线性规划案例.docx
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线性规划案例
1.人力资源分配问题
例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
班次
时间
所需人数
班次
时间
所需人数
1
6:
00~10:
00
60
4
18:
00~22:
00
50
2
10:
00~14:
00
70
5
22:
00~2:
00
20
3
14:
00~18:
00
60
6
2:
00~6:
00
30
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班,并连续工作8小时,问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员,既能满足工作需要,又使配备司机和乘务人员的人数最少?
解:
设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数:
Minx1+x2+x3+x4+x5+x6
约束条件:
s.t.x1+x6≥60
x1+x2≥70
x2+x3≥60
x3+x4≥50
x4+x5≥20
x5+x6≥30
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
运用lingo求解:
Objectivevalue:
150.0000
ariableValueReducedCost
X160.000000.000000
X210.000000.000000
X350.000000.000000
X40.0000000.000000
X530.000000.000000
X60.0000000.000000
例2.一家中型的百货商场,它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息,售货人员每周工作5天,休息两天,并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息,既满足工作需要,又使配备的售货人员的人数最少?
时间
所需售货员人数
星期日
28
星期一
15
星期二
24
星期三
25
星期四
19
星期五
31
星期六
28
解:
设xi(i=1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数:
Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
约束条件:
s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28
x2+x3+x4+x5+x6≥15
x3+x4+x5+x6+x7≥24
x4+x5+x6+x7+x1≥25
x5+x6+x7+x1+x2≥19
x6+x7+x1+x2+x3≥31
x7+x1+x2+x3+x4≥28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
lingo求解
Objectivevalue:
36.00000
VariableValueReducedCost
X112.000000.000000
X20.0000000.3333333
X311.000000.000000
X45.0000000.000000
X50.0000000.000000
X68.0000000.000000
X70.0000000.000000
例3.某储蓄所每天的营业时间为上午9:
00到下午17:
00,根据经验,每天不同时间段所需要的服务员的数量为:
时间段
9~10
10~11
11~12
12~13
13~14
14~15
15~16
16~17
服务人员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬为100元,从上午9:
00到下午17:
00工作,但中午12:
00到下午14:
00之间必须安排1小时的午餐时间;储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬为40元。
问:
1)储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员?
2)如果不能雇佣半时服务员,每天至少增加多少经费?
3)如果雇佣半时服务员的数量没有限制,每天可以减少多少经费?
解:
设x1,x2分别表示12~13,13~14进行午餐的全时服务人员,
y1,y2,y3,y4,y5分别表示9~10,10~11,11~12,12~13,13~14开始工作的半时服务人员,则问题1的模型如下所示:
min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
y1+y2+y3+y4+y5<3;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);
Objectivevalue:
820.0000
VariableValueReducedCost
X13.000000100.0000
X24.000000100.0000
Y10.00000040.00000
Y22.00000040.00000
Y30.00000040.00000
Y40.00000040.00000
Y51.00000040.00000
2)把y1+y2+y3+y4+y5<3;修改为y1+y2+y3+y4+y5=0;
min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
y1+y2+y3+y4+y5=0;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);
Objectivevalue:
1100.000
VariableValueReducedCost
X15.0000000.000000
X26.0000000.000000
Y10.000000100.0000
Y20.0000000.000000
Y30.0000000.000000
Y40.0000000.000000
Y50.000000100.0000
3)把y1+y2+y3+y4+y5<3;去掉
min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);
运用lingo求解
Objectivevalue:
560.0000
VariableValueReducedCost
X10.000000100.0000
X20.000000100.0000
Y16.00000040.00000
Y20.00000040.00000
Y30.00000040.00000
Y40.00000040.00000
Y58.00000040.00000
2.生产计划问题
例4.某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司生产甲、乙、丙三种产品,都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作,亦可以自行生产,但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。
数据如表。
问:
公司为了获得最大利润,甲、乙、丙三种产品各生产多少件?
甲、乙两种产品的铸造中,由本公司铸造和由外包协作各应多少件?
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
5
6
--
机加工成本(元/件)
2
1
3
装配成本(元/件)
3
2
2
产品售价(元/件)
23
18
16
解:
设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数,x4,x5分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求xi的利润:
利润=售价-各成本之和
产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15
产品甲铸造外协,其余自制的利润=23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10
产品乙铸造外协,其余自制的利润=18-(6+1+2)=9
产品丙的利润=16-(4+3+2)=7
可得到xi(i=1,2,3,4,5)的利润分别为15、10、7、13、9元。
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数:
Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5
约束条件:
5x1+10x2+7x3≤8000
6x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤12000
3x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000
x1,x2,x3,x4,x5≥0
lingo求解
Objectivevalue:
29400.00
VariableValueReducedCost
X11600.0000.000000
X20.0000002.000000
X30.00000013.10000
X40.0000000.5000000
X5600.00000.000000
例5.永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品,均要经过A、B两道工序加工。
设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序;有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。
Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工;Ⅱ可在任意规格的A设备上加工,但对B工序,只能在B1设备上加工;Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。
数据如表。
问:
为使该厂获得最大利润,应如何制定产品加工方案?
