中考数学总复习第四单元三角形课时训练19全等三角形和等腰三角形练习.docx
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中考数学总复习第四单元三角形课时训练19全等三角形和等腰三角形练习
课时训练(十九) 全等三角形和等腰三角形
|夯实基础|
1.如图19-21,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是()
图19-21
A.∠A=∠CB.AD=CB
C.BE=DFD.AD∥BC
2.[2016·怀化]等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为()
A.16cm
B.17cm
C.20cm
D.16cm或20cm
3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的顶角为()
A.50°B.130°
C.50°或130°D.40°或140°
4.[2016·荆门]如图19-22,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为()
图19-22
A.5B.6
C.8D.10
5.[2017·南充]如图19-23,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()
图19-23
A.(1,1)B.(,1)
C.(,)D.(1,)
6.[2018·湖州]如图19-24,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()
图19-24
A.20°B.35°
C.40°D.70°
7.[2016·德州]如图19-25,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()
图19-25
A.65°B.60°C.55°D.45°
8.如图19-26,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()
图19-26
A.48°B.36°C.30°D.24°
9.[2016·泰安]如图19-27,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°,则∠P的度数为()
图19-27
A.44°B.66°
C.88°D.92°
10.[2018·包头]如图19-28,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为()
图19-28
A.17.5°B.12.5°
C.12°D.10°
11.[2016·南充]如图19-29,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为()
图19-29
A.1B.2
C.D.1+
12.[2015·湖州]如图19-30,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于()
图19-30
A.10B.7C.5D.4
13.[2018·淄博]如图19-31,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为()
图19-31
A.4B.6C.4D.8
14.[2016·淮安]如图19-32,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有()
图19-32
A.1个B.2个
C.3个D.3个以上
15.如图19-33,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,有下面四个结论:
图19-33
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;
④AE2+DF2=AF2+DE2.
其中正确的是()
A.②③B.②④
C.①③④D.②③④
16.[2018·金华]如图19-34,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是.
图19-34
17.[2018·成都]等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角的度数为.
18.[2017·北京]如图19-35,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM=.
图19-35
19.[2016·长沙]如图19-36,在△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为.
图19-36
20.如图19-37,在△ABC中,AB=AC,BC=5,BD为AC边上的中线,且将△ABC的周长分成两部分,这两部分的差为3,则腰长为.
图19-37
21.如图19-38,矩形ABCD的周长为16,点E,F分别在边AD,AB上,EF=EC,∠FEC=90°.若DE=2,则AE=.
图19-38
22.[2017·扬州]如图19-39,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC.若BP=4cm,则EC=cm.
图19-39
23.[2012·包头]如图19-40,将△ABC纸片的一角沿DE向下翻折,使点A落在BC边上的点A'处,且DE∥BC.下列结论:
①∠AED=∠C;②=;③BC=2DE;④S四边形ADA'E=S△DBA'+S△EA'C.其中正确的有个.
图19-40
24.[2017·宁夏]如图19-41,在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.
(1)求证:
不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;
(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.
图19-41
25.[2017·莱芜]已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.
(1)如图19-42①所示,连接AE,BD.试判断线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由;
(2)如图19-42②所示,连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.
图19-42
|拓展提升|
26.如图19-43,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别为∠BAC和∠ABC的平分线,交点为O.若OD=a,△ABC的周长为b,则△ABC的面积为()
图19-43
A.abB.abC.2abD.
27.如图19-44,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积()
图19-44
A.由小变大
B.由大变小
C.不变
D.先由小变大,后由大变小
28.[2018·包头一模]如图19-45,等边三角形ABC的边长为9cm,点M,N同时从点A出发,均以1cm/s的速度分别沿AB,AC向点B,C运动,设运动时间为ts,以MN为边,在等边三角形ABC内部作正方形MNPQ,当点P到BC边的距离等于(3-3)cm时,t=.
图19-45
29.[2018·包头样题三]如图19-46,O是等边三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',连接AO',下列结论:
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O'的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO'=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正确的是.(填写所有正确结论的序号)
图19-46
参考答案
1.B2.C3.C4.C
5.D[解析]过点B作BC⊥OA于点C,则OC=1,BC===,∴点B的坐标为(1,).故选D.
6.B[解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.
7.A
8.A[解析]∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵EF是BC的垂直平分线,
∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC.
∵∠ABD=24°,∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°.
又∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,
即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°,
∴∠ACF=120°―24°―24°―24°=48°.
故选A.
9.D
10.D[解析]由∠C+∠BAC=145°得∠B=35°.由AB=AC知∠B=∠C=35°.由等腰直角三角形的性质可得∠AED=45°.又∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45°-35°=10°.
11.A
12.C[解析]过点E作EK⊥BC于点K.
因为BE平分∠ABC,CD⊥AB,
所以EK=ED=2,
所以△BCE的面积=BC·EK=×5×2=5.故选C.
