湖北省武汉市部分学校学年高三上学期起点质量检测数学试题解析版docx.docx

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湖北省武汉市部分学校学年高三上学期起点质量检测数学试题解析版docx

2021〜2022学年度武汉市部分学校高三起点质量检测

一、选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z的共貌复数另满足（l+i）z=i,则2=（）

【答案】D

【解析】

【分析】结合复数的除法运算求出另，根据共貌复数的概念即可求出结果.

/、__ii（l-i）1+i1111

【详解】因（l+i）』i,则z=*=（i+i）（i_i）=5=/m则z=厂丁，

故选：

D.

一pcos2a/、

2.右tana=2,贝U=（）

1一sinla

11

A.—B.—C.-3D.3

33

【答案】C

【解析】

2•2

【分析】结合二倍角公式以及同角的平方关系化简得到一,c°sa—sina,进

cosa+sina-2cosasina

而结合同角的商数关系得到关于tan。

的式子即可求出结果.

【详解】因为

cos2a_cos2or-sin2a_1-tan2a_1-22_

c,+2

x=——

5

。

2一3

y=———

10

（-2c—3同理设直线x+2y+l=。

与直线3x—4y+q=。

的交点为B,则一~^―，^-

由菱形的性质可知BD±AC,且BD,AC的斜率均存在，所以kBD-kAC^-l,

|cj—c2|=2\/5

故选：

B.

4.某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比

值为（）

【答案】C【解析】【分析】设圆柱得底面半径为R，则高为2R,球的半径为R,分别求出圆柱和球得表面积,即可得出答案.

【详解】解：

设圆柱得底面半径为R,则高为2R，球的半径为R,所以圆柱体表面积s=27TR2+&R•27?

=6*,

球得表面积禹=物叱,所以圆柱体表面积与球体表面积的比值为竺与=-.

4*2

故选：

C.

2

5.在一次试验中，随机事件A,3满足P（A）=P（B）=§,则（）

A.事件A,B一定互斥B.事件A,3一定不互斥

C.事件A,8一定互相独立D.事件A,3一定不互相独立

【答案】B

【解析】

【分析】根据互斥事件的概念即可判断.

【详解】因为尸（A）+P（B）＞1,所以事件A,8一定不互斥，

故选：

B.

6.

要得到函数y=sin（2x+^j的图象，可以将函数y=cosf2x-^j的图象（）

C,向右平移£个单位长度D.向左平移£个单位长度

66

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到y=sin|^2x+|y进而结合平移变换即可求出结果.

［详解］因为y=c°s〔2x—g］=sin^2x——+—=sin^2x+—,

而y=sin2p一志］+：

故将函数y=cos〔2x-的图象向右平移兰个单位长度即可，

故选：

A.

7,在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：

处理前处理后

则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）

【答案】A

【解析】

【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.

【详解】为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，结合选项只有A选项能够较好的达到目的，

故选：

A.

2

8.设双曲线E/2—%_=i的左右焦点为g,F2,左顶点为A,点肱是双曲线E在第一象

限中内的一点，直线M鸟交双曲线E的左支于点N,若NA//MF2,则|初项=（）

【答案】B

【解析】

FN1/、/、

吒―6%

4'4

后将的坐标分别代入双曲线的方程，解方程组可得易，为，然后根据两点间的距离公

式即可求出结果.

【分析】由题意可得京■=}设设M（xo,yo）（xo>O,yo>O）,则N

FA1

由题意知：

R（-2,0）,§（2,0）,A（-1,0）,所以1A^2

F.N1/、

瓦7=厂设M（和允）（入0>°，为>°），则N

7.

工0=一I

:

而，所以网|=倡一2故选：

B.

二、多选题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列关于空集的说法中，正确的有（）

A.0G0B.0c0C.0g{0}D.

0^{0}

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断

B、D选项.

【详解】A：

因为e用于元素与集合之间，故A错误；

B：

因为空集是任何集合的子集，故B正确；

C：

因为{0}中的元素是0,故C正确；

D：

因为空集是任何集合的子集，故D正确；

故选：

BCD.

10.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：

11.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题目条件结合扇形图逐一分析各个选项即可得出答案.