设备
产品单件工时
设备的
有效台时
满负荷时的设备费用
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A1
5
10
6000
300
A2
7
9
12
10000
321
B1
6
8
4000
250
B2
4
11
7000
783
B3
7
4000
200
原料(元/件)
0.25
0.35
0.50
售价(元/件)
1.25
2.00
2.80
解:
设xijk表示第j个工序在第k种设备上加工的第i种产品的数量。
建立如下的数学模型:
s.t.5x111+10x211≤6000(设备A1)
7x112+9x212+12x312≤10000(设备A2)
6x121+8x221≤4000(设备B1)
4x122+11x322≤7000(设备B2)
7x123≤4000(设备B3)
x111+x112-x121-x122-x123=0(Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等)
x211+x212-x221=0(Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等)
x312-x322=0(Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等)
xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3
目标函数为计算利润最大化,利润的计算公式为:
利润=[(销售单价-原料单价)*产品件数]之和-(每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数)之和。
这样得到目标函数:
Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312–
300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-
250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).
经整理可得:
Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
运用lingo求解
Objectivevalue:
1146.514
VariableValueReducedCost
X1111200.0000.000000
X112230.04930.000000
X2110.0000000.3101897
X212500.00000.000000
X312324.13790.000000
X1210.0000000.2530095
X221500.00000.000000
X122858.62070.000000
X322324.13790.000000
X123571.42860.000000
近似有X111=1200,X112=230,X211=0,X212=500,X312=324,X121=0,X221=500X122=859,X322=324,X123=571
Objectivevalue:
1146.362
利用整数规划
Objectivevalue:
1146.362
VariableValueReducedCost
X1111200.000-0.7500000
X112230.0000-0.7753000
X2110.000000-1.150000
X212500.0000-1.361100
X312324.0000-1.914800
X1210.0000000.3750000
X221500.00000.5000000
X122859.00000.4475000
X322324.00001.230400
X123571.00000.3500000
例6.双层卷焊钢管是光明制造厂1990从意大利引进的主导民用产品,生产流程为:
钢带镀铜→镀铜带精剪→制管。
产品广泛应用于汽车,机床,大型机械油气管制造。
目前全国市场占有率为15%,年利润为350万元。
为广大市场占有率,进一步提高企业知名度,为下一步上市做好准备,该厂1998年拟对双层卷焊钢管分厂实行资产经营,要求有关部门拿出一份经营报告书,要求对以下几个问题做出明确分析:
(1)最大盈利能力。
(2)生产计划。
(3)因镀铜用钢带需从比利时进口,外商要求提前一年提供订货数量,并需用外汇支付。
分析如何确定钢带订货量,使外商供货,既能满足生产,又能尽量为工厂节约费用。
生产过程中各项经济指标如下:
(1)钢带镀铜:
废品率为1%,废品回收扣除废品镀铜过程中各项生产费用后净收入为1000元/t。
职工工资实行计件工资,合格品675元/t,钢带8000元/t。
(2)镀铜带精剪:
废品率为2%,废品回收扣除废品镀铜精剪过程中各项生产费用后净收入为零。
职工工资实行计件工资,合格品900元/t。
(3)制管:
废品率:
直径4.76为8%,直径6为8.5%,直径8为9%,直径12为10.5%,废品回收扣除废品镀铜,精剪,制管过程中各项生产费用后净收入为700元/t。
职工工资实行计件工资,合格品900元/t。
售价情况:
直径4.76:
16000元/t;
直径6:
16100元/t;
直径8:
16000元/t;
直径10:
16100元/t;
直径12:
16300元/t;
折旧:
200万元。
生产费用:
合格钢管1200元/t。
企业管理费:
1000元/t。
特殊说明:
(1)钢带镀铜后镀膜很薄,镀铜带与钢带质量可近似认为一致。
(2)生产过程中废料很少,可忽略不计。
销售部门经过严密的市场分析后,结合明年的订货情况给厂长以下信息:
1998年共需我厂钢管2800t,其中直径4.76的不少于50%;
直径6的至少占10%,至多占30%;
直径8的有300t老主顾订货,必须予以满足;
直径10的订货历史上一直与直径6有联动关系,一般为直径6的一半;
直径12的属于冷门产品,一年必须有100t备货,但市场预测绝对不会突破200t。
解:
设直径4.76、6、8、10和12的钢管的需求量分别是X1,X2,X3,X4,X5。
钢带的供给量为X0。
则:
钢管销售收入Y1为:
Y1=16000X1+16100X2+16000X3+16100X4+16300X5
废品回收收入Y2为:
Y2=10X0+(0.087X1+0.093X2+0.099X3+0.117X5)×700
钢带成本C1为:
C1=8000X0
职工工资C2为:
C2=X0×0.99×675+X0×0.99×0.98×900+(X1+X2+X3+X4+X5)×900
则净利润Y0为:
Y0=Y1+Y2-C1-C2-2000000-(X1+X2+X3+X4+X5)×2200(目标函数)
约束条件:
1.086957X1+1.092896X2+1.111111X3+X4+1.117318X5=X0×0.99×0.98
X1+X2+X3+X4+X5=2800
X1≥1400
840≥X2≥280
X3≥300
X4=X2/2
200≥X5≥100
X0,X1,X2,X3,X4,X5≥0
运用lingo求解:
Objectivevalue:
4652764.