13.B[解析]∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB.∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,∴∠AMN=∠ACB=∠ANM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3.∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.
14.D
15.D
16.答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等[解析]已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定方法ASA或AAS.故答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等.
17.50°或80°
18.3[解析]由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N分别为AC,BC的中点,得==,∴=
2=.∵S△CMN=1,∴S△ABC=4S△CMN=4,∴S四边形ABNM=3.
19.1320.821.3
22.(2+2)[解析]根据“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4.根据折叠的性质可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=PC=(8+4-4)=2+2.
23.4[解析]由折叠的性质可得AD=A'D,AE=A'E.
∵DE∥BC,∴∠AED=∠C,故①正确.
∵DE∥BC,∴=,∴=,
故②正确.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠A'DE=∠BA'D.
由折叠的性质,得∠ADE=∠A'DE,∴∠B=∠BA'D,
∴BD=A'D=AD,
即D是AB的中点.
同理E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE,
故③正确.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴=
2=,
∴S△ADE=S△A'DE=S△ABC,
∴S四边形ADA'E=S△DBA'+S△EA'C=S△ABC,
故④正确.
故答案为4.
24.[解析]
(1)连接AP,将△ABC分割成两个三角形,结合等边三角形的三条边相等,利用面积公式,即可求证结论;
(2)设BP的长为x,利用面积的和差关系,将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示,将几何问题转换成代数式求最值问题,在此即是S关于x的二次函数,运用配方法求出最值.
解:
(1)证明:
连接AP.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.
设BC边上的高为h.
∵PM⊥AB,PN⊥AC,
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB·PM+AC·PN=BC·(PM+PN).
又∵S△ABC=BC·h,∴PM+PN=h,
即不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.
(2)设BP=x.
在Rt△BMP中,∠BMP=90°,∠B=60°,BP=x,∴BM=BP·cos60°=x,MP=BP·sin60°=x,
∴S△BMP=BM·MP=·x·x=x2.
∵PC=2-x,同理可得:
S△PNC=(2-x)2.
又∵S△ABC=×22=,
∴S四边形AMPN=S△ABC-S△BMP-S△PNC=-x2-(2-x)2=-(x-1)2+,
∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是.
25.[解析]
(1)通过证明Rt△ACE≌Rt△BCD即可解决;
(2)通过证明△EBD≌△ADF即可得解.
解:
(1)AE=BD,AE⊥BD.
理由:
由题意可知,CA=CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD=90°,∴Rt△ACE≌Rt△BCD,
∴AE=BD.
如图①,延长DB交AE于点M.
∵Rt△ACE≌Rt△BCD,
∴∠AEC=∠BDC.
又∵∠AEC+∠EAC=90°,
∴∠BDC+∠EAC=90°,
∴在△AMD中,∠AMD=180°-90°=90°,∴AE⊥BD.
(2)DE=AF,DE⊥AF.
理由:
如图②,设ED与AF相交于点N,由题意可知,BE=AD.
∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC,
∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC,
∴∠EBD=∠ADF.
又∵DB=FD,∴△EBD≌△ADF,
∴DE=AF,∠E=∠FAD.
∵∠E=45°,
∴∠FAD=45°.
又∠EDC=45°,∴∠AND=90°,
∴DE⊥AF.
26.A
27.C[解析]如图,设DE与AC交于点N,DF与BC交于点M,连接DC.∵CA=CB,D为AB的中点,∴DC⊥AB.∵∠ACB=90°,∴BD=DC=AD,∴∠B=∠DCN=45°.∵∠BDM+∠MDC=90°,∠MDC+∠CDN=90°,∴∠BDM=∠CDN,∴△BDM≌△CDN.同理,△AND≌△CMD,∴S四边形MDNC=S△BDM+S△ADN=S△ABC,∴图中阴影部分的面积S=S扇形DEF-S四边形MDNC=S扇形DEF-S△ABC.∵旋转过程中扇形DEF和△ABC的面积不会改变,∴阴影部分的面积大小不变.故选C.
28.3
29.①②③⑤
予少家汉东,汉东僻陋无学者,吾家又贫无藏书。
州南有大姓李氏者,其于尧辅颇好学。
予为儿童时,多游其家,见有弊筐贮故书在壁间,发而视之,得唐《昌黎先生文集》六卷,脱落颠倒无次序,因乞李氏以归。
读之,见其言深厚而雄博,然予犹少,未能悉究其义.徒见其浩然无涯,若可爱。
是时天下学者杨、刘之作,号为时文,能者取科第,擅名声,以夸荣当世,未尝有道韩文者。
予亦方举进士,以礼部诗赋为事。
年十有七试于州,为有司所黜。
因取所藏韩氏之文复阅之,则喟然叹曰:
学者当至于是而止尔!
因怪时人之不道,而顾己亦未暇学,徒时时独念于予心,以谓方从进士干禄以养亲,苟得禄矣,当尽力于斯文,以偿其素志。
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