【详解】解：

设三年前的总利润为s则今年的总利润为3a,

对于A,调整前房地产业的利润为45%・。

，调整后房地产业的利润为25%・3。

=75%・。

所以调整后房地产业的利润有所上升，故A错误;

对于B,调整后医疗器械的利润增长量为40%-3a-20%・a=a,调整后房地产业的利润增长量为0.75。

—0.45。

=0.3。

，

调整后金融产业的利润增长量为10%・3。

—25%・。

=0.05。

，调整后生物制药的利润增长量为25%•3。

—10%•。

=0.65。

，所以调整后医疗器械的利润增长量最大，故B正确；

对于C,调整后生物制药的利润增长率为25%次。

-10%・。

=65,10%•«

..,..,,,,10%■3a—25%,a-_倜整后金融产业的利润增长率为=0.2,

25%-a

调整后医疗器械的利润增长率为4°%.3a-20%・a=5,

20%-a

所以调整后生物制药的利润增长率最高，故C正确；

对于D,根据调整后的扇形图可知调整后金融产业的利润占比最低，故D正确.

故选：

BCD.

11.数列｛%｝依次为：

1,

11111111111111

—，—，—，—，—，—，—，—，，，，，，33355555777777

其中第一项为上，接下来三项均为;，再接下来五项均为k依此类推.

799135

记｛«„）的前〃项和为S,,则（）

1_1

A.«ioo=—B.存在正整数k,使得ak>2血］

【答案】ACD

【解析】【分析】根据数列规律即可求出Qi。

。

，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B选项；求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列

单调性的概念，比较即可判断D选项.

n〃+1

【详解】A：

由数列可知占了数列的2〃-1项，且相对应的2〃-1项的和为1,

2n-l

1+3+5+•••+2〃一1=W,〃2=］00,所以“=10,故％00=_=［，故A正确；

2x10-119

B：

若（〃一1）2,则=21］，故2,：

］〉2上］，即>n，

与（n一可〈kVr^tk’nwN*）矛盾，故B错误；

C：

若A7<〃v（*+l）,k,neN*,贝0Sn=Sk2+m=k-\,0

+1,

2k+1

而k+工-扁,

2k+l

若n-k2y则淅=0,故人4n=k-插=0；

2k+1

若k2

故

m

所以追=Sf=*20+1=Zie+k+m,

nk2+mk~+m（2*+1）（尸+秫）

Sf1S加2k2+k+m2k2+Rm+1

Ulll—n〃+i—

、nn+1（2*+1）（*2+m）（2*+1）（炉+m+l）

（2^2+k+771）（人2+771）+（2^2+k+771）-（2上?

+k+771）（好+fTlj-（声+771）

（24+1）（砂+m）（.2+m+l）

k2+k八

=>0

（2R+1）（序+山）（好+m+l）

ss1s］

所以故数列"是递减数列，故D正确.

nn+1InI

故选：

ACD.

【点睛】数列求和的方法技巧:

（1）倒序相加：

用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

（2）错位相减：

用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

（3）分组求和：

用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不同的数列，或者周期性数列.

（4）裂项相消

Px+1

12,已知函数/.则（）

e+k

A.当k=0时，/'（x）是R上减函数

B.当上=1时，/'（X）的最大值为号2

C.f⑴可能有两个极值点

D.若存在实数。

，b,使得+为奇函数，贝'\k=-l

【答案】AB

【解析】

【分析】A：

求导以后判断导函数的正负即可判断A选项；

B：

eW=r>0,贝=配凑法结合均值不等式即可判断B选项；

r+1

C：

判断极值点的个数等价于判断e2x+2ex-k=0的根的个数，从而可判断C选项;

D：

结合函数的对称性，以及函数图象的变换即可判断D选项；

【详解】A：

当k=0时，=则==—^^<0,所以f（x）是

eee

R上的减函数，故A正确；

Px+1

B：

当人=1时，=-,令e、=r>0,贝。

I'e2%+l

t+1t+1111V2+1

y—==V=—=

尸+1Q+l）2—2（f+l）+2（f+i）_2+：

2"f+l）.¥—22很-22

当且仅当时，取得最大值，所以/'（X）的最大值为号2,故B正确；所以e2x+2ex=k>令h（x）=e2x+2ex,贝ih'（x）=2e2x+2ex>Q,所以7z（x）在「上单

调递增，而XT-8时，/?

（x）-*0,时，//（x）T+co,所以^e（O,-H»）时，

e2x+2ex-k=0有一个根，故/'⑴有1个极值点，兀（*,0］时，e2x+2ex-k=0无解，故/'⑴无极值点，故/'（X）不可能有2个极值点，故C错误；

D：

因为g（%）=/（x+a）+Z＞^j＜函数，所有g（x）关于（0,0）对称，将

g（x）=f{x+a）+b向右平移a个单位，向下平移力个单位可得/■（X）的图象，故/'（工）关

2a-x

x.12a—x.i

于（a,-Z?

）对称，故f（x）+f（2a-x）=-2b,所以——+——=—2b,若k=一1,

e+ke+k

即e2v-2ex+e2a=—2阮2,+2b（e2a+l）ex-2be2a,

-2b=1

因此2碓2〃+1）=—2,由-2/7=1和e2“=—2施2。

可得2b=-l,代入2Z?

