第18章 数组.docx
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第18章数组
第十八章数组(三)----数组的最值与排序
18.1求数组中的最大值
18.1.1基本思路与实现
18.1.2实例
18.2将数组元素排序
18.2.1现实算法与程序算法的不同
18.2.2冒泡排序
18.2.3选择排序
18.2.4快速排序(选修)
18.3小结
什么叫程序?
随着我们学习的不断进展,这个问题的答案不断有新的表述。
今天,我们学过了“流程”,也学过了“数据类型”。
“流程”表达某种动作或操作的过程;“数据”表达现实生活的事物。
因此,程序自然可以表达为“通过流程控制,来对数据进行正确的处理”。
其实这一句话,也可以用两个字来代替“算法”。
事实上有一个著名的公式,说:
程序=数据结构+算法。
要想真正理解什么叫算法,最好的办法还是从我们的现实生活入手。
最常见的例子,就是给整理扑克牌了。
给你一付打乱的扑克牌,然后让你把它们整理,就是让你排序。
结果是:
前四张是:
黑桃A,红心A,草花A、方块A,然后是2,3……老K,最后是大小王两张。
这个过程使用的是“排序”算法。
更简单的,给你3张牌,让你找出其中最大的一张,这也需要一种算法。
称为“求最值”。
你会说,这也算“算法”,3张牌往桌子上一摆,我“一眼”就能找出哪一张最大啊,我的大脑好像没有进行过任何计算。
呵呵,这样说可就不对了。
你把这三张牌往一头猪前面摆,摆上三年它也找不出哪一张是最大的。
这可以证明,我们的大脑的确进行了一定的演算。
一套相同的算法,其实是连续的一段“流程控制”。
可以用在不同的数据上。
比如排序算法,我们可以用于整理扑克,也可以用于排出学员成绩的名次,而不这两样数据的数据结构是什么。
但是一套算法在实现时,针对不同数据结构,有不同的实现。
这一章主要就是讲两种算法在数组上的实现,这两种算法是:
“求最值”、“排序”。
18.1求数组中的最大值
数组含有许多元素,这些元素如果是可以比较大小的,那就常常需要一种计算,求出这些元素中的最大值或最小值。
求最值的算法应用在方方面面,比如:
如何找出一条街上你喜欢的那某裙子最便宜卖的那家店。
比如当早上第四节下课铃敲响后,如何找出从教室到食堂最近的一条路等等。
18.1.1基本思路与实现
我想大家都知道了,一到要讲实例,我举的例子就是“成绩管理”。
“烦不烦呢?
”我看到有些同学使劲撇嘴。
可不能烦啊,上一章的成绩管理中,“求成绩第一名”和“成绩排序”这样重要的功能还没实现呢。
本章的作业就是它们了。
比如有这么一个数组,用于存储几个学生成绩。
现在老师想找出其中的第一名。
intcj[]={80,67,76,87,78};
我们还是一眼“找”出了结果:
87。
但如果不是5个成绩,而是5万个成绩呢(比如首钢的工人进行考试的结果)?
我们就不能一眼看出,而是不断地从一个个成绩里搜寻那个最大值。
不管是5万还是5个,其实算法是一样的。
冰心老奶奶举了个例子:
同样是从动物园回来,有的小学生写出让你如临其境的作文,而有的小学生则像是没有去过动物园一样,写得干巴巴的。
在把你的解决问题的思路转化为程序代码的过程中,显然第一步应该做是你能够用自然语言清楚地,准确地表达出你的思路。
有些人能做好这一点,而有些人则表达得相当困难,仿佛他不会解决问题。
当然这是一个双向锻炼的过程,如果你原来在这方面不擅长,跟着我在这里学习编程,慢慢的你会发现自已不仅学会也写程序,而且学会了如何表达自已的想法、思路、情感……很多人说学习编程是一件快乐的事,很多人沉迷于编程,其中的一点奥妙,他们都不肯“泄密”,我泄密了。
言归正传。
大家提起精神来!
求最大值是一个“比较”的过程。
我们就说5个数的情况,看看如何找出5个数中的最大值:
2、3、1、4、0
为了方便表达,我们用N来表示最大值。
1、首先假设第一个数就是最大值,则N=2;
2、把N和第二个数比较,发现3比N大,于是让N=3;
3、把N和第三个数比较,发现1不比N大,于是N不变。
4、把N和第四个数比较,发现4比N大,于是让N=4;
5、把N和第五个数比较,发现0不比N大,于是N不变;
求五个数的最大值,我们用了五行话表达,如果求100个数的最值呢?
要比较99次,岂不是要写100行?
