菱形问题分类例析.docx
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菱形问题分类例析
菱形问题分类例析.
动手操作折菱形
折纸是一种既有趣味性,同时也能培养我们
的动手操作能力和思维能力的一种活动,通过折纸可以得到许多美丽的图案,下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。
一、从三角形纸片中折出菱形
例1、将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠:
(1)将三角形的纸片ABC
BC点的某条直线折叠,使沿过B的交AC得到折痕与与BA重合,O
点D。
图ABC再将三角形的纸片2()重合,得到折D与点B沿某条直线折叠,使点痕与BA、BCF。
、的交点E是菱形。
则四边形EBFD分析:
关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等,然后熟练利用菱形的判定进行说理。
下面是菱形的方法很多,本题说明四边形EBFD一一予以说明。
,∠解:
由第一步折叠可知:
∠ABD=CBD-2-
由第二步折叠可知:
EF垂直平分BD,
∴BE=DE,DF=BF,OD=OB,
∴∠ABD=∠EDB.
∴∠EDB=∠CBD.
又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD≌△FOB,∴DE=BF.
∴BE=DE=DF=BF.
∴四边形EBFD是菱形(四边相等的矩形是菱形).
二、从矩形纸片中折出菱形
例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠:
将矩形的纸片ABCD沿某条
重合,D直线折叠,使点B与点O
。
F、BC的交点E、得到折痕与AD图则四边形EBFD是菱形。
一样,分析:
虽然纸片不同,但方法同例1下面说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多,只选一种予以说明。
,∴BD解:
由折叠可知:
EF垂直平分OD=OBDF=BFBE=DE,,,-3-
∴∠EBD=∠EDB.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠FBD,又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD
≌△FOB,∴DE=BF.
∴BE=DE=DF=BF.
∴四边形EBFD是菱形(四边相等的矩形是菱形).
菱形中的计算题
在矩形中,常见的计算题有求线段的长,角的度数,图形的周长与面积等。
菱形作为特殊的平行四边形问题,平行四边形的性质它都具有,同时还具有它本身所特有的性质,即菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
下面举例说明这些性质在解题中的应用。
一、求角的度数
的ABCD,如图1例、1菱形-4-
一条对角线BD长为12cm,周长为48㎝,求这个菱形的内角的度数。
解析:
如图1,因为四边形ABCD为菱形,
周长为48㎝,
所以AB=BC=CD=DA=12㎝,
又若BD=12㎝,所以AB=AD=BD,
所以ABD为等边三角形,所以∠A=60°,?
所以又∠ABC=∠ADC=120°,则∠C=60°。
例2、如图2,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,求∠CEF.
解析:
连结AC.因为∠B=60°A,AB=BC
BD
所以△ABC是等边三角形,F
E
60°,,∠所以AB=ACBAC=C
图∠因为∠CAF60°=,+∠CAE,∠BAE=60°+CAE.
BAE所以∠=∠CAF=是菱形,所以∠BCD因为四边形ABCD=180°-∠B120°,AC,平分∠BCDACF,=∠,即∠=所以∠ACF60°B,在△ABE=∠中,因为∠ACF和△BACF-5-
=∠CAF,AB=AC,∠BAE=AF,ABE≌△ACF,所以AE所以△是等边三角,所以△AEF60°因为∠EAF=
60°,形,即∠AEF=80°,=60°+20°=BAE因为∠AEC=∠B+∠60°80°-AEC-∠AEF=所以∠CEF=∠.
20°=二、求线段的长
㎝,相例3、菱形的周长为20,求菱形邻两角的度数之比为1:
2的较短的对角线长。
图,因为四边形解析:
如图3∠∠A+,则CD∥AB所以为ABCD菱形,°,A=60,ADC=1:
2则∠又∠ADC=180°,A:
∠所㎝,又因为菱形的四条边相等,即AB=AD=5,则AB=BD=5cm以ABD为等边三角形,所以?
菱形的较短的对角线长为5cm。
三、求图形的周长的两条4,菱形ABCD4例、如图A
,、ACBD的长分别是24和10对角线OBD积,面长的菱则形周为
C为。
图-6-
解析:
由于菱形的两条对角线互相垂直平以OA=12,OB=5,所所分,以,又菱形的四条边都相=13=AB=22225OB?
?
12OA
。
等,所以菱形的周长为521×=+SDB面又菱形的积为SBCDABD△△2111=BD×)AC=120。
BD×OC=BD×(OA+OA+OC222由此可以得到,菱形的面积等于两条对角线积的一半。
四、求图形的面积
例5、如图5,菱形ABCD中,AB=4,E为BC的中点,AE⊥BC于E,AF
AF与AE,CGCD于点F,CG∥⊥G于点,交AD交于点H的面积)求菱形ABCD(1图CHA的度数
(2)求∠的中点,为BC)连结AC,∵E解析:
(1∴又∵菱形的四边相等,∴AB=AC,,AE⊥BC,AB=BC=AC=4,
=2∴AE=
223BE?
