余90-5=85(个)数码,然后在后面再划掉15个数码,尽量保留小数(见下图):
所求最小数是100000123406162…99100。
【巩固】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:
123456789101112……9899100从中划去170个数字,剩下的数字形成一个22位数,这个22位数最大是多少?
最小是多少?
分析:
在前100个自然数中,共有20个9,再保留后面的“10”,即得到最大数:
99999…99100(20个9);最小数的第一位是“1”,再保留10~90中的9个“0”,再在91~100中留下12个尽量小的数,即得最小数:
1000000000123456789100.
【例10】某班学生50人,年龄均为整数,年龄的平均值为12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过3.那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?
如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?
分析:
因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁),所以年龄最大的能是12+3=15(岁).如果有人年龄达到15岁,那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁),所以最多有7人的年龄大于12岁,小于15岁.
【巩固】有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那么这四袋糖块的总和至少有多少块?
分析:
最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数,故不小于61÷3=
,即它不小于21.从而四袋糖总和不小于21十61=82(块).比如四袋糖数量分别为21,21,20,20即可.
【例11】现有三堆苹果,其中第一堆苹果个数比第二堆多,第二堆苹果个数比第三堆多。
如果从每堆苹果中各取出一个,那么在剩下的苹果中,第一堆个数是第二堆的三倍。
如果从每堆苹果中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。
问原来三堆苹果数之和的最大值是多少?
分析:
先每堆拿出一个,这样第一堆就是第二堆的3倍:
“如果从每堆苹果中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍”,第三堆最少剩一个,那么第一堆的每一份就是:
(34-2)÷2=16,即三堆分别有:
16×3+1=49,16+1=17和16个,总数:
49+17+16=82个;如果第三堆剩2个,那么第一堆的每一份为:
(34-4)÷2=15,各堆分别为:
15×3+1=46,15+1=16和14个,总数减少.显然第三堆留下的越多,第一堆的每一份就越少,总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.
【例12】若干名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长和老师共有22人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师,那么在这22人中,爸爸有多少人?
分析:
家长比老师多,所以老师少于22÷2=11人,即不超过10人;相应的,家长就不少于12人。
在至少12个家长中,妈妈比爸爸多,所以妈妈要多于12÷2=6人,即不少于7人。
因为女老师比妈妈多2人,所以女老师不少于9人。
但老师最多就10个,并且还至少有1个男老师,所以老师必定是9个女老师和1个男老师,共10个。
那么,在12个家长中,就有7个是妈妈。
所以,爸爸有12-7=5人。
【例13】阶梯教室座位有10排,每排有16个座位,当有150个人就座,某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少,这样的排数至少有多少排?
分析:
至少有4排.如果10排人数各不相同,那么最多坐:
16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人);
如果最多有2排人数一样,那么最多坐:
(16+15+14+13+12)×2=140(人);
如果最多有3排人数一样,那么最多坐:
(16+15+14)×3+13=148(人);
如果最多有4排人数一样,那么至多坐:
(16+15)×4+14×2=152(人).
148<150<152,所以,至少有4排.
【巩固】红星小学的礼堂里共有座位24排,每排有30个座位,全校650个同学坐到礼堂里开会,至少有多少排座位上坐的学生人数同样多?
分析:
从极端情形考虑,假设24排座位上坐的人数都不一样多,那么最多能坐:
(30+7)×24÷2=444(人);
假设只有2排座位上坐的学生人数同样多,那么,最多能坐:
(30+19)×12÷2×2=588(人);
假设只有3排座位上坐的学生人数同样多,那么,最多能坐:
(30+23)×8÷2×3=636(人);
而题中说全校共有学生650人,因此必定还有(650-636=)14人要坐在这24排中的某些排座位上,所以其中至少有4排座位上坐的学生人数同样多。
附加题目
【附1】把17分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大?
分析:
假设分成的自然数中有1,a是分成的另一个自然数,因为1×a<1+a,也就是说,将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好,所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的乘积大于原来的自然数。
例如,5=2+3<2×3,8=3+5<3×5。
也就是说,只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应该有大于4的数。
如果分成的自然数中有4,因为4=2+2=2×2,所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到,分成的自然数中只有2和3两种。
因为2+2+2=6,2×2×2=8,3+3=6,3×3=9,说明虽然三个2与两个3的和都是6,但两个3的乘积大于三个2的乘积,所以分成的自然数中最多有两个2,其余都是3。
由此得到,将17分为五个3与一个2时乘积最大,为3×3×3×3×3×2=486。
结论:
整数分拆的原则:
不拆1,少拆2,多拆3。
【巩固】把14拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,如何拆可以使乘积最大?
分析:
14拆成3、3、3、3、2时,积为3×3×3×3×2=162最大.
【附2】某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种,为了能支付1元、2元……100元的钱数(整数元),那么至少需要准备货币多少张?
