步步高大一轮复习讲义22函数的定义域值域及函数的解析式.docx
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步步高大一轮复习讲义22函数的定义域值域及函数的解析式
§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
1.函数的定义域
(1)函数的定义域是指________________________________________________________.
(2)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组);
②解不等式组;
③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零.
②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.
③一次函数、二次函数的定义域为________.
④y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx,定义域均为________.
⑤y=tanx的定义域为_______________________________________________________.
⑥函数f(x)=x0的定义域为___________________________________________________.
2.函数的值域
(1)在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫____________,________________叫函数的值域.
(2)基本初等函数的值域
①y=kx+b(k≠0)的值域是______.
②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:
当a>0时,值域为____________;当a<0时,值域为____________.
③y=(k≠0)的值域是________________.
④y=ax(a>0且a≠1)的值域是__________.
⑤y=logax(a>0且a≠1)的值域是______.
⑥y=sinx,y=cosx的值域是________.
⑦y=tanx的值域是______.
3.函数解析式的求法
(1)换元法:
若已知f(g(x))的表达式,求f(x)的解析式,通常是令g(x)=t,从中解出x=φ(t),再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式,即得函数f(x)的解析式,这种方法叫做换元法,需注意新设变量“t”的范围.
(2)待定系数法:
若已知函数类型,可设出所求函数的解析式,然后利用已知条件列方程(组),再求系数.
(3)消去法:
若所给解析式中含有f(x)、f或f(x)、f(-x)等形式,可构造另一个方程,通过解方程组得到f(x).
(4)配凑法或赋值法:
依据题目特征,能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律,求出解析式.
[难点正本 疑点清源]
1.函数的定义域是研究函数问题的先决条件,它会直接影响函数的性质,所以要树立定义域优先的意识.
2.
(1)如果函数f(x)的定义域为A,则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围.
(2)如果f(g(x))的定义域为A,则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.
(3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.
1.(课本改编题)函数y=+的定义域为___________________________________.
2.(2011·安徽)函数y=的定义域是________.
3.(课本改编题)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为_____________________________________.
4.(课本改编题)已知f=,则f(x)=__________.
5.函数f(x)=lg的定义域为( )
A.[0,1]B.(-1,1)
C.[-1,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
题型一 求函数的定义域
例1
(1)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域为__________.
(2)函数y=的定义域为__________.
探究提高
(1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是:
①分式中,分母不为零;
②偶次根式,被开方数非负;
③对于y=x0,要求x≠0;
④对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;
⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.
(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.
(1)(2011·江西)若f(x)=
,则f(x)的定义域为( )
A.B.
C.D.(0,+∞)
(2)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是__________.
题型二 抽象函数的定义域
例2
若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域.
探究提高 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域,是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].
已知f(x)的定义域是[0,4],求:
(1)f(x2)的定义域;
(2)f(x+1)+f(x-1)的定义域.
题型三 求函数的值域
例3
求下列函数的值域:
(1)y=x2+2x(x∈[0,3]);
(2)y=;
(3)y=x-;(4)y=log3x+logx3-1.
探究提高
(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数法;
(2)若与二次函数有关,可用配方法;(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;(4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解;(5)分段函数宜分段求解;(6)当函数的图像易画出时,还可借助于图像求解.
求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=2x-1-.
题型四 求函数的解析式
例4
(1)已知f=x2+,求f(x)的解析式;
(2)已知f=lgx,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(4)已知f(x)满足2f(x)+f=3x,求f(x)的解析式.
探究提高 函数解析式的求法
(1)凑配法:
由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;
(2)待定系数法:
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(3)换元法:
已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(4)方程思想:
已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
给出下列两个条件:
(1)f(+1)=x+2;
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
1.函数问题首先要考虑定义域
试题:
(12分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],试求函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域.
学生解答展示
审题视角
(1)f(x)的定义域;
(2)y=[f(x)]2+f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同;(3)如何求y=[f(x)]2+f(x2)的定义域.
规范解答
解 ∵f(x)=2+log3x的定义域为[1,9],
要使[f(x)]2+f(x2)有意义,必有1≤x≤9且1≤x2≤9,
∴1≤x≤3,[3分]
∴y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3].[4分]
又y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x+3)2-3.[6分]
∵x∈[1,3],∴log3x∈[0,1],[8分]
∴ymax=(1+3)2-3=13,ymin=(0+3)2-3=6.[10分]
∴函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13].[12分]
批阅笔记
(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法,是函数的重点知识.
(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究,致使函数y=[f(x)]2+f(x2)的讨论范围扩大.
(3)解答有关函数的问题要规范,研究函数问题,首先研究其定义域,这是解答的规范,
也是思维的规范.
方法与技巧
1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.
求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组);对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.
2.函数值域的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域.
3.函数的值域与最值有密切关系,某些连续函数可借助函数的最值求值域,利用配方法、
判别式法、基本不等式求值域时,一定注意等号是否成立,必要时注明“=”成立的条件.
失误与防范
1.求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,而且还要特别注意定义域对值域的制约作用.
函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最值的求法.
2.对于定义域、值域的应用问题,首先要用“定义域优先”的原则,同时结合不等式的性质.
课时规范训练
(时间:
60分钟)
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1.函数y=+lg(2x-1)的定义域是( )
A.B.
C.D.