AB=84的面积为×2∴菱形ABCD
33⊥CGBCAEAECG2()因为∥,又⊥,所以-7-
,CD为等边三角形,ACDAF⊥CD,又可得△∴∠,°,所以∠AHG=60°易得∠DAF=30°。
CHA=120
BO求出RtABO说明:
此题也可以利用?
的面ABCDBD长,利用菱形的长,从而求出积是其对角线积的一半,求出菱形的面积。
菱形的对角综观上述例题,我们可以看出,线将矩形分成四个等腰三角形和四个全等的直又可得某些等边三角形,角三角形,再由特殊角,然后利用等边三角形的性质以及勾股定理来解决问题。
解决菱形问题时,在充分运用它们边、还常常把它们转化为等角和对角线的性质同时,将等腰三角形腰三角形和直角三角形中的问题,菱形的性质结合起和直角三角形的性质和矩形、来进行求解。
练习:
A中,不一7,在菱形ABCD1、如图OBD)定成立的(
C是平行四边形ABCD)四边形(A图(B)AC⊥BD
CAB)∠D(是等边三角形ABD)△C(CAD=∠-8-
答案:
菱形作为特殊的平行四边形,平行四边形的性质它都具有,同时它还具有平行四边形不具有的性质:
四条边都相等,对角线互相垂直,
每一条对角线都平分一组对角。
所以A、B、D都是正确的,△ABD只能是等腰三角形,要是等边三角形,还需增加条件。
故选C。
菱形“条件追溯型”试题赏析
这类问题的基本特征是:
针对一个结论,条件未知需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是:
执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过-9-
常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的程中,应引起误将必要条件当作充分条件,可逆与否,.
.注意现从中考试题中采撷几例,予以分析
的1如图1,四边形AABCDD
对角线互相平分,要使它变为OBC
(形,需要添加的条件图.填一个你认为正确的即可)比较容解析:
本题是对菱形判定的直接考查,因问题便可迎刃而解.只要对判定方法熟悉易,,的对角线互相平分,所以四边形为四边形ABCD若应用一组邻边相等的平行为平行四边形,ABCDAB=BC;四边形是菱形来判定,则需要添加条件若用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判BD.
AC⊥定.则需要添加条件中,ABC22如图,在△例
,的中点,连结ADDAB=AC,是BC,连结的延长线上取一点EAD在2
图
BE,CE.
ACE≌△)求证:
△ABE(1满足什么数量关系时,四AE与AD
(2)当
.边形ABEC是菱形?
并说明理由因为,ACE,ABE:
分析欲证△≌△=ABAC-10-
这可由等腰三只需证其夹角相等,AE是公共边,是若四边形ABEC角形的三线合一性质得到;
(2),因为菱形的对角线互相垂直且平分菱形
,
的中为点D1()证明:
∵AB=ACBC
点,
AE=AE∴∠BAE=∠CAE
)ACE(SAS≌△∴△ABE)DEAE=(或AD=DE或=2
(2)当AEAD12是菱形时,四边形ABEC
理由如下:
DE==2AD,∴ADAE∵
CD=BC中点,∴BD又点D为为平行四形边∴四边形ABEC
AB=AC∵为菱形∴四边形ABEC解这类问题,应从分析题中己有条件,:
评注通过分(包括从图形中找的条件)和结论着手,然后根据己析、联想找出结记成立的必备条件,知条件,加以补充、完善、验证.已知:
如图,在:
趁热打铁GA
D
将是BC边上的高,AE中,ABCD
BC
FE-11-
重合,得.方向平移,使点E与点C沿GFCABE△BC△)求证:
;(1DGBE?
满足什么数量与BC
(2)若,当AB°?
60?
B
关系时,四边形是菱形?
证明你的结论.ABFG)∵四边形是平行四边形,证明:
(1ABCD.∴CD?
AB方向平沿∵是边上的高,且是由BCCGBCAEAE移而成..∴ADCG⊥.∴°?
90?
AEB?
?
CGD∵,CG?
AE∴.CDG△Rt△ABE≌Rt∴.DGBE?
3时,四边形(2是菱形.)当AB?
BCABFC2,,∵BFAG∥AB∥GF是平行四边形.∴四边形ABFG,∵中,°ABE△60?
B?
Rt∴,°?
BAE?
301∴.?
BEAB23∵,?
BC,AB?
BECF
2-12-
1.∴AB?
EF
2.∴BFAB?
是菱形.∴四边形ABFG
-13-
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