按照它的表达,我们写成的代码是:
intn[5]={2,3,1,4,0};
intN=n[0];
if(N>n[1])
N=n[1];
if(N>n[2])
N=n[2];
if(N>n[3])
N=n[3];
if(N>n[4])
N=n[4];
这可不叫“算法”。
所以前面的表达并没有说出真正的算法。
我们要改进它。
1、首先假设第一个数就是最大值,则N=2;
2、把N和下一个数比较,如果下一个数比N大,则让N等于该数;
3、重复第二步,直到没有下一个数。
明白了吗?
算法就是这样而来的。
第一,这三行话可以适用于无论多少个数求最大值的情况,这是你的算法是否正确的一个必要条件,如果你的算法表达的长短依赖于具体数据的个数,那么你的算法不是通用的算法,不管是否能解决问题。
第二,我们在表达中看到了“如果”,看到“重复”,很好,“如果”就是“分支流程”,就是if或switch;而“重复”就是“循环流程”,是for或while或do...while。
intn[5]={2,3,1,4,0};
intN=n[0];
for(inti=1;i<5;i++)
{
if(n[i]>N)
N=n[i];
}
循环从数组下标1开始,因为从算法的表述中,我们也看到了,N一开始就等于数组中的第一个数,而后和“下一个数”开始比较。
我们可以把代码改良,以让它方便于应用在任何个数的元素上。
intn[]={2,3,1,4,0};
intN=n[0];
intcount=sizeof(n)/sizeof(n[0]);
for(inti=1;i { if(n[i]>N) N=n[i]; } 18.1.2实例 要求: 1、不使用数组,实现让用户输入10个数,然后输出其中最大值。 2、同1,但要求使用数组。 既然是两个小题,我们就分别写两个函数吧。 //不使用数组的例子: voidmax1() { cout<<"请输入10个数(每个数输入后加回车)"< intN,n; cout<<"第1个数: ": cin>>N; for(inti=1;i<10;i++) { cout<<"第"< "; cin>>n; if(n>N) N=n; } cout<<"最大值为: "< system("PAUSE"); //让控制台系统暂停。 相当于我们以前的cin.get()或getchar(); } //使用数组的例子: voidmax2() { cout<<"请输入10个数(每个数输入后加回车)"< intn[10]; intN; for(inti=0;i<10;i++) { cout<<"第"< "; cin>>n[i]; } N=n[0]; for(inti=1;i<10;i++) { if(n[i]>N) N=n[i]; } cout<<"最大值为: "< system("PAUSE"); //让控制台系统暂停。 } 这样就完成了求最大值实例,如果是要求求最小值呢? 改动仅在于那个if判断条件: …… N=n[0];//一开始假设第一个元素就是最小值 for(……) { if(n[i] N=n[i]; } …… 这套题目我没有提供实际代码,大家找开CB自已完成吧。 重要的是,在调通程序之后,认真地比较两种处理方法之间的异同。 结论应该是: “算法的抽象逻辑是一样的,只是用在于不同的数据结构上,会有不同的实现”。 前者只使用简单的数据类型,所以它不得不在一边输入的情况下,一边求最大值;而后者采用了数组,所以可以从容地先完成输入工作,然后再求最大值。 当算法经较复杂时,采用良好的数据结构的重要性就开始体现,比如下面的排序,我们必须使用数组或其它更复杂的数据。 否则就实现不了。 18.2将数组元素排序 排序,一个经典教学课程。 排序,一个在超高频的实用算法。 第一点是说,我们必须去学。 第二点是说,像这样一个实用算法以,事实上C,C++肯定都为我们写好了,以库函数等形式提供给我们使用,而且,这些写好的代码,肯定是最优秀的实现。 可是我们还是要学,而且是从最笨“冒泡算法”学起。 所谓的最笨,是指效率差的。 学习的原因: 1、前面说了,为了锻炼我们的逻辑思维。 2、为了在某些时候,我们可以对排过程做更多的控制。 18.2.1现实算法与程序算法的不同 大家都是这么整理扑克牌: 把54张摊开放在桌面,然后不断地调整各张牌的位置,并把已经有序的牌放到另外一个位置。 生活中的各种算法一般不用考虑“内存”的问题。 比如上面的问题,54牌每一张都要占用一点桌面,这算是固定需要的内存,而在“腾挪”各张牌,使之渐渐变得有序的过程中,还需要开辟新的空间,包括手里抓着的牌,即手心也算是一个内存。 程序排序,要求既要占用内存少,又要速度快。 这是衡量一个算法是否优秀的两个基本点。 若是应用到人整理牌这一例子,则除了实现将54张牌按次序(牌值和牌花)排好以外,还需另有要求: 1、除了54张牌一开始占用的桌面,及你的一个手心以外,你在整理的过程中,不能让牌再占用新的桌面空间。 