1992考研数二真题及解析.docx

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1992考研数二真题及解析

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）

dydxy

fx=f（t）-兀，

⑴设3t其中f可导，且f（0）=0,则

[y=f（e-1）,

⑵函数y=x+2cosx在[0,3上的最大值为

⑶lim匸心2=.

X—0e-cosx

说dx

x（x21）

⑸由曲线y=xex与直线y二ex所围成的图形的面积S二二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（1）当xr0时,x-sinx是x2的（）

（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小

（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小

Ix,x兰0⑵设f（X）二2,则（）

■■2

（xx）,x：

：

：

0（B）f（-x）2

「I—x,xHO

_x—x,xc0

x2,X^0

lx七X'XM-x,x二0

（A）f（-x）=2

-（X2x）,x0

x,x兰0

（C）f（-x）={2（D）f（—x）=t

lx?

x,x>10I

x—1

⑶当x—-T时，函数exj的极限（）

x—1

（A）等于2（B）等于0

（C）为二（D）不存在但不为:

:

X22,

⑷设f（X）连续，F（x）=J0f（t2）dt，则F（x）等于（）（A）f（x4）（B）x2f（x4）

（C）2xf（x4）（D）2xf（x2）

⑸若f（x）的导函数是sinx,则f（x）有一个原函数为（）

（A）1sinx（B）1-sinx

（C）1cosx（D）1-cosx

三、（本题共5小题,每小题5分，满分25分.）

3x害

（1）求lim（）2.

x¥6+x2

⑵设函数y=y（x）由方程y—xey=1所确定,求d-y的值•

3dx

x

⑶求.—=2dx.

'/+x2

⑷求o；1-sinxdx.

⑸求微分方程（y-x3）dx-2xdy=0的通解.

四、（本题满分9分）

、戸1+x2,xv0亠3

设f（x）=」，求“f（x-2）dx.

ex30勺

五、（本题满分9分）

求微分方程y'"-3y2y=xex的通解.

六、（本题满分9分）

计算曲线y=1n（1-x2）上相应于0_x的一段弧的长度.

七、（本题满分9分）

求曲线、二、x的一条切线l,使该曲线与切线I及直线x=0,x=2所围成的平

面图形面积最小.

八、（本题满分9分）

已知f（x）*0,f（0）=0,试证：

对任意的二正数xi和X2恒有

f（xiX2）：

：

f（Xi）f（X2）

成立.

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（1）【答案】3

【解析】由复合函数求导法则可得或=业型=3ef仁T）,于是=3.

dxdx/dtf（t）dxy

【相关知识点】复合函数求导法则：

如果u=g（x）在点x可导,而y=f（x）在点

u=g（x）可导，则复合函数y=f〔g（x）在点x可导，且其导数为

3=f（u）g（x）或dy=dydu.

dxdxdudx

⑵【答案】.3-

6

■JT!

JT

【解析】令yT-2sinx=0,得［0,—］内驻点x.

26

因为只有一个驻点，所以此驻点必为极大值点，与端点值进行比较，求出最大值.

,兀L兀兀兀

又y（0）=2,y（：

）=,3匸，y（=）

6622

可见最大值为y（）=.3.

66

⑶【答案】0

1

⑷【答案】丄ln2

2

【解析】令b>:

:

面积为

1S=.0（ex-xex）dx,再利用分部积分法求解，得

S=^x2-xex亠IexdxeT.

20'02

注：

分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起

更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来•在做题的时候应该好好总结，积累经验•

【相关知识点】分部积分公式：

假定u=u（x）与V二v（x）均具有连续的导函数，则

uvdx=uv-uvdx,或者udv二uv-vdu.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）⑴【答案】（B）

【解析】lim3x^2inx为“0”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，连续运用两次洛必达法则，有四X学X=四1；osx=四=0,故选（B）.

【相关知识点】无穷小的比较：

设在同一个极限过程中「（x）「（x）为无穷小且存在极限lim^凶=丨，

P（x）

（1）若1=0,称〉（x）,"x）在该极限过程中为同阶无穷小；

⑵若l=1,称〉（x）,1（x）在该极限过程中为等价无穷小，记为〉（X）U1（x）；

（3）若1=0,称在该极限过程中:

（x）是1（x）的高阶无穷小,记为

（3）【答案】（D）

【解析】对于函数在给定点X0的极限是否存在,需要判定左极限X>X,和右极

0=:

:

，故当x>1时函数没有极限，也不是：

：

.故应选（D）.