（e2a+1）=-2,e2fl=-2b*。

可得e2a+l=l，即e2a=0,方程无解，故不存在实数。

，Z?

使之成立，故D错误；故选：

AB.

【点睛】

（1）可导函数;y=Ax）在点xo处取得极值的充要条件是六&）=0,且在xo左侧与右侧/（*）的符号不同.

（2）若川）在怎，力）内有极值，那么/U）在（sb）内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线＞2=2x上两点A,B与坐标原点。

构成等边三角形，则该三角形的边长为

【答案】4^/3

【解析】

【分析】由抛物线和等边三角形的对称性可设A,3的坐标，再结合等边三角形的性质可得g=E|yJ，求出|yj，即可求出结果.

【详解】由抛物线和等边三角形的对称性可设所以由等边三角形的性质可得§=右|用，所以|"=2右，所以该三角形的边长为4右，

故答案为：

4^3-

14.（x+2y）（x-y）5的展开式中亍的系数为.

【答案】-15

【解析】

【分析】把（x-y）5按照二项式定理展开，可得（x+2y）（x-y）5的展开式中/寸的系数.

【详解】

（x+2y）（x-y）5=（x+2y）-（c?

-%5-C^-%4y+C|-x3/-C^-x2y3+C"-V/-Cf•/）,

故它的展开式中%2/的系数为C；-2C；=-15,

故答案为：

-15.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

15.平行四边形ABCD中，ABAD=5＞点尸满足序.PD=8-则瓦.PC=.

【答案】3

【解析】

【分析】结合平面向量的加减法运算法则以及平面向量的数量积的运算律化简整理即可求出结果.

【详解】由题意可知：

PAPC=（l3D-AD）（Pb+AB^

=PD+PD-AB-AD-PD-M）-AB

=f7）2+PD（AP+PB）-（AP+PZ））PZ5-ADAB

^PD+PDAP+PDPB-APPD-PD-AD-AB

=PDPB-ADAB

=8-5

=3,

故答案为：

3.

16.空间四面体ABC£＞中，AB=CD=2,AD=3C=2右.AC=4,直线时与AC所

成的角为45。

，则该四面体的体积为.

【答案】*1

3

【解析】【分析】由条件可得△ABC,△ZMC为直角三角形，作直角三角形△&BC和ZXDAC斜边上的高BE,DF,作平行四边形BEFG,由此可得直线BQ与AC的平面角为ZDBG,AC±平面QFG,解三角形确定三棱锥D-ABC底面ABC上的高，利用体积公式求体积.

【详解】AB=2,BC=2也,ACM,AWLBC为直角三角形，

同理可得MAC为直角三角形，

如图，作直角三角形△ABC和AZMC斜边上的高BE,DF,

则AE=CF=1

E,F是线段AC的两个四等分点，

作平行四边形BEFG,贝ijBE±AC,DF±AC,

由线面垂直判定定理可得AC上平面DFG,又ACU平面ABGC,

:

.平面ABGCL平面DFG,

在平面QFG内，过点。

作DHLFG,垂足为H,

由面面垂直的性质定理可得£>H_L平面ABGC,

:

.为四面体ABCQ的底面ABC上的高，由三角函数定义可得DH=DF•sinZDFG又因为BG//AC,所以BG±DG,

又因为直线BQ与AC所成的角为45。

，所以/DBG=45。

△25GB为等腰直角三角形，

.IGD=GB=EF=2

在aDFG中GD=2,BE=DF=^3

由余弦定理可求得cosZDFG=L,sin/DFG=XZ

33

114、「

所以四面体的体积V=—Sh=—Sam•DF•sinZDFG=-^―■

33ec3

故答案为：

时2.

3

D

【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

1平移：

平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

2认定：

证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

3计算：

求该角的值，常利用解三角形；

4取舍：

由异面直线所成的角的取值范围是［。

，号，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.

四、解答题：

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设数列｛%｝的前〃项和为S“，满足S"=l—〃a“ScN*）.

（1）求数列｛。

"｝的通项公式；

（2）设数列的前兀项和为T“,求的表达式.

%

即（n+l）a=（«-!

）«!

因此一=,

、7v7an_xn+1

ana}a0劣n—1n—2n—311

所以％=—匹——--Oj=XXX---x-x—

〃an-lan-2an-3H+l〃Tt~\32

1

〃〃（〃+l）'

1

经检验，〃=1时成立，所以％=―；

（2）-_=（—1）〃〃（〃+1）=（—1）〃（疽+刃，an

所以

7；„=-（1+1）+（22+2）-（32+3）+（42+4）^（2h-1）2+（2n-l）］+［（2n）2+2n］

=-12+22-32+42（2〃-1尸+伽）2-1+2-3+4（2n-l）+2n

=3+7（471—1）+〃

—2+n

=2rf+2n

18,在如图所示的六面体ABCDEF中，矩形ADEF1平面ABC。

，AB=AD=AF=1.