2、要求“比较两张牌大小”“交换两张的位置”等过程都尽量地少。 你可以拿出家里的扑克牌,现在就开始按上面的要求进行手工排序。 也可以下载网站上的“扑克排序”的程序,通过它来模拟手工排序: 鼠标点击某一张牌,该牌将移到当前的空位上。 (正工学员下载课程包中已含该程序) 18.2.2冒泡排序 “冒泡”是什么意思? 湖底有时会冒出一个气泡,气泡刚在湖底时,是很小的,在向上浮的过程中,才一点地慢慢变大。 学过高中的物理的人,应该不难解释这一现象。 冒泡排序的过程有点类似这个过程,每前进一步,值就大一点。 排序当然有两个方向,一种是从小排到大,一种是从大排到小。 大多数教科书里都讲第一种,我们也如此。 这样一来,冒泡排序法就改为“沉泡法”了,较大值一点点跑到数组中的末尾。 一般教科书里也会说,冒泡排序法是人们最熟悉,及最直观的排序法,我可不这样认为。 或许老外在生活中用的是这种最笨的排序法? 我猜想,大家在生活中99%使用后面要讲的“选择”排序法。 冒泡排序是这么一个过程(从小到大): 1、比较相邻的两个元素,如果后面的比前面小,就对调二者。 反复比较,到最后两个元素。 结果,最大值就跑到了最末位置。 2、反复第一步,直到所有较大值都跑到靠后的位置。 看一眼例子: 2,5,1,4,3 第一遍: ·比较第一对相邻元素: 2,5,发现后面的5并不比2小,所以不做处理。 序列保持不变: 2,5,1,4,3 ·继续比较后两对元素: 5,1,发现后面的1比前面的5小,所以对调二者。 现在,序列变为: 2,1,5,4,3 ·继续比较后两对元素: 5,4……对调,于是: 2,1,4,5,3 ·继续比较后两对元素: 5,3……对调,于是: 2,1,4,3,5<-----OK,现在最大值5跑到最尾处了。 大泡泡“5”浮出来了,但前面的2,1,4,3,还是没有排好,没事,再来一遍,不过,由于最后一个元素肯定是最大值了,所以我们这回只排到倒数第二个即可。 第二遍: ·比较第一对相邻元素: 2,1,发现1比2小,所以对调: 1,2,4,3,5 ·继续比较后两对元素: 2,4,不用处理,因为后面的数比较大。 序列还是: 1,2,4,3,5 ·继续4,3,对调: 1,2,3,4,5。 前面说,5不用再参加比较了。 现在的序列是1,2,3,4,5。 接下来,我们再来一遍: 第三遍: ·比较第一对相邻元素: 1,2: 不用对调。 ……等等…… 有人说,现在已经是1,2,3,4,5了,完全是排好序了啊,何必再来进行呢? 我们确实是看出前面1,2,3也井然有序了,但对于程序来说,它只能明确地知道自己已经排好了两个数: 4,5,并不知道的1,2,3凑巧也排好了。 所以它必须再排两次,直到确认把3和2都已推到合适的位置上。 最后剩一个数是1,因为只有一个数,没得比,所以这才宣告排序结束。 那么到底要排几遍? 看一看前面的“第一遍”、“第二遍”的过程你可发现,每进行一遍,可以明确地将一个当前的最大值推到末尾,所以如果排Count个数,则应排Count遍。 当然,最后一遍是空走,因为仅剩一个元素,没得比较。 下面就动手写冒泡排序法的函数。 写成函数是因为我们希望这个排序法可处理任意个元素的数组。 //冒泡排序(从小到大): //num: 要接受排序的数组 //count: 该数组的元素个数 voidbubble(intnum[],intcount) { inttmp; //要排Count个数,则应排Count遍: for(inti=0;i { for(intj=0;j { //比较相邻的两个数: if(num[j+1] { //对调两个数,需要有"第三者"参以 tmp=num[j+1]; num[j+1]=num[j]; num[j]=tmp; } } } } 注意在内层循环中j的结束值是count-i-1。 要理解这段代码,明白为什么结束在count-i-1? 如果你忘了如何在CB进行代码调试,如果设置断点,如何单步运行,如何观察变量的值,那么你需要“严重”复习前面有关“调试”的章节;如果你一直是高度着每一章的程序到现在,那么你可以继续下面的内容。 排序函数写出一个了,如何调试这个函数? 在CB里新建一空白控制台程序,然后在主函数里,让我们写一些代码来调用这个函数,并且观察排序结果。 #include …… voidbubble(intnum[],intcount) { …… } intmain()//我实在有些懒得写main里两个参数,反正它们暂时对我们都没有用, //反正CB会为你自动生成,所以从此刻起,我不写了,除非有必要。 { intvalues[]={2,5,1,4,3}; intcount=sizeof(values[])/sizeof(values[0]); bubble(value,sizeof); } 你要做的工作是单步跟踪上面的代码,看看整个流程是不是像我前面不厌其烦的写的“第一遍第二遍第三遍”所描述的。 完成上面的工作了吗? 全部过程下来,只花20分钟应该算是速度快或者不认真的了(天知道你是哪一种? 