⑷【答案】（C）

X2

【解析】F（x）=[°f（t2）dt]=f[（x2）2]（x2）=2xf（x4）,故选（C）.

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

l，（t）一

若F（t）=_（t）f（x）dx」（t）,：

（t）均一阶可导，则

F⑴=P（t）f（t）（t）f上（t）1.

⑸【答案】（B）

【解析】由f（x）的导函数是sinx,即f（x）=sinx,得

f（x）二f（x）dx二sinxdx--cosxC,其中C为任意常数.

所以f（x）的原函数

F（x）=f（x）dx=（-cosxC）dx二-sinxGxC?

，其中G,C2为任意常数.令G=0,C2T得F（x）=1-sinx.故选（B）.

三、（本题共5小题,每小题5分，满分25分.）

3

（1）【答案】e*

【解析】此题考查重要极限：

lim（1{）x=e.

将函数式变形，有

-6七X」Qr—

）6x2_6打「—iim

=lime6x2=ex法x2

⑵【答案】2e2

【解析】函数y=y（x）是一个隐函数，即它是由一个方程确定，写不出具体的解析式.

方法1:

在方程两边对x求导，将y看做x的函数,得

・yy

y-e-xe

Y=0,即yJ

ey

1-xey

把x=0,y代入可得y（0）=e.

两边再次求导，得

y

eyy（1

-xey）ey（eyxeyy）

把x=0,y=1,y（0）二e代入得y（0）

xey）2

=2e2.

x-0

方法2:

方程两边对x求导，得y-e-xeyy=0；

再次求导可得yeyy-（eyy•xeyy2xeyy）=0,

d2y

把X=0,y=1代入上面两式，解得y（0）=e,y“（0）=―y

dx

=2e2.

x=0

【相关知识点】

1.复合函数求导法则：

如果u二g（x）在点x可导,而y二f（x）在点

u=g（x）可导，则复合函数y=flg（x）在点x可导，且其导数为

dydydu

驚f（u）g（x）或乂忑

2.两函数乘积的求导公式：

3.分式求导公式:

〔f（x）g（x）l二f（x）g（x）•f（x）g（x）.fu?

uV-uv

2

V

lv

（3）【答案】（1•x2）2-.rx^C其中C为任意常数•

【解析】方法1:

积分的凑分法结合分项法，有

x31

dx二_

1x:

2'1d（1*2）

x221（1x2）-1

-d（1x）=

1x2.2\1X2

=丄J（J1+x2_,1X2'J-1X2d（1X2）

23_21x2

=1（1X2）^.1X2C其中C为任意常数.

3

方法2:

令x=tant,则dx二sec2tdt,

3

XQOo

「「dx=Jtantsectdt=ftantd（sect）=[（sectT）d（sect）

1*\13—

sec31-sectC（Vx2）^'Vx2C,其中C为任意常数.33

方法3:

令t=x2,贝Ux=\ZT,dx=^^,

t

1

）d（1x）

12

d（rx2）

1x

2、

2屁

宀dx亏匚陰dt此后方法同方法1.积分的凑分法结合分项法

1x2

111

Y（1t-「1—t）dtY（1x2）2—1X2C,其中C为任意常

⑷【答案】4（.2-1）

的积分实际上是分段函数的积分•

由二咅角公式s--2sin-cos?

则有

=40.2-1）.

⑸【答案】y=C「x-*x3,其中C为任意常数

【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程，其标准形式为

由一阶线性微分方程的通解公式，得

dx；12dx

2x-1xe2xdxC

c「5x3其中C为任意常数.

【相关知识点】一阶线性非齐次方程y，P（x）y=Q（x）的通解为

y=e

_f（x）dx[jQgeJpgdXdx+cL其中c为任意常数.

四、（本题满分9分）

【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分•另外，被积函数的中

间变量非积分变量，若先作变量代换，往往会简化计算.