分析:
为了使货币越少越好,那么9元的货币应该尽量多才行。
当有10张9元时,容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。
当9元的货币超过11张时,找不到比14张更少的方案。
当9元的货币少于10张时,至少有19元需要由5元以下的货币构成,且1元的货币至少2张,这样也找不到比14张更少的方案。
综上分析可以知道,最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的,共14张货币。
【附3】在五位数22576的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的六位数中最大的是几?
分析:
225776
【巩固】在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的七位数中最小的是几?
分析:
8654473.
【附4】如图,小明要从A走到B,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数.请问小明最快需几分钟?
分析:
从A到B要想最快,肯定不能走回头路,路线分为过C点和不过C点两类.
①不过C点有两条路:
第一条是15+7+9+18=49(分钟);
第二条是14+6+17+12=49(分钟);
两条路所用时间相同.
②经过C点的路线分为两段,A→C、C→B.同上面一样:
A→C:
①14+13=27(分钟);
②15+11=26(分钟).
C→B:
①10+12=22(分钟);
②5+18=23(分钟).
在分析已知条件时。
很可能会出现不同情况和不同结果,而且不好推理说明谁是极端情形,那就应该列举比较.所以从A→C→B最少用48分钟,比前面不过C的少用1分钟.
【附5】设自然数n有下列性质:
从1、2……n中任取50个不同的数,其中必有两数之差等于7,这样的n最大不能超过多少?
分析:
当n=98时,将1、2……98按每组中两数的差为7的规则分组:
{1,8}、{2、9}、……{7,14}、{15,22}……{90,97}、{91、98}。
一共有49组,所以当任取50个数时,必有两个数在同一组,他们的差等于7。
当n=99时,取上面每组中的前一个数,即1、2……7、15……21、29……35、43……49、57……63、71……77、85……91和99一共是50个数,而它们中任2个的差不为7。
因此n最大不能超过98。
【附6】有26个不同国家的集邮爱好者,想通过互相通信的方法交换各国最新发行的纪念邮票,为了使这26人每人都拥有这26个国家的一套最新纪念邮票,他们至少要通多少封信?
分析:
不妨设这26个集邮爱好者中的某一个人为组长.
一方面,对于组长,要接收到其他25个国家的最新纪念邮票,必须从这25个集邮爱好者的手中发出(不管他们是否直接发给组长),至少要通25封信;同样地,其他25个集邮爱好者分别要接收到组长的一套纪念邮票,必须由组长发出(不管组长是否直接发给这25个集邮爱好者),至少要通25封信,总计至少要通50封信.
另一方面,其余25个集邮爱好者每人将本国的一套最新的纪念邮票25份或26份发给组长,计25封信;组长收到这25封信后,再分别给这25个集邮爱好者各发去一封信,每封信中含有25套邮票(发给某人的信中不含其本国的邮票)或26套邮票(发给某人的信中包含其本国的邮票),计25封信.总计50封信.这就是说通50封信可以使这26人每人都拥有这26个国家的一套最新纪念邮票.
因此他们至少要通50封信.
【附7】据说“背运岛”上共有96个居民.在当地政府决定推行5条改革措施后,每条措施都正好受到了半数岛民的反对.后来岛民决定举行集会,而参加集会的都是对半数以上措施表示反对的人.请估计参加集会的人数最多是多少.(举例说明不可能有更多人参加)
分析:
最多能有80人参加集会.
设参加集会的有x人,我们来统计“反对”人次的总数.一方面,每条措施都有半数岛民反对,所以总数就是96÷2×5=240.另一方面,每位与会者都至少要反对3条措施。
由此可知“反对”的人次总数将不少于3x.于是有3x≤240,也就是x≤80.所以参加集会的人数不会比80更多.请自己举出正好有80人参加集会的表决方案.
练习十四
1.某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人?
分析:
因为参加竞赛的有28+23+20=71(人).让这71人尽可能多地重复,71÷2=35…1,所以至多有35人参加两科.
2.小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人.若用电话联系,每通知1个人需1分钟,而见面可一次通知60个人,但需10分钟,问:
完成传达任务最少需多少分钟?
(每人均有电话)
分析:
应该充分发挥每个人的作用,即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人.因此,可以先花10分钟安排一次见面通知,然后凡被通知的人再不断打电话,到第14分钟时共可通知:
(1+60)×2×2×2×2—1=975(人),因此最少用14分钟.
3.有十个互不相同的两位奇数,其和为818.问其中最小的数最大可能是多少?
分析:
要求“小的尽可能大”,那么“大德就尽可能小”,也就是所有数越接近越好.
818÷10=81.8,介于81和83之间.我们不妨先取81,79,77,75,73和83,85,87,89,91,其和为820,比818多2.显然只能让最小的那头少出2,即72变为71.所以最小数的最大可能为71.
4.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?
分析:
假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球,数字和可增加(6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加(5-4=)1。
为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有(8-3-1=)4个是红球。
5.某学校,星期一有15名学生迟到,星期二有12名学生迟到,星期三有9名学生迟到,如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人?
分析:
三天都迟到的要尽量多,则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的.可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人).
6.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
分析:
把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24,添上加、减号的算式是:
10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
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