天知道你到底是不是没有完成就来骗我? )。 现在让这个程序有点输出。 我们加一个小小的函数: //输出数组的元素值 //num: 待输出的数组 //count: 元素个数 voidprintArray(intnum[],intcount) { for(inti=0;i { count< } cout< } 把这个函数加到main()函数头之前,然后我们用它来输出: intmain()//我实在有些懒得写main里两个参数,反正它们暂时对我们都没有用, //反正CB会为你自动生成,所以从此刻起,我不写了,除非有必要。 { intvalues[]={2,5,1,4,3}; intcount=sizeof(values[])/sizeof(values[0]); cout<<"排序之前: "< printArray(values,count); //冒泡排序: bubble(value,sizeof); cout<<"排序之后: " < printArray(values,count); system("PAUSE"); } 后面要讲的其它排序法也将用这个printArray()来作输出。 冒泡排序是效率最差劲的方法(速度慢),不过若论起不另外占用内存,则它当属第一。 在交换元素中使用了一个临时变量(第三者),还有两个循环因子i和j,这些都属于必须品,其它的它一个变量也没多占。 我们现在讲讲如何避免数据其实已经排好,程序仍然空转的的局面。 首先要肯定一点,至少一遍的空转是不可避免的,这包括让人来排,因为你要发现结果已是1,2,3,4,5了,你也是用眼睛从头到尾抄了一遍(如果你视力不好,说不定还要扫两遍呢)。 接下来一点,我们来看看除了第一遍空转,后面的是否可以避免。 冒泡排序法的空转意味着什么? 因为算法是拿相邻的两个比较,一发现次序不合“从小到大”的目的(小的在大的后头),就进行对调。 所以如果这个对调一次也没有进行,那就说明后面的元素必然是已经完全有序了,可以放心地结束。 让我们来加个变量,用于标志刚刚完成的这一遍是否空转,如果是空转,就让代码跳出循环。 //冒泡排序(从小到大,且加了空转判断): voidbubble(intnum[],intcount) { inttmp; boolswapped; //有交换吗? //要排Count个数,则应排Count遍: for(inti=0;i { //第一遍开始之前,我们都假充本遍可能没有交换(空转): swapped=false; for(intj=0;j { //比较相邻的两个数: if(num[j+1] { swapped=true; //还是有交换 //对调两个数,需要有"第三者"参以 tmp=num[j+1]; num[j+1]=num[j]; num[j]=tmp; } } if(! swapped) break; } } 加了swapped标志,这个算法也快不了多少,甚至会慢也有可能。 冒泡排序还有一些其它的改进的可能,但同样作用不大,并且会让其丧失仅有优点“代码简单直观”。 所以我个人认为真有需要使用冒泡排序时,仅用最原汁原味的“泡”就好。 必竟,你选择了冒泡算法,就说明你对本次排序的速度并无多高的要求。 对于n个元素,原汁原味的“冒泡排序”算法要做的比较次数是固定的: (n -1)*n/2次的比较。 交换次数呢? 如果一开始就是排好序的数据,则交换次数为0。 一般情况下为3*(n-1)*n/4;最惨时(逆序)为3* (n-1)*n/2。 冒完泡以后——情不自禁看一眼窗台罐头瓶里那只胖金鱼——让我们开始中国人最直观的选择排序法吧。 对了,补一句,如果你看到有人在说“上推排序”,那么你要知道,“上推排序”是“冒泡排序”的另一种叫法,惟一的区别是: 它不会让我们联想到金鱼。 18.2.3选择排序 本章前头我们讲了“求最值”的算法,包括最大值和最小值。 其实,有了求最值的算法,排序不也完成了一半? 想像一下桌子上摊开着牌,第一次我们从中换挑出大王放在手上,第二次我们挑出小王,然后是黑桃老K……黑桃Q,如此下去直到小A,手中的牌不也就已经排好次序了? 每次从中选出最大值或最小值,依此排成序,这就是选择排序法的过程描述。 不过,上述的过程有一点不合要求。 我们说过手中只能过一张牌。 因此,在程序实现时,我们找出一个最大值之后,就要把它放到数组中最末。 那数组中最末位置原来的值? 当然是把它放到最大值原来所在位置了。 为了再稍稍直观点,我们改为: 每次找的是最小值,找出后改为放到数组前头。 //选择排序(从小到大) voidselect(intnum[],intcount) { inttmp; intminIndex;//用于记住最小值的下标 for(inti=0;i { minIndex=i;//每次都假设i所在位置的元素是最小的 for(intj=i+1;j
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