令x-2=t,贝Udx=dt.当x=1时,t二一1；当x=3时,t=1，于是

31021

\0

1f（x-2）dx=Lf（t）dt分段J」1+tdt+[edt

-t1

_e0

■4五、（本题满分9分）

【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程，对应的齐次方程的特征方程r2-3r-2=0有两个根为r^1,r^2,而非齐次项xe：

x,_=1=：

^为单特征根，因而非齐次方程有如下形式的特解丫=x（ax・b）ex,

1

代入方程可得a=-,b=-1，所求解为

2

y二GexCe2x-?

（x•2）ex,其中GC为任意常数•

2

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：

设y*（x）是二阶线性非齐次方程

yP（x）y：

Q（x）y=f（x）的一个特解.Y（x）是与之对应的齐次方程

yP（x）y*Q（x）y=0的通解，则y=Y（x）y*（x）是非齐次方程的通解.

2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：

对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y（x）,可用特征方程法求解：

即八P（x）y，Q（x）y=0中的P（x）、Q（x）均是常数，方程变为y，py、qy=0.其特征方程写为r2，pr，q=0,在复数域内解出两个特征根A,。

；

分三种情况：

（1）两个不相等的实数根ri,「2,则通解为y二Ge"«2尹；

⑵两个相等的实数根a二D,则通解为y二G•C2Xe%;

（3）一对共轭复根*±i卩,则通解为y=e^GcosEx+CzSinPx）.其中

G,C2为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程yP（x）yQ（x）^f（x）的一个特解y*（x），可

用待定系数法，有结论如下：

如果f（x）二材（x）xe则二阶常系数线性非齐次方程具有形如

y*（x）=xkQm（x）e"

的特解，其中Qm（x）是与Pm（x）相同次数的多项式，而k按■不是特征方程的根、是

特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果f（x）=ex[p（x）cos^x+Pn（x）sin^x],则二阶常系数非齐次线性微分方

程9P（x）y'q（x）y二f（x）的特解可设为y^xkex[Rmi）（x）co^o^rJ2）（x）sincox],

其中Rmm）（x）与（x）是m次多项式,m=max「l,n?

，而k按■r■（或■-i・•）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

六、（本题满分9分）

=f/+f"2（x）dx，其中

y=f（x）a_x_b,则弧微分为ds二：

；1f2（x）dx,弧长s二.

f（x）在a,b1有连续的导数.

七、（本题满分9分）【解析】过曲线上已知点（x0,y°）的切线方程为y-y°=k（x-心）,其中当y（x0）存

在时，k=y（x°）.

如图所示，设曲线上一点处的切线方程为

y_«=斗（x_t）,X7F旗化简即得y=—xL.

十2叽2Q厂]1L

面积S（t）=JI■-+—-Vxdx=〒+V?

-

其一阶导数S（t）―丄亡2.丄严2=t1.

222tJt

令S（t）=0解得唯一驻点t=1,而且S在此由负变正，即S（t）在（-=1]单调递

减，在［1「：

）单调递增，在此过程中S（t）在t=1时取极小值也是最小值，所以将t=1

代入先前所设的切线方程中，得所求切线方程为八、（本题满分9分）

【解析】证法一：

用拉格朗日中值定理证明•不妨设x2X!

0,要证的不等式是

f（XiX2）-f（X2）:

：

f（xj一f（0）.

在［0“］上用中值定理，有f（xj-f（0）=f（）X!

^:

:

X!

在［X2,X!

X2］上用中值定理，又有f（X!

X2）-f（X2）=f（）花必：

：

:

:

:

X

由f（X）:

:

0,所以f（X）单调减，而「:

:

X!

:

:

：

X2:

：

，有「（）•「（），所以

f（XiX2）-f（X2）:

：

f（xj-f（0）=f（xj,

即f（x1X2）：

：

f（xjf（X2）.

证法二：

用函数不等式来证明.

要证f（x1x）:

：

f（x1）f（x）,x0.

令辅助函数（x）=f（xjf（x）-f（XX），则:

（x）=f（x）-f（Xx）.

由f（x）<0,f（x）单调减,f（x）f（Xix）,:

（x）0，由此,

（x）（0）=f（Xi）f（0）-f（Xi）=0（x0）.

改X为X2即得证.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f（x）满足在闭区间［a,b］上连续，在开区间a,b内可导，那么在

a,b内至少有一点:

:

b）,使等式f（b）-f（a）=f（）（b-a）成立.