2.已知函数f(x)=lg(x+3)的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N等于( )
A.{x|x>-3}B.{x|-3 C.{x|x<2}D.{x|-3 3.已知f=,则f(x)的解析式为( ) A.B.- C.D.- 4.已知a为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是R的是( ) A.f(x)=x2+aB.f(x)=ax2+1 C.f(x)=ax2+x+1D.f(x)=x2+ax+1 二、填空题 5.函数y=的定义域是__________. 6.若函数y=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)+的值域是________. 7.(2011·上海)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在[0,3]上的值域为________. 三、解答题 8.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x2-2)的值域. B组 专项能力提升题组 一、选择题 1.设f(x)=lg,则f+f的定义域为( ) A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 2.设f(x)=g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 3.对任意两实数a、b,定义运算“*”如下: a*b=,则函数f(x)= (3x-2)*log2x的值域为( ) A.(-∞,0]B. C.D.R 二、填空题 4.已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)=的定义域是__________________. 5.已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为________. 6.设x≥2,则函数y=的最小值是________. 三、解答题 7.若函数f(x)=x2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),求a、b的值. 8.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). (1)若函数的值域为[0,+∞),求a的值; (2)若函数的值域为非负数,求函数g(a)=2-a|a+3|的值域. 答案 要点梳理 1. (1)使函数有意义的自变量的取值范围(3)③R ④R⑤ ⑥{x|x∈R且x≠0} 2. (1)函数值 函数值的集合 (2)①R② ③{y|y∈R且y≠0} ④(0,+∞)⑤R ⑥[-1,1] ⑦R 基础自测 1.[-1,2)∪(2,+∞) 2.{x|-3 3.(0,+∞) 4.(x≠0) 5.B 题型分类·深度剖析 例1 (1) 变式训练1 (1)A (2) 例2 解 ∵f(2x)的定义域是[-1,1], ∴≤2x≤2,即y=f(x)的定义域是,由≤log2x≤2⇒≤x≤4. ∴f(log2x)的定义域是[,4]. 变式训练2 解 ∵f(x)的定义域为[0,4], (1)有0≤x2≤4,∴-2≤x≤2. 故f(x2)的定义域为[-2,2]. (2)有∴1≤x≤3. 故f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]. 例3 解 (1)(配方法) y=x2+2x=(x+1)2-1, y=(x+1)2-1在[0,3]上为增函数, ∴0≤y≤15,即函数y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]. (2)(分离常数法) y===1-. 因为≠0,所以1-≠1, 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. (3)方法一 (换元法) 令=t,则t≥0且x=, 于是y=-t=-(t+1)2+1, 由于t≥0,所以y≤, 故函数的值域是. 方法二 (单调性法) 容易判断函数y=f(x)为增函数,而其定义域应满足1-2x≥0,即x≤, 所以y≤f=, 即函数的值域是. (4)(基本不等式法) 函数定义域为{x|x∈R,x>0,且x≠1}. 当x>1时,log3x>0, 于是y=log3x+-1 ≥2-1=1; 当0 y=log3x+-1 =--1 ≤-2-1=-3. 故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 变式训练3 解 (1)∵y=1-, 又x2-x+1=2+≥, ∴0<≤,∴-≤y<1. ∴函数的值域为. (2)设=t,则t≥0,x=, 于是f(x)=g(t)=2·-1-t =-t2-t+=-(t+1)2+6, 显然函数g(t)在[0,+∞)上是单调递减函数,所以g(t)≤g(0)=, 因此原函数的值域是. 例4 解 (1)令x+=t, 则t2=x2++2≥4. ∴t≥2或t≤-2且x2+=t2-2, ∴f(t)=t2-2, 即f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2). (2)令+1=t,由于x>0, ∴t>1且x=,∴f(t)=lg, 即f(x)=lg(x>1). (3)设f(x)=kx+b, ∴3f(x+1)-2f(x-1)=3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=kx+5k+b=2x+17. ∴,即.∴f(x)=2x+7. (4)∵2f(x)+f=3x, ∴2f+f(x)=. ∴f(x)=2x-(x≠0). 变式训练4 解 (1)令t=+1, ∴t≥1,x=(t-1)2. 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)设f(x)=ax2+bx+c,又f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3, ∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴,∴, ∴f(x)=x2-x+3. 课时规范训练 A组 1.C 2.B 3.C 4.C 5.(-∞,3] 6. 7.[-2,7] 8.解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 又f(0)=0,∴c=0,即f(x)=ax2+bx. 又f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, ∴,解得. ∴f(x)=x2+x. (2)由 (1)知y=f(x2-2) =(x2-2)2+(x2-2) =(x4-3x2+2)=2-, 当x2=时,y取最小值-. ∴函数y=f(x2-2)的值域为 . B组 1.B 2.C 3.A 4.(-1,-)∪(-,]5.6. 7.解 ∵f(x)=(x-1)2+a-. ∴其对称轴为x=1,即[1,b]为f(x)的单调递增区间. ∴f(x)min=f (1)=a-=1① f(x)max=f(b)=b2-b+a=b② 又b>1,由①②解得 ∴a、b的值分别为、3. 8.解 (1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0, ∴2a2-a-3=0,∴a=-1或a=. (2)∵对一切x∈R函数值均为非负, ∴Δ=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)≤0.∴-1≤a≤.∴a+3>0, ∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 =-2+. ∵二次函数g(a)在上单调递减, ∴g≤g(a)≤g(-1), 即-≤g(a)≤4.∴g(a)的值域为.
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