VariableValueReducedCost
Y04652764.0.000000
Y10.4493000E+080.000000
Y2188857.60.000000
C10.2497411E+080.000000
C27331981.0.000000
X11400.0000.000000
X2666.66670.000000
X3300.00000.000000
X4333.33330.000000
X5100.00000.000000
X03121.7640.000000
3.套裁下料问题
例7.某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的需求切割后售出.从钢管厂进货时得到原料钢管都是19m长.
(1)现有一客户需要50根4m长,20根6m长和15根8m长的钢管,应如何下料最节省?
(2)零售商如果采取的不同切割方式太多,将会导致生产过程的复杂化,从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用不同切割模式不能超过3种.此外,该客户除需要
(1)中的3种钢管外,还需要10根5m的钢管,应如何下料最节省?
问题
(1)的求解
首先,确定那些切割模式是可行的.所谓一个切割模式,就是按照客户的需要在原料钢管上安排切割的一种组合.例如,我们可以将19m长的钢管切割成3根4m长的钢管,余料为7m,或者将19m长的钢管切割成4m,6m和8m长的钢管个一根,余料为1m.
其次,应当确定哪些切割模式是合理的.通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸.例如,将19m长的钢管切割成3根4m长的钢管是可行的,但余料为7m,可以进一步将7m的余料切割成4m钢管(余料3m),或者将7m的余料切割成6m钢管(余料为1m).在这种合理性假设下,切割模式一共有7种,如表所示.
模式
4m钢管根数
6m钢管根数
8m钢管根数
余料/m
模式1
4
0
0
3
模式2
3
1
0
1
模式3
2
0
1
3
模式4
1
2
0
3
模式5
1
1
1
1
模式6
0
3
0
1
模式7
0
0
2
3
模型建立:
决策变量:
用xi表示按照第i种模式(i=1,2,…,7)切割的原料钢管的根数
目标:
以切割后余料总量最少为目标,则有
Min3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7
以切割原料钢管的总根数最少为目标,则有
Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
约束条件:
4x1+3x2+2x3+x4+x5≥50,
X2+2x4+x5+3x6≥20,
X3+x5+2x7≥15,
运用lingo求解
第一种目标:
Objectivevalue:
26.66667
VariableValueReducedCost
X10.0000001.666667
X211.666670.000000
X30.0000001.666667
X40.0000002.666667
X515.000000.000000
X60.0000001.000000
X70.0000001.666667
第二种目标:
Objectivevalue:
25.00000
VariableValueReducedCost
X10.0000000.000000
X215.000000.000000
X30.0000000.000000
X40.0000000.2500000
X55.0000000.000000
X60.0000000.2500000
X75.0000000.000000
问题
(2)求解
模型建立:
由于不同的切割模式不超过3种,可以用xi表示按照第i种模式(i=1,2,3)切割的原料钢管的根数,显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4m,5m,6m和8m长的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i(非负整数).
决策目标:
以切割原料钢管总根数最少为目标,即目标为
Minx1+x2+x3
约束条件:
为满足客户的需求,应有
R11x1+r12x2+r13x3≥50,
R21x1+r22x2+r23x3≥10,
R31x1+r32x2+r33x3≥20,
R41x1+r42x2+r43x3≥15,
每一种切割模式必须可行,合理,所以每根钢管的成品量不
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