CD=2,CD±AD,AB!

/CD.

【详解】

（1）连接相交于G,因为矩形ADEP,所以G是DF的中点，又因为H为CF

中点，所以GH/ADC,且GH=-DC,又因为CD=2,AB=1,AB//CD,所以GW//AB,2

且GH=AB，所以四边形GHBA为平行四边形，故HB//AG,又因为平面ADEF,AGu平面ADEF,因此BHH平面ADEF；

（2）因为矩形ADEF1.平面A8CD,且矩形ADEFC\平面ABCD=AD，又CD±AD,所以CD1平面ADEF,又因为EDLAD,所以ED,CD,AD两两垂直，故以。

坐标原点，DA为x轴，DC为》轴，DE为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以

B（l,l,0）,C（0,2,0）,E（0,0,l）,F（l,0,l）,

设平面3CF的法向量为另=（知了"1）,且配=（—1,1,0）,或=（1,—2,1）,因此

BCn=0

CFn=0

—玉+Ji=0

x{-2yx+z{=0

设平面CEE的法向量为0=（x2，y2，z2），且CE=（O,-2,l）,CF=（l,-2,l）,因此

_2力+z?

=0_/、

/-2力1=。

’取卜’则WE），

CE-m=

CF-m=

/—m-nlx0+lxl+lx23y/15

则海时）=丽=扃e顽

设二面角B-CF-E的平面角为a,又因为二面角的平面角的范围是［0,疗］,所以sinere[0,1],故sin«=Jl-胃=胃，所以二面角B-CF—E大小的正弦值面

19.在平面凸四边形ABCD中，ZBAD=3O°,ZABC=135°,AD=6,BD=5,

BC=3^2•

（1）求cosZDBA.

（2）求CD长.

4

【答案】

（1）y；

（2）7

【解析】

【分析】

（1）在△A3Z）中根据正弦定理求解sinZDBA,再求解cosZDBA即可；

（2）先求解cosZQfiC,再根据余弦定理求解CD即可

【详解】

（1）在△A3。

中，由正弦定理一——=一竺一，可得

sin/ABDsinZA

八“八ADsmABAD6x?

3,故cos/DBA=土Jl—sir?

ZDBA=土，,

sinZABD==———=一5

BD55

443"

又当cosZDBA=——时，因为（^/£>&4=—兰<一翌％=<^龙，此时

5524

3774

ZDBA>—=ZABCf不能构成凸四边形，故cos/DBA=—

45

（2）在△BCD中，cos/D3C=cos（ZABC-ZABD）=cos]¥-/AB£）]

=-—cosZABD+—sinZABD=—（--^}=-—,

222^55J10

【点睛】本题主要考查了解三角形在求解几何图形中的应用，需要根据题意分析边角关系,再在合适的三角形中利用正余弦定理求解，属于中档题

20.在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”,

“百,,，“年，，四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果.

（1）求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；

（2）用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX.

5517

【答案】

（1）；

（2）—.

1288

【解析】

【分析】

（1）结合两个计数原理以及古典概型的概率公式即可求出结果；

（2）求出X的可能取值，进而求出对应的概率，结合期望的概念即可求出结果.

【详解】

（1）因为有放回，所以每位同学都有四种选择，故共有4x4x4x4=256种，

其中最后的结果中没有“建”“党”两字，有2x2x2x2=16种，

只有“建”或者只有“党”字，有2x（C：

x2x2x2+C：

x2x2+C：

x2+l）=130种，

所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为256-16-130=_55_；

256128

（2）X的可能取值为：

4,3,2,1,

*'25664

3

32

A4

p（x=l）=二

I7256

1345317

—+3x—+2x—+lx—=—641664328

21.已知函数f（x）=2（x—2）lnx+ax2—1.

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点处的切线方程;

（2）若/（x）>0恒成立，求实数。

的取值范围.

【答案】

（1）2x+y-l=0-

（2）a>l

【解析】

4

【分析】

（1）对函数进行求导得到f（x）=21nx-—+2,再根据导数的几何意义，即可得

%

到答案;

（2）先根据/

（1）..0得到a.A,缩小。

的取值范围，再利用放缩法证明/（%）>0在a..l恒成立，即可得到答案；

x—24

【详解】

（1）当a=0时，/（x）=2（x-2）-lnx-l,/（x）=2（lnx+-——）=21nx——+2,

xx